关于Cantor三分集定义方式的一个新进展

徐 斌

(普洱学院 数学与统计学院，云南 普洱665099)

1 引 言

1883年，德国数学家康托尔(Cantor)为了厘清点集理论中的一些概念，构造了一个“数学怪物”——Cantor三分集[1]，此集合是一个测度为零且基数为的疏朗完备集，由于Cantor三分集将多种“看似不相容的性态”和谐的集于一体，其在点集理论中有类似“标本”的作用，无论在理论上或者应用上都具有重要意义.对于Cantor三分集，传统的定义[2-6]为，将闭区间[0，1]三等分挖去中间的开区间剩下两个闭区间及分别对剩下的两个闭区间施加以上做法(三等分挖去中段开区间)就剩下四个闭区间，每次都对剩下的每一个闭区间都施加“三等分挖去中段开区间”的做法，无限进行，最终剩下的点集就称为Cantor三分集.这种定义是“描述式”的，其在实际应用中不够精确，用其处理问题也不易把握.

另外，还有作者是借助“三进制数”的理论而作的定义[7-9]，比如，参考文献[7]是这样定义的，

(1)

但是，没有给出证明，对于如此定义的集合就是传统所说的Cantor三分集是不明显的，需要作进一步的论证.

2020年，徐斌在参考文献[10]中，利用结构化方法定义了“上的三分族” “上的无再生三分族” “Cantor三分族”等概念，并对Cantor三分集的定义方式进行研究，得到了Cantor三分集的一种新的定义公式，

(2)

将进一步证明，等式(1)与等式(2)是等价的，为“三进制数定义方式”提供了一种严密的理论基础.

2 预备工作

定义1(上的三分族)[10]设an，i，bn，i∈，且an，i

若Ω满足条件：

(i)对于任意n∈+，i1，i2∈T(n)，若i1≠i2，则βn，i1∩βn，i2=∅；

(ii)对于任意n∈+，i∈T(n)，有

则称Ω是一个上的三分族.

定义2(上的无再生三分族)[10]Ω是一个上的三分族，且对于任意x∈，n∈+满足x∉Dn⟹x∉Dn+1，则称Ω是一个上的无再生三分族.

定义3(Cantor三分族)[10]设Ω是一个上的无再生三分族，且则称Ω是一个Cantor三分族.

引理2[10]设

引理3[10]设

则Ω={Fn|n∈+}是一个上的无再生三分族.

3 主要结果

而

由于

及

有

所以有

是Cantor三分集.

定理2若

则有T(n)=H(n).

证对于任意k∈+，jk∈{0，1}有

从而，对于任意k∈+，(j1，j2，…，jk)∈{0,1}k有

即对于任意(j1，j2，…，jn)∈{0,1}n，1≤t≤n有

由于

所以

即有

综上所述，对于任意n∈+，i∈T(n)，唯一存在(j1，j2，…，jn)∈{0,1}n，使得成立，即有T(n)⊆H(n).因此，证明了

(3)

证由定理2知，

由定理1知，Cantor三分集

所以

是Cantor三分集.

4 结 论

证明了Cantor三分集的等式(2)，及关于三进制数的等式(3)，并证明了等式(1).通过这些研究，为Cantor三分集的“三进制数定义方式”提供了一种严密的理论基础，同时也增进了对Cantor三分集本质结构的认识.

致谢作者非常感谢《大学数学》的审稿专家，他们的建议使作者受益良多！作者从相关的参考文献中也得到了很多启发，在此表示感谢！