基于光滑整形自抗扰的双摆起重机消摆控制

王辉堤，肖友刚，李蔚，韩锟

(1.中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075；2.中南大学 轨道交通安全关键技术国际合作联合实验室，湖南 长沙 410075)

长期以来，起重机作业依赖于吊车司机的操作经验。操作不当、加减速运动及外界干扰等因素都会造成负载摆动，不仅降低效率，也产生安全隐患。如何抑制起重机运行过程中的摆动问题，并高效、安全、准确地将货物搬运到目标位置，是目前国内外学者研究的热点问题[1-3]。现有的起重机防摆控制方法大多针对单级摆型起重机提出[2-7]。然而当吊具质量与负载质量相近且距离较远时，二者不可视为同一整体，此时系统易呈现出复杂的双摆现象。双摆效应使系统运动维数增加，欠驱动性和非线性更强，控制器设计难度增加。目前，已有学者针对双摆起重机控制问题提出了一些行之有效的控制方法，如经典无状态反馈的开环控制法。其中，肖友刚等[8]利用扩张状态观测器估计负载摆动状态，设计了双摆型吊车滑模控制器，但没有考虑扰动的影响。陈鹤等[9]考虑了系统物理约束，利用高斯伪谱法求解得到全局时间最优、具有消摆功能的台车运行轨迹。孙宁等[10]充分考虑了系统的物理约束和控制性能指标，提出了带有状态约束的双摆吊车最优轨迹规划方法；需指出的是，开环控制方法虽易于实现，但对参数不确定性和外界干扰十分敏感，鲁棒性较差，因此闭环控制法得到了更多学者的青睐。其中，MAR 等[11]提出了输入整形和PID 控制相结合的方案，克服了输入整形器抗干扰能力差的局限。QIAN 等[12]提出了一种基于单输入规则模块的模糊控制器，抑制了两级摆角摆动。ZHANG 等[13]考虑了控制输入约束，利用能量整形的思想，设计了一种带有跟踪误差约束的自适应跟踪控制器；欧阳慧珉等[14]设计了一种变闭环阻尼比的非线性滑模控制算法，解决了旋转起重机的旋臂定位和两级摆动抑制问题；SUN 等[15-16]设计了一种饱和非线性输出反馈控制器和一种非线性PID控制器，解决了双摆桥式吊车防摆定位问题。这些双摆起重机闭环控制方法均需利用所有系统状态的实时反馈信息进行控制，然而在实际中负载摆角不易通过安装传感器直接测量。此外起重机系统存在模型不确定和外部随机扰动的影响。如何解决这些问题是本文研究的关键。光滑整形(Command Smooth‐ing)是一种简单、高效的前馈控制技术，通过与输入信号相卷积形成平滑的光滑整形指令，从而有利于抑制柔性系统的振荡[17-18]。自抗扰控制(Active disturbance rejection control,ADRC)把作用于被控对象的所有不确定因素都归结为未知“总扰动”，利用扩张状态观测器(Extended state observer,ESO)进行实时估计并给予补偿[19]。ADRC 不依赖于被控对象的精确模型，具有结构简单、鲁棒性强的优点，尤其适用于非线性控制系统。综上所述，为在无负载摆角反馈的前提下，有效控制双摆起重机的负载摆动，并进一步提升系统性能，本文提出了开环光滑整形技术和闭环自抗扰控制技术相结合的混合控制法(Smoothing ADRC,S-ADRC)。首先，基于系统的固有特性设计光滑整形器，对传统的梯形轨迹进行光滑处理，以保障台车平稳安全运行；其次在起重机模型变换的基础上，利用线性扩张状态观测器估计包含负载摆动信息的系统总扰动，并反馈到控制器进行补偿，进而形成前馈加反馈的双通道自抗扰复合控制方案，实现了对台车位移和两级摆角的有效控制。仿真结果验证了所提方法的有效性。

1 双摆型起重机系统分析

具有双摆效应的起重机模型如图1所示，根据拉格朗日力学原理可得其动力学方程[10]：

图1 具有双摆效应起重机系统模型Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum overhead crane

其中：M，m1，m2分别为台车、吊钩、负载的质量，θ1为吊钩的垂向摆角，容易通过编码器测得，θ2为负载的垂向摆角，实际中难测；l1为吊绳长度，l2为吊钩与负载重心之间的距离，g为重力加速度，F为台车驱动力，x为台车位移，Fr为台车摩擦力，为与摩擦力相关的系数。

考虑到双摆型桥式起重机系统只有一个输入力作为控制量，但却需同时控制台车位移和2个摆角，将控制量F拆分为位移控制量u1，摆角控制量u2及台车摩擦力补偿量Fr，即：

考虑到实际作业中，应避免产生大幅摆角，在小角度情况下cosθi≈1,cos(θ1-θ2)≈1,sinθi≈θi,sin(θ1-θ2)θi2≈0[10]，结合式(1)～(2)可得双摆起重机的近似线性模型：

设计控制系统的目的是使得台车精准到达目标位置xd，且实时消摆。本文着重研究无负载摆角传感器下的控制器设计问题，在后续内容中将设计一种光滑整形结合自抗扰的混合控制策略来实现控制目标。

2 光滑整形器的设计

在实际应用中，一般多采用梯形速度轨迹作为台车速度曲线。由于这种轨迹的加速度具有与起重机系统的固有频率相同的谐波成分，因此起重机加、减速过程中会引发负载强烈震荡，对其安全与高效作业带来不利影响。

光滑整形技术通过光滑函数与期望输入相卷积，形成平滑的光滑整形指令作为系统的实际输入，从而消除原信号中与系统固有频率相同的谐波成分，以避免柔性系统的振动[17-18]。光滑整形器(Smoother)的设计仅需知道起重机系统的固有频率和阻尼比，因此具有简单易实现的优点。双摆起重机的两级摆角可看作2 个二阶系统，由文献[20]可知，双摆起重机系统2个模态的振动频率ω1，ω2可分别表示为：

其中，R，β为辅助参数，满足：

双摆起重机系统2 个固有频率不仅与绳长有关，且与负载和吊钩的质量之比也有关系，系统振动为2种不同固有频率振动的组合，因此需设计控制器进行消除。Smoother 可帮助消除多模态系统的高频振动，且根据第一模态设计的Smoother也能消除第2 模态频率的振动[18]。为简化Smoother的设计，本文仅利用双摆起重机系统的第1模态振动频率信息。

双摆起重机系统为二阶振荡系统，其对光滑整形函数u(τ)的响应为[18]：

其中，ξ为系统阻尼比。

系统的振幅响应为：

为保证经光滑整形后的信号与原始信号具有相同的增益，将光滑整形函数的积分值设定为1，因此u(τ)需满足约束方程：

根据式(9)～(11)解出起重机系统光滑整形器的表达式：

若光滑整形器的模型频率和阻尼比没有误差，则可完全消除系统振荡，由于光滑整形器的指令平滑具有很好的鲁棒性，因此模型频率参数可在一定范围内变动。

3 自抗扰控制器设计

3.1 扩张状态观测器的设计

由于吊钩和负载间的耦合关系，负载摆动势必对吊钩摆动造成影响，对吊钩摆动的抑制，也能减少负载摆动幅度，从而抑制两级摆动。由于负载摆角信息无法获取，且式(6)～(7)中的f1，f2结构复杂，并包含未建模部分，因此将负载摆动对系统产生的动态影响及f1，f2归并为总和扰动进行估计。

另一方面，上文虽已将控制量进行了拆分，但位移回路和摆动回路的控制量仍相互包含，任一回路控制量的变化都会对另一回路的状态产生影响。为解决上述问题，将位移回路中负载摆动的控制量归入位移回路的总和扰动中予以估计，将摆动回路中的位移控制量归入摆动回路的总和扰动中予以估计，以实现位移回路和摆动回路间的解耦。综上，式(6)～(7)重新表示为：

其中：R1=f1+b1u2为台车位移回路的总和扰动，R2=f2+b2u1为摆动回路的不确定项，R3为摆角2对摆角1回路造成的外扰，R3=。

设计台车位移回路的扩张状态观测器，将R1视为该通道的扩张状态变量，令x1=x,x2=,x3=R1，则式(13)可表示为：

对台车位移回路设计如下包含模型辅助信息的扩张状态观测器ESO1：

接下来设计摆动回路的扩张状态观测器，对R3和R2进行实时估计。注意到R3与θ2间的联系，若能对R3进行准确估计，不仅能消除未知负载摆动状态对系统的影响，也可对负载摆角进行“软测 量”。对式(14)进行扩张，令φ1=θ1,φ2=,φ3=R2，则系统(14)可重新表示为：

因此，对摆动回路设计扩张状态观测器ESO2：

将台车加速度视为欠驱动方程的输入量，根据式(19)定义系统的状态变量为：

则式(20)可表示为如下二阶系统：

根据状态变量之间关系，可设计如下扩张状态观测器ESO3，估计R3和θ2：

通过扩张状态观测器ESO3 和式(23)可在一定程度上估计出负载摆角信息。为简化调参，采用带宽法，将ESO1 和ESO2 的观测器增益分别配置为：

其中：ωox和ωoθ分别为ESO1 和ESO2 的观测器带宽。带宽的大小决定了ESO 观测误差大小及收敛速度的快慢。

3.2 误差反馈控制律的设计

针对式(15)，可对位移通道设计如下控制律：

式中：k1,k2∈R+为位移通道的控制增益；v1为经光滑整形后的输入命令。

针对式(17)可对摆角通道设计如下控制律：

其中：k3,k4∈R+为摆角通道的比例增益和微分增益。

对2 个通道控制量进行线性叠加得到总控制量，由式(25)和式(26)可得：

3.3 稳定性分析

首先证明所设计的扩张状态观测器的稳定性，由于ESO1，ESO2 和ESO3 具有相似的结构，因此下文将仅证明ESO1 的稳定性，根据式(16)所设计的线性扩张状态观测器，作如下定义：

定理1：假设扰动|d|≤δ,δ∈R+，则存在常数σi＞0 (i=1,2,3)与一有限时间T＞0，对于任意t≥T及ωox＞0，可得

证明：对式(29)求解，可得：

由于|d|≤δ则：

由于Aξ是Hurwitz 的，因此存在一个有限时间T＞0，使得对于任意的t≥T下式成立：

结合式(32)～(33)可得：

结合式(31)～(34)可得：

设初始观测误差：

则对于任意t≥T下式成立：

因此ESO1 的观测误差是收敛且有界的，定理1 得证。式(38)可以看出提高带宽，可减小观测误差，但同时也越容易引入噪声信号，因此选取带宽时，需综合考虑系统控制指标和抗干扰性能。同理可知ESO2，ESO3的观测误差也是有界的。

定义起重机系统跟踪误差ψ1=x1-xd,ψ2=,ψ3=θ,ψ4=，定义扰动估计误差：则系统误差微分方程可表示为：

通过带宽法，可进一步简化参数个数，将k1,k2,k3,k4配置为如下形式：

易知矩阵E是Hurwitz 稳定的，因此存在一正定矩阵P，使矩阵E满足ETP+PE=-Q，其中Q为正定矩阵，构造如下Lyapunov函数：

其中：λmin(Q)和λmax(P)分别表示矩阵Q的最小特征值和矩阵P的最大特征值。

由上式可得(x) ＜0的充分条件为：

因此可通过配置矩阵E的特征值，使条件(42)满足，从而保证闭环系统在有外扰下的稳定性。

4 仿真结果

双摆起重机系统的参数选取为M=20 kg,m1=1 kg,m2=2 kg,l1=0.6 m,l2=0.3 m,g=9.8 m/s2采样周期为50 ms。台车的初始位置设置为0，即x(0)=0，台车的目标位置设置为xd=10 m。摩擦力参数设为：frx=8,krx=-1.2,εx=0.01。本文所提算法的参数为：=5,ωox=ωoθ=12,ωo=20。

为给台车安排运动参考轨迹，首先构造了经典梯形速度轨迹，其加速度和速度参数分别设置为：am=0.5 m/s2，vm=1 m/s。为保证轨迹的平滑性，对梯形轨迹进行光滑整形，所得结果如图2 所示。可见相较于原梯形速度轨迹的线性变化，光滑整形后的速度和加速度轨迹变化更为平滑，更有利于起重机系统运动状态的平滑切换，保障系统平稳安全运行。

图2 光滑整形前后的台车运动参考轨迹对比Fig.2 Comparison of the reference trajectory of the trolley before and after smooth shaping

4.1 控制器对比分析

为验证本文所提方法的有效性，将光滑整形自抗扰控制器(S-ADRC)与文献[20]所提基于无源性控制Passivity Based Control (PBC)，文献[21]所提基于能量耦合控制Energy Coupling Based Con‐trol(ECBC)进行仿真对比，结果如图3 所示。图3中从上到下曲线依次为台车位移、吊具摆角、负载摆角和台车控制量，负载摆角的估计结果如图4所示。其中ECBC 数学表达式为：Fx=Fr-kptanh(ξx)-，对应的参数充分整定为kp=20，kd=30，λ1=-6，λ2=-1。PBC 控制律如式(43)所示，对应的参数充分整定为kE=1，kd=20，kp=30，kD=0。为保证台车平稳高效运行，PBC和S-ADRC法采用光滑整形后的轨迹作为台车的跟踪轨迹，且参数和上文均保持一致。ECBC 法因其自身控制律所含tanh函数具有光滑特性，可不必安排参考轨迹。

图4 负载摆角理论值和估计值对比Fig.4 Comparison of actual and estimated load swing angle

从图3可以看出，3种控制器定位都非常精准，同时在不同程度上抑制两级摆动。具体来讲，采用本文设计的轨迹进行跟踪控制的S-ADRC和PBC法能够同时无超调到达目标位置，两级最大摆角均在3°以内，PBC法仅有微小的残摆，而S-ADRC法几乎无残摆。ECBC 法在台车定位时间、运行过程的最大摆角、消摆性能及控制力等指标均会略差于其他2种算法。因此在暂态性能上，本方法优于其他2种方法。

图3 3个控制器控制效果对比Fig.3 Comparison of control effects of three controllers

值得注意的是，本算法并未利用负载摆角反馈信息。PBC 法无需任何角度和角速度反馈，导致控制器无抗摆角干扰的能力。ECBC 法需利用两级摆角和位移信息进行全状态反馈，因此需安装负载摆角传感器。因此，综合硬件条件和控制效果来说本算法具有良好的可靠性和实际的应用性。从图4可以看出，本文设计的观测器，其观测值和理论值非常接近，可有效地对负载摆角进行观测，因此能够起到替代传感器进行摆角“软测量”的作用。

4.2 鲁棒性分析

为验证S-ADRC控制器对模型参数变化的鲁棒性，将负载质量和吊绳长度进行成倍变化，即令m2=2 kg，l1=1.2 m，而控制器增益不变，所得仿真曲线如图5所示。可见，当模型参数发生较大变化时，S-ADRC控制器具有与原始参数不变时几近相同的控制效果，表明所提控制器对负载质量和绳长变化不敏感，表现出很好的鲁棒性。

图5 模型参数发生变化下所提方法控制效果Fig.5 Control effect of the proposed method under the change of model parameters

4.3 抗干扰分析

为验证本算法的抗外扰能力，在吊运过程中对负载施加3 种不同类型的干扰，具体来说在5～6 s 时加入随机扰动，在10～11 s 时加入强度为3°的脉冲扰动，在20～21 s时加入强度为3°的正弦扰动，仿真结果如图6 所示。S-ADRC 法虽未用到负载摆角反馈信息，但在本算法作用下，双摆起重机系统也能够快速地抑制并消除这些外扰，使两级摆角有效消摆，因此本算法具有较强的抗干扰能力。另一方面，即便在扰动作用下，本文设计的观测器也能够准确估计摆角信息，进一步表明了其有效性。

图6 不同干扰下所提方法控制效果Fig.6 Control results for the proposed method with different disturbances

5 结论

1) 通过对传统的梯形轨迹进行光滑整形，在前馈端构造了具有防摆功能的跟踪轨迹，保障了系统的平稳运行，并且简单易实现。

2) 将非线性、强耦合造成的系统不确定项和外扰视为总扰动，设计ESO 进行估计和补偿；将无法测量的负载摆角动态进行估计，不仅消除了未知摆角动态对系统的影响，同时可对负载摆角准确“软测量”，进而构造了双通道的自抗扰反馈控制器，并对闭环系统的稳定性进行了严格的理论证明。

3) 仿真结果表明，所提前馈加反馈的混合控制方案可在模型参数发生摄动及外扰作用的情况下，全过程平稳将吊重搬运到目标位置，有效地抑制了两级摆角摆动，并较大程度提高了系统的控制性能。