考虑瞬态效应的承载隔热多功能结构拓扑优化

吴书豪， 张永存， 刘书田

(大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)

1 引 言

热防护技术是高超声速飞行器结构设计成败的关键要素[1]。为满足在不断缩小的设计空间内实现更加苛刻的轻量化需求，迫使传统的热防护层+冷结构设计方案向一体化的隔热-承载多功能结构设计方案发展[2,3]。已有研究表明在相同的载荷工况下，隔热与承载多功能结构设计方案比传统设计方案减重最高达48.3%[4]。然而，由于高承载材料隔热能力非常差(如金属)，一体化承载-隔热多功能结构存在显著的热短路效应[5]，使得满足高承载的同时难以满足隔热性能。因此，发展系统的隔热-承载的多功能设计方法以及最大程度协同承载与隔热的矛盾，至关重要[6]。

内部填充隔热的波纹夹芯面板结构是目前研究最多的一体化隔热-承载多功能结构[7-9]。为实现防热功能与承载功能的协同，出现了多种改进设计方案。一是将腹板镂空，减少热短路效应，但为了保持结构的承载能力，在腹板的垂直方向增加了加强筋。二是将腹板与底面板均设计成夹芯板，即多层级波纹夹芯结构。利用夹芯板的抗屈曲、高刚度和强度特性，可使该种方案具有良好的承力性能。同时在夹芯板中填充隔热材料，可以降低腹板与底面板的导热系数。第三种改进方案是设计成双层波纹板，通过更多的参数设计，在保持性能要求的同时能够实现减重[10]。以上研究表明，通过合理的结构设计，能够实现承载与隔热的功能协同。

拓扑优化可以通过合理设计给定区域内材料的分布自动获得创新结构构型。拓扑优化经过几十年的发展，已经形成了多种实现方法，包括SIMP法[11-15]、渐进结构优化方法[16-18]、水平集方法[19-23]和移动组件法[24,25]等，并成功应用于结构力学、传热、电磁和声学等多个物理场[26,27]。传热与承载的多功能结构设计也备受关注。如De Kruijf等[28]提出了一种多目标结构拓扑优化方法，讨论了结构刚度与热传导性能两个相互冲突的设计原则。Long等[29]以结构质量最小为优化目标，同时考虑了承载能力和隔热性能，建立了宏微观一体化设计。Kambampati等[30]建立了考虑应力和温度的结构拓扑优化方法，指出应力和温度约束对柔顺性最小的拓扑优化结果有很大影响。Giraldo-Londoo等[31]同时考虑承载与传热为设计目标，建立了多材料的拓扑优化模型。Das等[32]建立了以孔隙率和孔径为设计参数，考虑承载和传热的梯度多孔结构拓扑优化模型。Yang等[33]针对一体化的隔热承载多功能热防护结构进行了拓扑优化设计，同时考虑了热力约束。以上研究均考虑了传热与承载存在一定的矛盾，研究结果表明拓扑优化能够合理地进行两者的协同。但现有工作均集中于承载与稳态热传导性能为目标的结构设计，未充分考虑瞬态效应的影响。

实际工程中的隔热结构往往要求是在一定时间要求下的隔热。如10马赫的飞行器飞行1万公里用时不足1小时。隔热结构只要能够在工作时间内阻止外部产生的热量传入内部即可。因此，隔热结构的设计必须考虑时间要素。已有的研究表明，与稳态热传导不同，瞬态热传导结构的最优拓扑结果与时间紧密相关，存在显著的瞬态效应[34]。Wu等[35]已经建立了以区域温度控制函数作为目标的瞬态热传导结构的优化模型。通过最小化特定位置的温度，可以实现在不同隔热时间要求条件下的最佳结构构型设计。然而，考虑瞬态效应的隔热性能与承载能力的功能协同还需要进一步的探讨。

本文的目标是研究建立考虑瞬态效应的承载多功能结构设计方法，探索瞬态效应对隔热-承载多功能结构协同的影响。

2 拓扑优化方法

2.1 问题描述

如图1所示的热防护结构，为一层布置于外部环境与内部结构之间的承载隔热多功能结构，在S1表面上同时受到外力和热源的作用。为了防止外部热流流入内部结构，多功能结构中布置了隔热材料，同时为了承受一定的力载荷，结构中还需要承载材料。由于承载隔热多功能结构在x方向的尺寸往往远大于在y方向的尺寸，所以本文选取其中一段进行研究，如图1虚线包围的范围。其中S2和S3表面认为是周期性边界，分析时可作为绝热边界；S4表面与内部结构相接触，其上温度与流出的热流依赖于内部结构的性质。在内部结构未知的情况下，内部结构的不确定造成热防护结构设计困难。实际上，如果忽略其流出的热量，则获得的热防护结构的设计将是保守的。为了简化设计问题，同时也能保证设计的方案是满足要求的，本文将S4边界视作绝热边界。

图1 承载隔热多功能结构

如果不考虑结构的隔热能力，热流会经由承载材料流入内部结构，从而产生过高的温度。因此S4区域的最高温度不允许超过许用温度。如果不考虑结构的承载要求，在结构中间设置隔热层，由于隔热材料的承载能力不足，结构会发生机械破坏。因此，如何设计一种合理的结构，能够在保证隔热要求的同时最大化其承载性能，是本文研究的目的。

结构的受力过程可通过静力学性能描述。其基于有限元方法的离散形式的控制方程可表示为

KSU=F

(1)

式中U和F分别为全局位移和力向量，KS为全局刚度矩阵。

对于传热问题，需要考虑瞬态效应。离散形式的瞬态热传导的控制方程为

(2)

2.2 拓扑优化模型

对于静力学结构优化问题，本文选取柔顺性作为结构承载性能的描述指标，柔顺性越小表明结构刚度越大，其定义为

c=UTKSU

(3)

对于瞬态热传导结构的优化，关心区域Ωc内的最高温度可以作为隔热性能的评价指标，如图1中S4边界上的最高温度。但最高温度点的位置会随着材料分布的变化而变化，因此在某些情况下，最高温度作为材料分布的函数是非连续的，而这种非连续性往往使优化问题的求解变得困难。因此，直接以最高温度作为目标或约束函数是不可取的。根据最大函数的光滑逼近理论，最高温度可以近似表示为一个温度控制函数，称为区域温度控制函数，其形式为

(4)

式中ξ(t)为某一时刻温控区域Ωc内最高温度的近似，g则是整个工作时间内温控区域Ωc内最高温度的近似。a为大于1的正常数，且当a→+∝时，ξ(t)→max(T(x,t))，g→max(T(x,t))。

由于对结构进行了有限元离散，ξ(t)的积分形式可以由温控区域Ωc内有限个网格点的温度近似表示为

(5)

式中Nc为温控区Ωc内网格节点的总数，ni为温控区内整个网格中第i个网格点的节点号，Tni(t)为某一时刻ni节点处的温度。

以柔顺性为目标，区域温度控制函数为约束函数，基于有限元形式描述的优化模型为

Min:c(X)=UTKSU

Sub:g(X)≤g0

KSU=F

(6)

本文采用基于梯度的优化算法求解式(6)的优化模型，因此，敏度信息是非常重要的。目标函数c(X)关于设计变量的灵敏度为

(7)

式中ue和ke分别为单元位移向量和刚度矩阵，p′为惩罚因子(通常p′=3)。关于推导的更多细节，可以参考文献[15]。

约束函数g(X)关于设计变量敏度的显式解析表达式可以表示为

(8)

式中拉格朗日乘子l可通过伴随状态方程(9)求解得到，即

(9)

详细推导过程可以参考文献[35]。

3 算 例

为了验证拓扑优化模型的有效性，本文设计了两个不同载荷和边界条件的算例。两个算例均为如图2所示的方形结构，大小为100 mm×100 mm。使用的材料Mat-1为气凝胶，具有较低的热导率，而且其弹性模量为0，不具有承载性能；材料Mat-2为钛合金，具有较高的承载能力，但是热导率较高，占总面积的30%，具体参数列入表1。整个结构的初始温度为0 ℃。

图2 算例1的力位移边界和热边界条件

表1 使用材料的材料属性

3.1 固定温度热源和均布载荷底面支承

方形结构上边界受到均布的压力，下边界固定竖直方向的位移，左右两端为周期性边界条件，如图2(a)所示。同时上方的热源为100 ℃的固定温度，其余三边绝热，如图2(b)所示，假设热源工作时间为2000 s，讨论不同许用温度g0=(100 ℃，55 ℃，50 ℃，45 ℃，40 ℃)下的最优结构设计。

图3给出了在许用温度为40 ℃时，整个拓扑优化过程柔顺性和底面最大温度的迭代曲线。可以看出,本文方法达到收敛的过程是平滑的，柔顺性随着优化迭代不断降低，并很快达到收敛，底面最大温度随着优化迭代一开始是不断上升的，当最大温度达到40 ℃时就趋于平缓，许用温度约束达到上限。整个迭代过程表明，求解方法有效，求解过程收敛性好。

图3 柔顺性和底面最大温度迭代曲线

为讨论瞬态效应引起的结构拓扑形式的变化，表2列出了五种不同许用温度约束下获得的结构拓扑、最终时刻的温度场、底端最大温度和结构柔顺性。由表2可知，不同许用温度获得了不同的拓扑优化结果。值得注意的是，当许用温度为100 ℃时，最终拓扑的最大温度为57.9 ℃，此时温度约束并没有发挥作用，该模型退化为柔顺性最小问题。也就是说，当许用温度低于57.9 ℃时，才会产生瞬态效应，隔热才会发挥作用。当许用温度从55 ℃逐渐减少到40 ℃时，结构拓扑也发生显著的变化。主要体现在两个方面,一是主要承力结构在载荷端呈现树枝状分布，枝干部分由上往下由细变粗，这样可以减少流入的热流；二是结构分布变得规则，这使得热流往下流的过程中，可以经过尽可能多的隔热材料，从而将热量暂时保存在隔热材料中。对比拓扑在最终时刻的温度场分布可以发现，温度场中的红色高温区域逐渐上移，且结构底端趋向于均匀温度，在水平方向不会出现温差较大的区域。图4 给出了许用温度为100 ℃和40 ℃两种拓扑结构在x方向3×1的阵列结构。

表2 不同许用温度下获得的最优拓扑的性能

图4 许用温度为100 ℃和40 ℃两种情况下得到的拓扑的阵列

从底面最大温度看，许用温度约束均达到约束的上限，结构满足隔热性能要求；同时，由于许用温度的减少，也就是隔热能力的要求提高，结构柔顺性也逐渐增大，即结构的刚度逐渐降低。这些结果说明，为了满足结构的隔热性能，需要牺牲一定的承载性能，且隔热性能要求越严苛，承载性能下降越多。另外，对五种拓扑结果进行分析，图5给出了底面最大温度随时间的变化曲线，对五种拓扑结果的对比表明，不考虑隔热的设计方案(许用温度为100 ℃)，在大约1500 s时就到达了40 ℃，比严格控制隔热性能的设计方案(许用温度为 40 ℃)，提前了约500 s，但刚度损失约13%。以上结果证明，该优化模型能够实现结构承载与隔热功能的协同设计。

图5 五种拓扑结构底面最大温度随时间变化

3.2 固定热流热源和均布载荷两端简支

第二个算例中方形结构上边界受到均布载荷，下边界两端简支，左右两端为周期性边界条件，如图6(a)所示。同时上方的热源是固定热流边界 0.01W，其余三边绝热，如图6(b)所示。假设底端的许用温度为g0=60 ℃，讨论不同热源工作时间(850 s，900 s，950 s，1000 s)的最优拓扑结构设计。

图6 算例2的力位移边界和热边界条件

图7给出了在工作时间为1000 s时，整个拓扑优化过程柔顺性和底面最大温度的迭代曲线。可以看出，本文方法达到收敛的过程是平滑的，柔顺性随着优化迭代不断降低，并很快达到收敛，底面最大温度随着优化迭代一开始是不断上升的，当最大温度达到60 ℃时就趋于平缓，许用温度约束达到上限。整个迭代过程表明，求解方法有效，求解过程收敛性好。

图7 柔顺性和底面最大温度迭代曲线

表3给出了不同工作时间条件下得到的结构拓扑、最终时刻的温度场、底端最大温度和结构柔顺性。值得注意的是，当工作时间足够短(850 s)时，最终拓扑的底面温度为57.5 ℃，小于许用温度60 ℃，说明此时许用温度约束不发挥作用，拓扑优化结果为柔顺性最小的设计。随着工作时间的增加，拓扑结果主要发生两个方面的变化，一是主要承力结构与载荷端的接触面积不断变少，枝干部分由上往下由细变粗，拱形结构不断下降，这样可以减缓热流从上端往下流入。二是结构分布范围不断变大，在热流往下流的过程中，热流可以流入到隔热材料中。由于隔热能力的提高，在水平方向的温度颜色由差异较大逐渐趋向于相同，即温度分布逐渐趋向于均匀。从数值上来看，在不同工作时间条件下，许用温度约束均达到上限。随着需求的工作时间越长，结构所需要的隔热能力也越强，此时，结构的柔顺性也随之升高，即结构承载能力下降。图8给出了工作时间为850 s和1000 s两种拓扑结构在x方向3×1的阵列结构。图9对四种拓扑结果的对比表明，不考虑隔热的设计方案(工作时间为850 s)，在1000 s时底面的最大温度达到了82 ℃，比严格控制隔热性能的设计方案(工作时间为1000 s)的最大温度高了22 ℃，但刚度损失约23%。四种设计方案的对比证明，该优化模型能够实现结构承载与隔热功能的协同设计。

表3 不同工作时间下获得的最优拓扑的性能

图8 工作时间为850 s和1000 s时得到的拓扑的阵列

图9 四种拓扑结构底面最大温度随时间变化

4 结 论

本文将静力优化中的柔顺性和瞬态热传导优化中的区域温度控制函数相结合，建立了以单元密度为设计变量，以结构柔顺性最小为目标函数，材料用量和区域温度控制函数为约束条件的优化模型，提出了一种考虑瞬态效应的面向承载-隔热多功能结构的拓扑优化方法。数值算例显示，对于固定温度和固定热流两种热源，均布压缩载荷和均布载荷两端简支两种载荷工况下，本文拓扑优化方法均能够得到满足隔热要求的承载结构，从而验证了本文方法的有效性。并且本文方法得到的拓扑结果能够精确满足不同许用温度和不同工作时间的隔热要求。