石墨烯2种电导率模型的比较与分析

陈秀艳, 石钠月

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034)

0 引 言

近年来,石墨烯由于其出色的热学、电学和光学特性,在导电导热纳米复合材料、超薄碳膜、传感器、光电探测器等领域有潜在的应用价值[1-5]。无论是石墨烯的光学应用还是电学应用,都离不开石墨烯的电导率。潘登科等[6]讨论了石墨烯在微波至可见光波段的电磁特性,文中具体讨论了石墨烯电导率随化学势及温度的变化关系。刘杏[7]讨论了基于石墨烯的微波毫米波吸波技术研究,文中基于Kubo公式讨论了石墨烯的电导率特性。邢睿[8]基于石墨烯的新型波导和可调微纳光器件进行研究,文中提到了Drude公式,但并没有进行具体分析。截止目前,没有人对于石墨烯的Kubo公式及Drude公式进行过具体的比较分析,因此,考虑到石墨烯电导率对于石墨烯研究的重要性,本文总结了2种主要用来计算石墨烯电导率的模型,分别为Kubo公式[9-13]及Drude公式[14-15]。基于这2个公式分别计算了微波波段石墨烯的电导率、介电常数及折射率,将2个得到的结果进行对比分析。结果表明,由2个公式得到的电导率几乎相等,但得到的介电常数的实部有着明显差异,虚部完全相同。Kubo公式计算出来的介电常数实部是随着频率的增加趋近于Drude公式计算出来的结果的。可能是因为Kubo公式与Drude公式之间所差的带间跃迁的表达式及Drude公式的过于简化造成这种差异。折射率的变化趋势相同,并没有受到介电常数结果的影响,因此Kubo公式和Drude公式均可用来计算石墨烯的折射率,但Drude公式更便于计算。

1 石墨烯电导率模型

在微波波段,石墨烯的电导率为复数σ=σ′-iσ″。石墨烯的电导率可由Kubo公式和Drude近似公式2种类型的公式表达,Kubo公式适用于微波至可见光波段,而Drude近似公式只适用于微波波段。因此接下来对2个公式进行介绍与分析。

1.1 Kubo公式

根据Kubo公式,石墨烯的电导率可以分为带内电导率σintra和带间电导率σinter两部分,由以下公式描述:

化学势μc可由载流子浓度ns[13]给出

(4)

式中:vF=9.5×105m·s-1是费米速度;为能量;fd()为费米达拉克分布。该函数表达为

fd()

(5)

载流子浓度能够通过化学掺杂或栅极偏压等方式进行调节。

1.2 Drude近似公式

Drude近似公式主要有2个参数:D(Drude重量)和Γ(散射率)。当光波频率较低时,始终有ћω<2EF,其中EF为费米能级,因此泡利不相容原理禁止了石墨烯的带间跃迁[16],此时石墨烯电导率表达式为

(6)

其中D=e2μc/ћ2,于是有

(7)

相比于Kubo公式,Drude近似公式不仅不需要考虑带间电导率,而且更加简化了公式本身的复杂度,更便于计算。但相应带来的缺点就是Drude近似公式受到频率的限制,只能在频率较低时使用,而Kubo公式可以在任意波段使用。由于Drude公式简单,忽略带间跃迁,损耗很小且只适用于低频率,因此该公式更适合用来计算石墨烯等离子体。

2 结果与讨论

为了将2种公式进行比较和分析,分别计算了石墨烯的电导率、相对介电常数及折射率。石墨烯的相对介电常数表达为[17]

(8)

式中:σ为石墨烯的电导率;ω为角频率;ε0为真空介电常数;Δ为石墨烯的厚度,值为0.335 nm[18]。

石墨烯的折射率的表达式为[7]

(9)

由于Drude公式只适用于频率较低的时候,因此选择在0.1～1.0 GHz波段分别根据2种公式计算出石墨烯的电导率、介电常数和折射率随频率的变化,以此更好比较和分析2种公式的结果。

2.1 电导率的比较与分析

比较τ=0.1ps[6],T=300 K,μc=0.5 eV时2种公式的电导率实部与虚部在0.1～1.0 GHz 频率范围内随频率变化的关系, 如图1和图2所示。 图1为电导率实部的比较, 图2为电导率虚部的比较。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式图1 2种公式计算的电导率实部随频率变化的关系Fig.1 Relationship between real part of conductivity calculated by two formulas and frequency

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式图2 2种公式计算的电导率虚部随频率变化的关系Fig.2 Relationship between imaginary part of conductivity calculated by two formulas and frequency

从图1中可以看出,2种公式计算的电导率存在着细微的差距,Drude近似公式计算的结果比Kubo公式的结果小了约3×10-6S,这个差值可以忽略不计。且从图1可以看出,2种电导率实部随频率的变化趋势一致,都是随着频率的增加而减小。从图2可以看出,2种结果相差约1×10-7S,也可以忽略不计,并且2种电导率虚部随频率的变化趋势也一致,都是随着频率的增加而减小。由于Drude公式相较于Kubo公式忽略了带间跃迁,因此这个极小的差值可能是忽略带间跃迁造成的。但由于差值可以忽略不计,因此在0.1～1.0 GHz频率范围内,2种公式都适用于石墨烯电导率的计算。

2.2 介电常数的比较与分析

将上述电导率数值代入介电常数的表达式中计算出2种介电常数在0.1～1.0 GHz频率范围内随频率的变化,如图3和图4所示。图3为介电常数实部的比较,图4为介电常数虚部的比较。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式图4 2种公式计算的介电常数虚部随频率变化的关系Fig.4 Relationship between imaginary part of dielectric constant calculated by two formulas and frequency

从图3可以看出,基于2种电导率计算出的介电常数实部有着明显的差距。虽然2种介电常数都呈现随着频率增加而增加的趋势,但很明显,根据Drude公式计算出的变化很小,这种变化可以忽略不计,而根据Kubo公式计算出的结果有着明显的变化,而且随着频率的增加,Kubo公式计算的结果在趋近于Drude公式计算的结果。造成这种情况的原因是介电常数的实部是由电导率的虚部决定的,而根据Drude公式可以看出,电导率的虚部只受频率的影响,带入到介电常数公式中后,这种影响可以忽略不计。此外,Kubo公式中的带间跃迁也可能造成这种介电常数的结果变化不明显。从图4可以看出,虽然二者的介电常数实部差距较大,但虚部一致。而介电常数的虚部受电导率实部影响,这进一步说明了2个公式计算出的电导率的实部是可靠的。

2.3 折射率的比较与分析

根据折射率的公式,将计算出的介电常数代入公式中,计算出了2种折射率在0.1～1.0 GHz频率范围内随频率的变化,如图5和图6所示。图5为折射率实部的比较,图6为折射率虚部的比较。

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式图5 2种公式计算的折射率实部随频率变化的关系Fig.5 Relationship between real part of refractive index calculated by two formulas and frequency

(a) Kubo公式; (b) Drude近似公式图6 2种公式计算的折射率虚部随频率变化的关系Fig.6 Relationship between imaginary part of refractive index calculated by two formulas and frequency

从图5和图6可以看出,根据2种公式计算出的石墨烯折射率的实部和虚部的变化趋势相同。石墨烯折射率的实部随着频率的增加而减小,虚部随着频率的增加而增大。虽然Kubo公式与Drude近似公式计算出的电导率不完全相等,介电常数也存在明显的差异,但二者计算出的折射率完全相等。这说明,虽然折射率通过介电常数计算得到,但结果并没有受到介电常数的影响。这可能是因为折射率是通过介电常数开方获得的,让本就很小的差异忽略不计。因此在微波频段,Kubo公式和Drude公式都可以用来计算石墨烯的折射率,Drude公式因其公式简单,更适合用来计算。

3 结 语

本文基于Kubo公式及Drude公式2种不同的描述石墨烯电导率的公式对于微波波段石墨烯的电导率、介电常数及折射率进行了计算,并将得到的结果进行了比较与分析。结果表明,微波波段2种公式得到的石墨烯电导率相差无几,但介电常数实部有着明显的差异,虚部则完全相同。这些差异的存在一方面是因为Drude公式相比于Kubo公式少了带间跃迁的部分,另一方面是因为Drude公式本身过于简化。根据2个公式计算的折射率的变化趋势相同,并没有受到介电常数结果的影响。因此,在对石墨烯进行计算与应用时,在微波波段只考虑电导率与折射率的情况下用2种公式都可以,Drude公式更便于计算,但需要应用介电常数时,Kubo公式更加合适,更能确保得到的介电常数与实际相接近。