基于双曲面蜂窝夹层结构等效模型的研究及数值分析

沈元星， 侯文彬

(大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室 汽车工程学院，大连 116024)

1 引 言

蜂窝夹层结构是由胶黏剂将上下两块面板和中间厚而轻的蜂窝状夹芯粘接而成的层状复合结构，由于该类结构具有比强度和比刚度高，以及优异的隔音、吸震和隔热等性能特点，已广泛应用于航空航天和交通运输等领域[1-3]。由于蜂窝夹层板的特殊结构，在工程和科学研究中一般不直接对其进行分析计算，而是对模型进行等效以作简化[4-8]，使实际问题易于研究。Gibson等[9]在20世纪80年代采用Bernoulli-Euler梁模型给出了不考虑轴向以及剪切变形的等效弹性参数公式；富明慧等[10]通过考虑蜂窝壁板的伸缩变形对Gibson公式进行了改进；胡玉琴[11]对各边非等厚度的铝蜂窝夹芯结构的等效力学参数进行了补充研究；马连华[12]进一步考虑蜂窝壁板剪切变形的影响，给出了更为精确的等效弹性参数计算公式。但是以上对蜂窝夹层板的研究都是基于平面蜂窝结构提出的，在一些实际工程应用中，蜂窝夹层结构是以曲面蜂窝板的形式存在，如民用飞机机身腹部整流罩以及发动机机舱、通用飞机机身、船体以及发动机罩等[13-15]，如果仍然用平面理论方法进行等效计算难免会有误差。

本文在文献[11,12]的理论基础上，对双曲面蜂窝夹层结构的等效参数进行研究，建立不等壁厚正六边形蜂窝芯的等效力学模型，并通过建立有限元模型对理论模型进行验证。

2 双曲面蜂窝夹芯等效参数公式的推导

由于蜂窝胞元边长很小，对于曲面蜂窝芯子仍可以将蜂窝边近似看作是直边，双曲面蜂窝芯的孔径尺寸不一致，向外的一侧(外胞面)孔径尺寸比内侧(内胞面)孔径尺寸大，如图1(a)所示。以Y模型建立蜂窝芯等效模型(图1(b))，设Es为蜂窝芯材料的弹性模量，b为蜂窝芯的厚度，t为薄胞壁厚度，2t为厚胞壁厚度。l1和l2分别为双曲面蜂窝芯外薄胞壁和内薄胞壁的长度，h1和h2分别为双曲面蜂窝芯外厚胞壁和内厚胞壁的长度，l和h分别为沿厚度方向任意截面S处薄厚胞壁的长度，由于每个胞元中心轴线并不平行，所以此处建立胞元局部坐标系，与厚胞壁垂直的为1方向，与胞元中心轴线平行且指向外胞壁的为3方向，2方

向由右手法则确定，后续各项参数的推导都是建立在此坐标系下以及截面S上进行的，局部坐标系和单胞结构如图2所示，x为截面S到内胞面的距离(0

图2 坐标系和单胞结构

2.1 面内弹性模量Ec 1和Ec 2的推导

胞元受1方向单向应力时，模型受力如图3(a)所示，图3(b)为等效受力示意图，F1为σ1的等效拉力，M为等效弯矩。

胞元受2方向单向应力时，模型受力如图3(c)所示，图3(d)为等效受力示意图，F2为σ2的等效拉力，M为等效弯矩。

图3 Y单元体单向受力示意图

令h/l=α，t/l=β，对于正六边形蜂窝芯，θ=30°，α=1，经过推导，面内模量与文献[11]得到的结果一致，即

(1)

由式(1)可以得出，面内模量与截面S处胞壁长度l相关，而l可以由图4的几何关系表达为

(2)

图4 胞壁尺寸

由此可以得到与夹芯厚度相关的等效面内模量表达式为

(3)

2.2 剪切模量Gc 12的推导

(4)

对于正六边形蜂窝，θ=30°，h=l，则

(5)

图5 剪切模量Gc 12等效示意图

图6 蜂窝芯剪切受力和胞壁BD的变形模式

同理，可以得到与夹芯厚度相关的等效剪切模量

(6)

2.3 对剪切模量Gc 23和Gc 13的推导

如图7所示，T为单位长度剪力，可得Y模型的单元体剪切变形能

(7)

式中Gs为蜂窝材料的剪切模量，l0为夹芯中间截面处胞壁的长度。

由于均质实体的相当体为一个四棱台，垂直于厚度方向的横截面的胞壁长度不断变化，造成相当体等效剪应力也不相等，为利于计算，此处用平均应力近似代替，即

(8)

图7 蜂窝芯子受剪示意图

若相当体在2方向的剪切模量为Gc 23，则相当体总的变形能

(9)

式中Ve q为四棱台的体积，对于正六边形蜂窝，θ=30°，故

(10)

根据相当体与Y单元体总变形能相等得

(11)

对于Gc 13受力模型，剪力流如图7(c,d)所示，取Y基本单元体，设单元体上的单位长度的剪力为T，则总的变形能

(12)

对于均质实体相当体，当θ=30°时，剪应力为

(13)

(14)

令U=Ue q，得

2.4 等效弹性模量Ec 3的推导

由于曲面蜂窝胞元垂直于厚度方向的横截面面积是不断变化的，故蜂窝芯厚度方向的拉压刚度也不断变化(图8所示)，由截面S处的拉压截面刚度与相当体截面S处的拉压截面刚度Ke q相等得

(16)

图8 芯子模量Ec 3模型

2.5 对等效密度c的推导

由相当体与Y单元体质量相等

(17)

得

(18)

根据以上推导过程，将等效参数公式总结如下。

(19)

3 有限元案例分析

为了验证双曲面蜂窝等效力学模型的准确性，利用CATIA建立三个弦高比依次增加的双曲面铝蜂窝夹层结构详细模型和相应的等效模型，根据弦高比的不同，最后将模型分为三组，即每个详细模型以及相应的等效模型为一组，对于双曲面模型，每组模型共有两个弦高比，弦高比用λ表示，h为弦高，l为弦长，其中

λi=hi/li

(20)

式中i=1,2，详细模型如图9(a)所示，其中图9(b)为1/4模型及尺寸示意图。

图9 双曲面蜂窝夹层结构

表1 蜂窝芯尺寸参数

图10 双曲面蜂窝夹层板有限元模型

(1) 弯曲工况

(2) 扭转工况

在夹层板上面板的一端一角沿着Z轴负方向施加大小为100 N的集中载荷，另一端固定，如 图11(c)所示。

(3) 侧向工况

在夹层板上面板的一端一角沿着X轴负方向施加大小为100 N的集中载荷，另一端固定，如 图11(d)所示。

(4) 模态分析

释放夹层板的所有自由度，采用线性摄动分析法对夹层板进行自由模态分析，得到前五阶固有频率值。

各工况分析结果及误差百分比列入表2和 表3。其中误差百分比E/%=(测量值—标准值)/标准值×100%，以详细模型计算结果作标准值，等效模型计算结果为测量值。

图11 各工况示意图

表2 前三种工况下的位移及误差百分比Tab.2 Displacements under the three working conditions and error percentage

表3 前五阶固有频率及误差百分比Tab.3 First five natural frequencies and error percentage

通过三个模型在以上工况下的有限元分析结果，可以得出以下结论。

(1) 对于双曲面蜂窝夹层结构，在弦高比较小的情况下，即模型一(近平面结构)和模型二，采用三明治夹芯板等效法和曲面蜂窝板等效法在各工况下的计算结果，与详细模型的计算结果大致相当，误差较小，在计算结果要求不是很高的情况下都可以使用。

(2) 随着结构弦高比的增加，三明治夹芯板理论模型与曲面蜂窝板理论模型的有限元分析结果差别越来越明显，在弦高比较大的结构上，曲面蜂窝板等效法能够得到更加精确的计算结果，体现出更好的适用性，如表2模型三在侧向工况分析，等效公式一的计算结果误差为30.1%，而等效公式二的计算结果误差为9.75%，其内在原因是在侧向工况下，双曲面夹层结构的变形模式主要为剪切变形，而等效公式二中的Gc 13和Gc 23与等效公式一存在着一定的区别，该区别的大小主要取决于蜂窝芯内外胞壁长度的差异程度，而蜂窝芯内外胞壁长度的差异程度取决于结构弦高比的大小，弦高比越大，内外胞壁长度的差异越大，导致两种等效公式的剪切模量值区别越大，因此二者会有较大偏差，而模型一、二的弦高比较小，所以结果偏差也较小。综合来看，曲面蜂窝板力学模型能够适用于更广泛的工程应用。

(3) 随着结构弦高比的增加，在一定工况下(如侧向工况)，三明治夹芯板理论模型、曲面蜂窝板理论模型有限元分析结果与详细模型有限元分析结果的误差都越来越大，主要原因有以下几点。

(a) 曲面蜂窝的内外侧孔径尺寸不一致，外胞面孔径尺寸比内胞面孔径尺寸大，在同一厚度条件下，随着结构弦高比的增加，内外孔径尺寸差越来越大，并且每个胞元的孔径朝向各不相同，不能再以直角坐标系作为力学模型的参考坐标系。而三明治夹芯板理论主要是针对于平面蜂窝结构，即胞元内外孔径尺寸一致，每个胞元孔径朝向一致的结构。所以当弦高比越来越大时，误差将越来越大。

(b) 在有限元计算中，为简化计算，截面S取的是中截面，曲面蜂窝板理论在计算胞壁的变形量时，是将Y单元体的三个胞壁近似为等截面梁，并且将胞壁的平均应力近似为等效应力。而同理，由于曲面蜂窝的内外侧孔径尺寸不一致，在同一厚度条件下，随着结构弦高比的增加，内外孔径尺寸差越来越大，胞壁的截面尺寸变化明显，胞壁的平均应力与实际的应力分布相差也越来越大，所以误差越来越大。

4 结 论

本文对双曲面蜂窝夹层结构进行了研究，具体结论总结如下。

(1) 建立了双曲面蜂窝夹层结构模型，推导了双曲面蜂窝夹层结构的等效模型参数。

(2) 应用双曲面蜂窝夹层结构模型进行计算，并与平板理论进行了比较，结果表明，双曲面夹层板等效力学模型对曲面类型蜂窝夹层结构具有更好的适用性，同时对近平面结构也有相当的适用性，在一定程度上丰富了蜂窝夹层结构的理论模型。

(3) 考察了弦高比对曲面板计算结果的影响，结果表明，双曲面蜂窝夹层结构模型与平板理论计算结果的差别随着结构弦高比的增加而增大。在大弦高比的情况下，双曲面夹层板等效力学模型计算结果仍能保持较高的准确性，而平板理论在特定工况下的计算误差不可忽略，此时平板理论将不再适用。

此外，在有限元计算中，截面S取的是中截面，在这种情况下，计算结果与详细模型相比，必然会有误差，如何将厚度相关的曲面夹层结构等效力学模型转换为相应的有限元本构关系，是下一步重点研究的问题。