利用斯特瓦尔特定理解答2021年的几道高考试题

2022-04-25 01:02董立伟
数理化解题研究·高中版 2022年3期
关键词:三角形

摘要:文章利用斯特瓦尔特定理解答了2021年的几道高考数学试题.

关键词:斯特瓦尔特定理;高考題;三角形

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0098-02

收稿日期:2021-12-05

作者简介:董立伟(1991-),男,硕士,中学一级教师,从事数学教学研究.

基金项目:太原市第六届教师个人课题“基于学生深度学习的高中生数学阅读能力的培养研究”(项目编号:GR-21469).[FQ)]

斯特瓦尔特定理:设P为△ABC的BC边上任一点(P≠B,P≠C),则有

AP2=AB2·PCBC+AC2·BPBC-BC2·BPBC·PCBC.

利用余弦定理可以很容易地给出斯特瓦尔特定理的证明,此处不再赘述.

以下我们利用斯特瓦尔特定理解答几道2021年的高考试题.

例1(2021年新高考Ⅰ卷第5题)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则MF1·MF2的最大值为().

A. 13B. 12C. 9D. 6

解析由斯特瓦尔特定理,得

MO2=MF21·OF2F1F2+MF22·OF1F1F2

-F1F22·OF1F1F2·OF2F1F2.

因为O为线段F1F2的中点及

OF1=OF2=5,

所以MO2=12MF21+12MF22-5.

即MF21+MF22=2MO2+10.

配方,得

MF1+MF22-2MF1·MF2=2MO2+10.

将MF1+MF2=6代入并化简变形可得

MF1·MF2=13-MO2.

设Mx0,y0,由点M在椭圆C上可得

y20=4-49x20.

所以MF1·MF2=13-MO2

=13-x20+y20

=13-x20+4-49x20

=9-59x20≤9,

当且仅当x0=0时等号成立.

所以MF1·MF2的最大值为9.

故选C.

例2(2021年新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.

(1)证明:BD=b.

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

解析(1)由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理,得

BD=asinCsin∠ABC=acb=b2b=b.

(2)由斯特瓦尔特定理,得

BD2=BA2·DCAC+BC2·ADAC-AC2·ADAC·DCAC.

由BD=b及AD=2DC,得

b2=13c2+23a2-29b2.

化简变形,得

11b2=6a2+3c2.

因为b2=ac,

所以6a2-11ac+3c2=0.

即3a-c2a-3c=0.

解得c=3a或c=23a.

当c=3a时,b2=3a2.

由余弦定理,得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+9a2-3a26a2

=76(不合题意,舍去).

当c=23a时,b2=23a2.

由余弦定理,得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+49a2-23a243a2

=712.

所以cos∠ABC=712.

例3(2021年浙江卷第14题)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

解析由斯特瓦尔特定理,得

AM2=AB2·MCBC+AC2·BMBC-BC2·BMBC·MCBC.

因为AB=2,AM=23,且M是BC的中点,

所以10=12AC2-14BC2.

即AC2=20+12BC2.

在△ABC中对∠B用余弦定理,得

12=4+BC2-AC24BC.

将AC2=20+12BC2代入并化简,可得

BC2-4BC-32=0.

解得BC=8,AC=213.

再由MC=12BC=4,

并在△MAC中对∠MAC用余弦定理,得

cos∠MAC=AM2+AC2-MC22AM·AC=23913.

所以AC=213,cos∠MAC=23913.

参考文献:

[1] 沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题[M].长沙:湖南师范大学出版社, 2019.

[责任编辑:李璟]

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