基于修正韧性耗散损伤的非线性疲劳可靠性分析

高凯 ，高鑫

(1.重庆渝富产城运营建设发展有限公司，重庆 401121；2.重庆大学 土木工程学院，重庆 400045；3.贵州省质安交通工程监控检测中心有限责任公司，贵州 贵阳 550000)

在交变荷载作用下材料易出现疲劳损伤，影响结构的使用安全，严重时将产生重大事故，如2018 年意大利热那亚莫兰迪公路桥就因斜拉索疲劳损伤导致垮塌，造成43人死亡[1]，故亟待针对材料或结构的疲劳性能评价展开研究。由于材料或结构在疲劳损伤过程中，受到材料随机性、荷载不确定性等因素影响，致使材料或结构的疲劳破坏具有较强随机性[2]，为此，能较好考虑随机性的可靠度分析方法成为了疲劳损伤评估中的常用方法[3]。在疲劳可靠度分析中，疲劳状态方程的建立非常关键，而基于疲劳损伤累积模型的可靠性建模方法能考虑材料的时变历程，能更好反映结构的时变特性，与工程实际较为符合，近年来得到了广泛应用[4]。目前，常用的疲劳损伤累积模型主要有线性和非线性模型[5]。其中MINER 准则因原理和规则简单，是线性模型中应用最广泛的一种，但该模型的损伤累积规则简化了疲劳失效过程机理，忽略了多级变幅荷载作用时荷载次序、荷载相互作用等因素的影响，使疲劳损伤评估出现较大偏差[6]。虽然基于损伤曲线、能量法、材料物理性能退化法、连续损伤力学等理论建立的非线性损伤模型，能够在一定程度上考虑荷载加载历史效应，但相关数学形式复杂，有的还需引入额外参数，难以直接应用于工程实际[7]。为此，对于实际工程中普遍存在的变幅载荷作用，亟需建立一种有效的疲劳损伤累积模型，从而更好实现疲劳损伤评估。从本质上分析，在交变荷载作用下，疲劳损伤是一个不可逆的能量耗散过程，因此选择与疲劳能耗过程密切相关的物理量，用于表征材料或结构的疲劳损伤具有明确的物理意义[8]。为此，YE 等[8]基于材料韧性耗散提出了新的非线性疲劳损伤累积模型，该模型只含有一个参数，形式简单，不需要其他试验常数，故被大量应用于材料的疲劳性能评价[9]。但该模型不能考虑荷载间的相互作用，使得疲劳损伤分析精度受到一定程度影响，为此，大量学者对其进行了改进，使其能考虑荷载相互作用效应[10]。例如，路万里等[11]利用前后对数应力幅值比函数改进了YE 模型，使其能分析多级变幅疲劳累积损伤的荷载相互作用效应，并用弹载记录仪2级加载试验进行了验证。但所提改进模型在分析多级变幅疲劳损伤时，却存在精度不足的问题，因此，必须对其进行进一步深入探讨，使其能够更为准确地表征多级变幅荷载作用下的疲劳损伤。为此，本文提出对数应力幅值平方比指数作为荷载相互作用效应因子，将其计入韧性耗散损伤模型，建立改进的非线性疲劳损伤累积函数；然后，利用改进模型建立疲劳状态方程，并用概率密度演化方法(PDEM)对状态方程进行分析，得到材料的非线性时变疲劳可靠度；最后，采用多级荷载材料试验数据对所提模型和方法的适用性和准确性进行验证。

1 基于韧性耗散的疲劳损伤模型

根据文献[8]可知，材料的韧性是疲劳损伤过程中最为敏感的力学参量，为此，可以通过材料韧性在交变荷载作用下的耗散规律来建立疲劳损伤累积模型。YE 等[8]在大量实验数据的基础上，建立了材料韧性耗散与交变荷载作用次数的关系：

式中：UT是材料的静态韧性；UT(0)和UT(Nf-1)分别是荷载作用0次和Nf-1次时的材料静态韧性；n是荷载循环次数；Nf是材料在交变荷载作用下的疲劳寿命。

基于材料韧性耗散的疲劳损伤变量可以表示为：

式中：D(n)是材料在交变荷载作用n次后的疲劳损伤。将式(1)代入式(2)中，可得基于韧性耗散的疲劳损伤累积模型：

当材料的疲劳寿命Nf较大时，式(3)中的D(Nf-1)可以近似等于D(Nf)，D(Nf)是材料极限疲劳损伤，与材料特性有关，需通过试验测试才能确定[12]。为便于确定交变荷载作用下的极限疲劳损伤，需对式(3)两边同时除以D(Nf)，则式(3)可以表示为：

式中：De(n)是相对疲劳损伤，当n=Nf时，D(n)=D(Nf)，则De(n)=1，即材料的极限相对疲劳损伤为1。因此，式(4)可定义为材料的疲劳损伤演化方程。

式(4)是恒幅荷载作用下材料的疲劳损伤，对于材料在多级变幅荷载作用下疲劳损伤可通过式(4)推导而得。现以2级变幅荷载作用为例，推导多级变幅加载情况下疲劳损伤累积模型，如图1所示。

图1 2级变幅荷载作用下疲劳损伤曲线Fig.1 Fatigue damage curves of two-level loading

从图1 和式(4)可知，在第1 级荷载σ1作用n1次后，材料的疲劳损伤沿曲线oa为

根据疲劳损伤等效原理，第1 级荷载σ1作用n1次后疲劳损伤可转换为第2级荷载σ2作用n′2次后疲劳损伤，即

根据式(5)和式(6)，可得等效循环次数为n2′/Nf2，结合式(4)可得前两级荷载σ1，σ2作用下总疲劳损伤(曲线oabc)为

同理，依此类推，可得k级荷载作用下材料疲劳损伤累积方程为

从上式可知，基于韧性耗散建立的非线性疲劳损伤累积模型中，只含有各级荷载作用次数ni这个参量，不含其他力学参量，模型形式简单，但该模型不能考虑荷载间的相互作用[8]，使得疲劳损伤评价精度受到影响，为此，需对模型进行修正。为了叙述方便，将该模型简称为YE模型。

2 改进的非线性疲劳损伤模型

为了修正YE 模型，部分学者利用相邻2 级荷载大小比值描述荷载间相互作用效应，将其引入韧性耗散疲劳损伤累积模型中，使其能考虑荷载相互作用效应。例如，路万里等[11]应用对数荷载比来修正疲劳损伤模型，但该修正模型在分析多级变幅荷载作用时，疲劳损伤预测存在较大误差，为此，本节提出新的模型修正方法，提高YE 模型和路万里修正模型的分析精度。

目前，对于多级变幅作用下疲劳损伤累积模型的推导是基于疲劳等效原理得到的，而常用疲劳等效原理采用的是简单的等值线性等效规则，如式(6)。但通过大量研究表明，多级变幅作用下疲劳损伤的等效，不满足等值线性等效规则，而是与荷载大小有关且成函数关系[11]，即

而根据相关研究表明，前后荷载等效关系满足幂函数等效规则[11]，即式(9)可表示为

从式(10)可知，幂函数指数f(σ1,σ2)的形式对等效规则有较大影响，而根据文献[11]的函数形式，提出了对数荷载平方比来考虑2级荷载相互作用效应，具体形式可表示为

通过对数荷载平方比指数来增大荷载相互作用效应，提升疲劳损伤模型预测精度。将式(11)代入式(10)，并结合式(6)和式(7)的推导规则，可得2级荷载作用下第1 级荷载的等效疲劳损伤循环次数为

根据式(7)和式(12)，2 级荷载作用下疲劳累积损伤为

以此类推，可得k级变幅荷载作用下疲劳累积损伤函数为

根据式(4)知，材料疲劳累积损伤为1，结合式(14)，可知k-1 级荷载作用后，材料在第k级荷载作用下疲劳剩余寿命分数为

式(14)和式(15)即为所提改进非线性疲劳损伤累积模型，模型中既有前后2级荷载比值，也含有荷载循环比，能够有效地体现荷载次序效应、荷载相互作用效应。此外，模型中仅含有荷载作用次数ni和荷载应力幅值σi2 个基本参数，通过试验数据比较容易确定，不需要引入其他参量，方便实际工程疲劳分析应用。

3 非线性疲劳可靠度分析

3.1 极限状态方程建立

在对材料进行疲劳可靠度分析时，需建立疲劳损伤状态方程，为此，本节基于改进非线性损伤累积模型，构建材料疲劳状态方程G：

式中：Dec是材料疲劳损伤极限值，根据式(4)知，Dec=1。当G(n)＞0 时，材料未到疲劳损伤极限，处于安全状态。根据研究表明[7]，材料的疲劳寿命Nfi具有较强随机性，而式(16)中只包含各级荷载作用对应疲劳寿命Nfi这个随机变量，故材料疲劳状态方程式(16)为概率保守系统。

3.2 可靠度分析方法

PDEM法对非线性问题具有较好适应性，且计算精度和效率较高，能分析时变可靠度，为此，对疲劳状态方程进行可靠度分析时，可采用PDEM法进行计算[6]。基于概率守恒原理，式(16)的概率密度函数(PDF)随时间演化的规律可表示为：

综上所述，本研究发现ER阳性乳腺癌细胞在对他莫昔芬产生耐药性后，增殖相关蛋白的表达水平升高，同时PGRN的mRNA和蛋白水平也升高；而干扰PGRN表达后，增殖和抗凋亡相关蛋白的表达水平下降，耐药细胞对他莫昔芬的敏感性增强。后续本课题组将深入探讨PGRN影响他莫昔芬耐药产生的具体分子机制，寻找其上游调控分子以及下游效应分子，以期为临床上治疗对他莫昔芬抵抗的乳腺癌患者带来新的机遇和希望。

式中：Θ是影响物理量变化的随机变量，即各级荷载作用对应疲劳寿命Nfi；θ是随机变量Θ 的子集；pGΘ(g,θ,t)是增广系统(G,Θ)的联合概率密度函数；ΩG×ΩΘ是增广系统(G,Θ)的空间。式(17)经数学处理和变换后，可得增广系统(G,Θ)的广义概率密度演化方程：

式中：g是疲劳损伤状态值G中的一个元素；Ġ(θ,n)是疲劳状态函数式(16)的变化率。式(18)在初始时刻n=0的初始条件为：

式中：δ(·)是Dirac 函数。联合式(16)和(19)对式(18)进行求解，并在随机变量空间ΩΘ上积分，可得到疲劳损伤随时间变化的PDF：

对式(20)在(0,1]空间内进行积分，可得材料的时变疲劳可靠度概率为

3.3 基于PDEM的非线性时变可靠度求解

获得式(18)的解析解是非常困难的，为此需采用数值求解法进行分析，具体步骤如下[6]。

步骤1：随机变量Θ 空间ΩΘ的离散。利用选点方法选择均匀代表点[13]，用代表点将空间ΩΘ离散为多个子空间，并对各子空间进行积分，得到各代表点的赋得概率。

步骤2：疲劳损伤状态量的获取。将步骤1 的代表点代入式(16)得到疲劳损伤状态量和变化率。

步骤4：疲劳可靠度概率的分析。将步骤3 得到的PDF 代入式(20)得到pG(g,n)，并用式(21)得到材料疲劳可靠度概率曲线。

4 数值算例

为验证所提模型在疲劳寿命预测和可靠度分析上的可行性和有效性，利用常用材料试验数据，将所建疲劳损伤模型与已有模型的疲劳寿命预测和可靠度计算结果进行对比。

4.1 疲劳剩余寿命分数预测

以动车铝合金焊接接头、铝合金6082T6 等2种材料在多级变幅荷载作用下疲劳试验数据为对象[14]，对比MINER 模型、YE 模型、路万里模型和本文模型的疲劳寿命分数预测精度，具体结果如表1～2所示。

表1 2级荷载下动车铝合金焊接接头试验数据及剩余寿命分数预测结果Table 1 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy welded joints of EMU under two-level loading

表2 4级荷载下铝合金6082T6试验数据及剩余寿命分数预测结果Table 2 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy 6082T6 under four-level loading

从表1～2 可知，MINER 线性模型疲劳寿命分数预测误差最大，YE模型预测误差较MINER模型小，而路万里改进模型对不同材料疲劳寿命分数预测误差，较YE 模型大，表明路万里模型对YE模型的改进效果不佳；本文所提模型在多级加载下多数情况预测误差，较YE 模型小，最小误差仅1.43%，表明所提模型对YE 模型和路万里模型有较好的修正效果。

4.2 疲劳可靠度分析

以16Mn钢的2级荷载试验为依托[15]，利用本文模型和可靠度方法分析高低荷载(H-L)：394 MPa→373 MPa 和低高荷载(L-H)：373 MPa→394 MPa 作用下材料的时变疲劳可靠度，并用MINER 模型、YE 模型、路万里模型和试验数据进行对比分析，验证所提模型在可靠度分析上的精度。通过试验得到常幅荷载373 MPa和394 MPa时，16Mn钢的疲劳寿命Nf服从正态分布，其统计特征分别为Nf1～N(196 720,27 322)，Nf2～N(113 893,25 130)。所得时变可靠度曲线如图2所示。

从图2 可知，在2 级加载作用时，本文模型所得疲劳可靠度曲线与试验数据的拟合效果好于YE模型和路万里改进模型，与试验结果之间的拟合精度提高了30%，表明所提模型能更好考虑多级荷载作用下荷载次序、荷载相互作用效应，应用于材料时变疲劳可靠度计算时，能得到更高的计算精度。

图2 不同模型所得疲劳可靠度曲线Fig.2 Fatigue reliability curves of different models

5 结论

1) 利用变幅荷载对数应力平方比、循环比和实时损伤状态参量对叶笃毅模型进行修正，所改进非线性疲劳损伤模型能较好处理多级变幅作用下的加载历史效应，且引入参数较少，能更好表征疲劳损伤演变特征，更适合用于疲劳剩余寿命分数预测。

2) 基于所提模型和PDEM 法，建立了材料非线性时变疲劳可靠度分析方法，与传统模型相比，所提方法能更为全面考虑多级变幅作用加载历史效应，且能较好分析时变疲劳可靠度。

3) 通过试验算例表明，所提模型在多级变幅荷载作用下的疲劳寿命预测精度高于传统MINER线性模型、YE 模型和已有路万里改进模型，与PDEM结合后的可靠度分析结果也表明所提模型的可靠度计算精度更高，且能进行时变可靠度分析，为此，所提模型和方法更适合工程实际应用。