带干扰的广义泊松风险模型最优预防策略

周 瑾，王传玉，陈 哲

(安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000)

传统的经典风险模型是在1903年由Filip Lunberg[1]提出的，定义了在经典风险模型中的索赔次数为泊松过程。保费收取时间为连续的过程，是在调节系数存在唯一性、相对安全负载和独立性条件下得到的破产概率结果。随后Gerber[2]在1970年最先提出了带干扰的经典风险模型，其中扰动项是一个方差为2D(D>0)的布朗运动，将破产分为理赔引起的和干扰引起的两种情况。此外，Durfesene等[3]直观地导出了生存概率和破产概率满足的瑕疵更新方程，由此也导出了理赔与干扰满足的瑕疵更新方程，若再利用调节系数将这些瑕疵更新方程化为适定更新方程，便可分别导出索赔及干扰引起的破产概率，从而也就导出了破产概率的Lunberg近似。彭勤文[4]考虑了一种带干扰的风险模型，其中保费收入过程和索赔计数过程均为常数率的泊松过程。运用鞅方法求得其破产概率及其上界，并讨论了调节系数与破产概率之间的关系。方世祖等[5]研究了带干扰的经典风险模型，讨论了盈余过程的鞅性和马尔科夫性，利用鞅方法求得相应的破产概率表达式。傅立群等[6]研究了盈余过程服从复合泊松，且分红决策时间服从Erlang(2)分布下对偶中的最优分红。利用数值模拟的方法，分别描述了最优分红策略与利率、分红频率、波动率、费用率的关系。周金乐等[7]研究了带扰动的广义Erlang(n)对偶风险模型，并在利润额服从指数分布时，得出了直到破产为止总的红利贴现值的期望值表达式。

广义泊松分布最早是1973年由Consul[8]提出，指的是一种具有附加参数的广义泊松分布，以及作为某一模型极限形式下得到的广义泊松分布，并根据附加参数取值的正负来决定广义泊松分布的方差与均值之间的关系，为大多数模型提供了一种方法来计算其期望，以表明广义分布对一些二项、泊松、负二项数据提供了很好的拟合。龚日朝等[9]将索赔发生由之前的泊松分布推广为广义泊松，并解决了多个索赔同时到达的问题。陈雪娇[10]在考虑将单一险种推广为双险种的前提下，研究了双险种的广义泊松风险模型。推导出了破产概率所满足的积分表达式以及上界，并在索赔额服从指数分布时给出了破产概率的具体表达式。

1972年，Ehrlich等[11]提出将自我保护(减少损失的规模)和自我保险(减少损失的可能性)两类预防分开。在保险公司的实际经营当中，自我保险就相当于再保险，自我保护就相当于预防策略。Dionne等[12]提出了预防可以降低索赔到达的强度的经济学假设。Gauchon等[13]在前人的基础上，首次将最优预防策略与经典风险模型整合，研究了经典风险模型的最优预防策略。证明了在经典的有预防的破产模型中，实现破产概率最小的预防量使调节系数最大化，以及在有红利的破产模型中达到破产前的期望红利最大化。研究还指出，如果一个人的目标是在固定的时间范围内使得平均盈余最大化，那么最优的预防策略是不同的。

相比于经典风险模型最优预防策略，带干扰的广义泊松风险模型最优预防策略还考虑到了其他不确定实际收入对广义泊松的影响，更为贴近现实生活情况。因此，本文在Romain[13]的结果上进行推广，将干扰、广义泊松过程引入到经典风险模型最优预防策略中，运用鞅方法得到了该模型的破产概率的一般表达式，在索赔服从指数分布的情形下，给出了生存概率和使风险达到最小的最优预防量的精确表达式，最后分别画图分析扰动对调节系数以及生存概率的影响和服从指数分布下的理赔额参数对调节系数以及生存概率的影响。

1 建立模型

(1)

本文假设λ(p)在[0，c]是一个正的、递减的严格凸的二阶连续函数。

(1)λ(·)为正意味着不能阻止一切风险。这个假设的解释是，如果λ(·)可以等于0，它将允许一些套利机会。

(2)λ(·)递减意味着预防可以降低索赔到达的强度。

(3)λ(·)严格凸意味着预防费用越高，索赔频率的额外减少会减少。

(2)

式中，μ=E[Xi]<∞。

定义1安全荷载系数：

(3)

定义2 破产时刻Tu=inf{t;U(t)<0}，最终的破产概率ψ(u,p)=p{Tu<∞|U(0)=u}。下面需要准备一些引理：过程{U(t):t≥0}是一个右连续的随机过程，且具备平稳独立增量；过程{U(t):t≥0}存在调节系数方程；调节系数方程g(k(p))=0存在符合条件的正解k(p)；对过程{U(t):t≥0}构造一个鞅。

2 预备引理

引理1过程{U(t):t≥0}是一个右连续的随机过程，且具备平稳独立增量。

证明根据{Xi}、{N(t)}、{W(t)}的连续性，易知过程{U(t):t≥0}是一个右连续的随机过程。对任意的0≤t1≤t2≤…≤tn…有

因为{Xi}、{N(t)}、{W(t)}是相互独立的，故

N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),…,N(tn)-N(tn-1),…

W(t2)-W(t1),W(t3)-W(t2),…,W(tn)-W(tn-1),…

上述三式也是相互独立的，因此{U(t):t≥0}为独立增量过程。

根据文献[14]有

U(t+s)-U(t)=

综上所述，过程{U(t):t≥0}具有平稳独立增量性。

引理2存在函数g(k(p)),使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

证明

式中，MXi(k(p))=E[e-k(p)Xi]为Xi的矩母函数。所以，存在函数g(k(p))使得E[e-k(p)U(t)]=etg(k(p))。

引理3 设索赔Xi服从参数α的指数分布，则方程g(k(p))=0存在符合条件的正解k(p)。其中k(p)为调节系数。

证明

(4)

该三次方程3个解分别为：k(p1)、k(p2)、k(p3)。

其中，

k(p)1=0,

(5)

(6)

(7)

k(p)1=0为平凡解，k(p)2、k(p)3为正解。另外在索赔Xi服从参数α的指数分布时，有k(p)<α，从上述的正解来看，只可以考虑k(p)<α的解，故符合条件的正解为k(p)2。即调节系数表达式为

证明

引理5Tu是FU停时[13]。

下面需要先证明破产概率所满足的Lundberg不等式，接着对破产概率所满足的确定性表达式进行求解，最后证明最优预防量与初始盈余的关系以及最优预防量和生存概率的关系。

3 模型求解

定理1 在带干扰的经典风险模型的预防过程{U(t):t≥0}中，最终破产概率满足不等式

ψ(u,p)≤e-k(p)u,

(8)

式中，k(p)为调节系数，满足g(k(p))=0。

证明因为Tu是FU一停时，选取t0<∞,易知t0∨Tu是FU一停时，又根据停时定理，得到

e-k(p)u=Mu(0)=E[Mu(t0∧Tu)]=

E[Mu(t0∧Tu)|Tu≤0]P{Tu≤t0}+E[Mu(t0∧Tu)|Tu>0]p{Tu>t0}=

E[Mu(Tu∧t0)|Tu≤t0]=p{Tu≤t0}=E[Mu(Tu)|Tu≤0]p{Tu≤t0}。

(9)

在T(u)<∞的条件下，U(Tu)<0，得到

(10)

在上式两端令t0→∞，得到

(11)

定理2 在带干扰的经典风险模型的预防过程{U(t):t≥0}中，则最终破产概率为

(12)

证明Tu是破产时刻，对任意常数t，Tu∧T为有界停时，根据有界停时定理得

e-k(p)u=E[X(Tu∧t)]=E[X(0)]=

E[X(Tu∧t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[X(Tu∧t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)|Tu≤t]P{Tu≤t}+E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(13)

当t→∞时有

(14)

令a=(c-p)-λ(p)E(X)E(Y)>0

b2=λ(p)(D2(Y)E2(X)+E2(X)E2(Y)+D2(X)E2(Y)+β2,

(15)

可得

E(U(t)]=u+at,var[U(t)]=b2t,

(16)

E[e-k(p)U(t)|Tu>t]P{Tu>t}=

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}+E[e-k(p)U(t)IU(t)≥Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}。

(17)

当T>t时，U(t)>0，所以X(t)=e-k(p)U(t)≤1。因此对于式(17)右边第一项，由切比雪夫不等式可得

E[e-k(p)U(t)I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤E[I0≤U(t)≤Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤

(18)

对于(17)式右边第二项有

E[e-k(p)U(t)IU(t)>Q(t)|Tu>t]P{Tu>t}≤e-k(p)Q(t)。

(19)

因此，当t→∞时，式(17)趋于0，因此有

e-k(p)u=E[e-k(p)U(t)|Tu<+∞]P{Tu<+∞}。

(20)

由此可知,

(21)

定理3在带干扰的经典风险最优预防策略模型中，当理赔{Xi}服从参数为α的指数分布时，最终的破产概率为

(22)

因此有

P{-U(T)X|T<∞}=1-e-αx,

(23)

对式(23)求导有

所以有

(24)

2p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]>0，

(25)

并且有

(26)

该最优预防量与初始盈余u无关。

(27)

(28)

式中,

(29)

(30)

k″(p)=

(31)

因为2p-2c-β2α+2β2[λ′(p)+α]<0，如果

由式(16)、(19)以及λ(·)的严格凸性，对于所有的p∈R+，φ′(0,p)≤0,有φ″(0,p)<0。

有φ″(0,p)=

现在证明如果φ′(0,0)≤0，那么对于所有的p>0，有φ′(0,p)≤0和φ″(0,p)<0。可以将证明限制在情形φ′(0,0)<0，因为在0的邻域内，φ′(0,0)=0意味着φ″(0,p)<0，这反过来意味着，φ′(0,·)是0的邻域中的递减函数。

在这个目标中，我们定义I⊂R+,有

(1)0∈I。

(2)φ″(0,p)≤0对于所有的p∈I都成立。

(3)如果J=[a,b]⊂R+也就意味着0∈J且对于所有的p∈J都有φ″(0,p)≤0成立，且J⊂I。

如果I=R+，证明了期望的结果。否则，它意味着存在一个a>0，使得I=[0,a]。但是在这种情况下，因为φ″(0,·)是连续的，中间值定理告诉我们，将有φ″(0,a)=0。根据定义，在区间I上，φ″(0,·)为负，φ′(0,·)递减。由于φ′(0,0)<0，会有φ′(0,a)<0，必然有φ″(0,a)<0，这与I=[0，a]时得到的结果φ″(0,a)=0相矛盾。则I=R+。

如果φ′(0,0)<0成立，就意味着φ′(0,·)是一个递减函数，这就表示不需要在预防策略上进行投资。因此应该有φ′(0,0)>0，等价于φ(0,·)在0附近的邻域增加，这就意味着预防可以起到降低风险的作用。

(32)

(33)

因为改变时间尺度不会影响无限时间下的破产概率，这就意味着存在一个时间t满足下列条件：

ψ(u,p)=P(U(t,p)<0)=P(U2(t,p)<0)。

(34)

这里盈余过程U2(t,p)定义为

(35)

(36)

(37)

另外可以从式(36)、(37)推出：

图1 预防量与生存概率的关系图

4 数值模拟

本文考虑了扰动、索赔计数过程为广义泊松过程，索赔服从指数分布等因素，下面将分别分析扰动对调节系数和生存概率的影响，理赔参数对调节系数和生存概率的影响。

首先，先对扰动对调节系数和生存概率的影响进行分析。设保费c=10，经营不确定性的扰动率β=10，预防量p=1.8，索赔额参数α=0.8服从指数分布，选取不同的扰动率，运用Matlab求解方程，得到相应的调节系数，进而通过式(23)得到生存概率的精确值。分别画出相应的扰动与调节系数，调节系数与生存概率，扰动与生存概率的图像如图2～4所示。对于不确定支出和收入来看，由图2中可以发现,随着扰动的增大，调节系数会不断地减小。由图3中可以发现，调节系数不断增加会导致生存概率不断增大。由图4中可以发现，随着扰动的不断增加，其生存概率会不断地减小。针对不同的初始盈余，随着扰动的增加，其生存概率的减小幅度也有很大的区别。对于保险公司来说，准备一部分的初始盈余资金是很有必要的。

图2 扰动与调节系数的关系图 图3 调节系数与生存概率的关系图

图4 扰动与生存概率的关系图 图5 参数α与调节系数的关系图

然后，对理赔参数对调节系数和生存概率的影响进行分析。以理赔参数α为例分析，设扰动率β=5，保费c=10，最优预防量p*=1.8，参数α取值为0.2到5，步长为0.05，利用Matlab画出参数α与调节系数的关系如图5所示。由图5可见，随着参数α的增加，保险公司的理赔均值会减小，意味着保险公司的理赔总量就会相应的减小。同样参数α的增加使得调节系数会不断地增加。另外，调节系数不断地增加也会导致生存概率不断地增加。也就意味着参数α的增加，最终会导致生存概率增加。

5 结论

本文研究索赔次数为广义泊松过程下的带扰动的风险模型的最优预防策略,研究发现针对其不同的初始盈余，其最优预防量均保持一致且使得生存概率达到最大化。然后，在保持最优预防量的条件下，通过Matlab画图分析了扰动β以及理赔参数α对生存概率的影响。研究的意义在于分别考虑了保险公司的不确定收入与支出和不同理赔参数α对调节系数的影响,进而分析调节系数的变化对生存概率的影响,从而评估该扰动参数和理赔参数分别对生存概率的影响,这对保险公司的风险管理有着重要的理论指导意义。在现实生活中，保险公司经常经营多个险种来分散风险。那些利润比较少的或者处于亏损状态的险种无法立即筛除是为了稳定大部分长期持有的客户或者为了公司长久的计划。保险公司通过那些有着高额收益的险种来谋求收益或者生存，通过不断地改变险种的组合来寻求更高的盈利水平和机会。所以下一步我们可以研究双险种或者多险种下的带干扰的广义泊松风险模型的最优预防策略。