误差传递公式的教学探索

蔡 丹 杨 涛 陈国华

（桂林电子科技大学材料科学与工程学院 广西·桂林 541004）

0 前言

在大学物理实验中，最终的测量目标都是间接测量量。间接测量的结果是由直接测量结果按照一定的表达式计算出来的。因此，直接测量结果的误差（或不确定度）就必然影响到间接测量结果，这种影响的大小也可以通过相应的表达式计算出来，即误差传递公式（注：误差传递公式（error propagation formula）是2019年经全国科学技术名词审定委员会审定发布的物理学名词）。

误差传递公式是误差分析的基础，同时也是教学过程中的重点和难点。理工类专业的学生，学习大学物理实验课程的目标不应局限于仅仅掌握相关的实验操作技能以及正确的测量数据方法，还应该能够正确的进行数据处理和误差分析，给出合理的实验结果，明确主要误差的来源。从而在后续的设计性实验中进行误差分配，正确选择仪器。

1 学情分析

大部分国内高校开设的大学物理实验课程在第一次授课时，都会专门安排一节绪论课，对物理实验中的基本操作常识、仪器用法和误差理论进行讲解。由于误差传递公式是误差分析必不可少的工具，也被放到了绪论课中。但在后续进入具体实验项目之后，教师们一般都不会再花时间对相应实验中所用的误差计算公式进行推导或解释。因此，如何在上绪论课时就将这个贯穿始终的知识点讲解明白，就显得十分的重要。

然而笔者在多年教学过程中感受到，很多学生并没有很好的理解和掌握误差传递公式，即便记住了公式却也“知其然，不知其所以然”。相应的，在学生所上交的实验总结报告中，误差分析部分通常总是完成得最不理想的部分。可见，如何改进教学方法，使学生学得好，教师容易教，便是迫切需要解决的问题。

本校选修大学物理实验课程的通常都是大一下学期及大二上学期的理工科专业学生，笔者通过调查发现，在讲解绪论课时大多数专业的学生正在或者刚刚学完高等数学课程中关于多变量微积分的章节。俗话说：“数理不分家”，于是笔者尝试在讲解误差传递公式时，将数学知识与物理实验更紧密的联系起来，让学生从多个角度去认识和理解误差传递公式，从而更好的掌握这个重要的知识点。

2 教学设计

物理学中物理规律一般都可用数学形式表示，即所谓“公式”，但它又与纯数学公式有所不同。数学公式不一定有物理意义，而有物理意义的定律、定理，就一定能写出数学公式。物理规律是自然界万事万物遵守的规律，这个规律用公式写出来，就成为定量科学。规律写不出，或无法写出一个具体的数学公式，只能语言讲解时，就是定性科学。现在的物理学中，仍然有很多定性而没有达到定量的程度。

常用的系统误差传递公式及适用条件实验中总是伴随着误差的存在。由于某些仪器的零点不准、不等臂，理论公式的近似，某些实验条件的不满足和各种仪表的接入误差等原因，都可能产生系统误差。在计算时，一般采用系统误差的传递公式，我们不着急按照教材推导误差传递公式，而是首先通过一个简单的例子来说明，直接测量的误差（或不确定度）是为何，以及如何传递到间接测量的结果上。

在高等数学中，微分代表的是变量的变化量。而在物理实验中，某个变量在一定的范围之内变化又可以理解为其真实值存在着一定的不确定度，或者说误差。因此，我们将上式中的微分号d替换为代表不确定度的，即

如此，我们就建立了一种把直接测量的不确定度与间接测量的不确定度相关联的表达式，也即误差传递公式。但是，若用上式进行不确定度的计算，可能会因为右端各项之间正负抵消，导致对测量结果不确定度的估计过于乐观。因此，很多教材中将误差传递公式定义为：

可见，R和h的不确定度都会对V的测量结果产生影响，而两者的影响力取决于各自偏导数的大小。

以上推导过程与间接测量的计算表达式无关，可以概况为三步，即：第一步，计算全微分；第二步，微分换成不确定度；第三步，改写为“方和根”。利用同样的思路，也可以得到计算相对不确定度的表达式。

[例2]已知x、y和z为直接测量量，W为间接测量量，且满足。

首先对函数f两边取自然对数，即：

把微分号d替换为不确定号，即：

最后改写为“方和根”，即

3 结语

数理结合的教学设计，在一定程度上降低了学生对于误差传递公式的理解难度。问卷调查显示，超过80%的学生表示理解并容易接受上述“三步走”的推导过程。对比分析后发现，采用新教法授课的学生，其实验总结报告中误差分析部分的正确率有了明显的提高。当然，学生的学情、课程设置、课程要求等都是动态变化的，需要在教学过程中不断地进行探索和创新。