间接信号吸收的趋化模型解的全局有界性

辛 巧，刘璐璐,2，许 璐

(1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁 835000;2.新疆理工学院理学院，新疆阿克苏 843100)

0 引言

趋化现象是自然界中常见的现象,它描述的是细胞或细菌对化学信号浓度梯度的定向运动[1-3].关于直接信号吸收的生物趋化模型

对于具有Logistic源的直接信号吸收模型

当D(u)=1时,Lankei等[7]证明了：当μ足够大时该模型存在全局经典解,当μ>0时该模型存在经典弱解；2018年，Zheng[8]证明了：当趋化敏感系数D(u)≥CD(u+1)m-1,CD>0,且

时,该模型对于任意足够光滑的初值都存在一个经典的有界解.

对于间接信号吸收的生物趋化模型

对于具有间接信号吸收的拟线性趋化模型

(1)

Zheng等[11]证明了：当n=2,D(u)≥um,S(u)≤uq,且m>max{1,2q-3}时,模型(1)的解全局有界.受上述文献的启发,综合文献[8,10-13]的方法,文中利用能量方法证明:若δ=1,n≥3,μ>0,且

则模型(1)的解全局有界.

文中的主要结论如下：

在Ω×(0,∞)上是模型(1)的经典解.当D(u)和S(u)满足条件(2),且m>max{1,2q-3},t∈(0,∞)时,存在一个常数C>0,使得

注1文献[11]在二维情况下讨论模型(1)解的有界性,文中讨论n≥3时模型(1)解的有界性.

为简单起见，对任意p>0,记Lp=Lp(Ω),L∞=L∞(Ω).

1 预备知识

引理1[7]对任意φ∈C2(Ω),n∈N,有

|Δφ|≤|D2φ|2.

引理3[7]设n≥3,μ>0,(u,v,w)是趋化模型(1)的解,则对任意t∈(0,Tmax),有

||v(·,t)||L∞≤||v0||L∞,

且||v(·,t)||L∞随时间t单调递减.

引理4令s≥1,q≥1,假设p>0,γ∈(0,1)满足

则存在c0,c1>0，使得对任意的u∈W1,2(Ω)∩Ls/q(Ω)，有

||u||Wp,2≤c0||u||u+c1||u||Ls/q.

2 解的全局有界性

为了证明定理1,先给出几个必要的引理.

引理5设m>max{1,2q-3},n≥3,μ>0,则对任意p>1,β>1，模型(1)的解(u,v,w)满足

其中

证明对趋化模型(1)的第一个方程两边同乘以up-1并在Ω上积分，则有

对(5)式右端第一项利用Young不等式和引理3可得

对(5)式右端第二项用Young不等式可得

最后联立(5)～(7)式，引理得证. 】

引理6设m>max{1,2q-3},n≥3,β>1,则对任意p>1,模型(1)的解(u,v,w)满足

证明对模型(1)的第二个方程直接进行计算,并分部积分可得

对(9)式右端利用引理1和Young不等式可得

由于

其中a∈(0,1).整理(9)～(12)式可得

对(13)式右端利用Young不等式和引理3可得

其中

最后,联立(9)～(14)式，引理得证. 】

引理7设n≥3,则对任意p>1,β>1，模型(1)的解(u,v,w)满足

证明对趋化模型(1)的第三个方程乘以wβ后运用Young不等式可得

引理8设m>max{1,2q-3},n≥3,则对任意的t∈(0,Tmax),存在一个正常数C5使得模型(1)的解(u,v,w)满足

证明令β>1,β

从而可以推出

进一步可得m>2q-3.

最后整理可得

基于以上引理,即可证明定理1.

定理1的证明首先,假设(u,v,w)是模型(1)的解,则对任意的t∈(0,Tmax),存在常数C>0,由常微分方程理论和Hölder不等式可得

又由p>n时θ∈[1,∞]可得

其中φ>-1,即可证明||v(·,t)||L∞≤C.

其次,对任意p>1,若m>max{1,2q-3},D(u)和S(u)满足条件(2),则对模型(1)的第一个方程两边同乘以up-1并在Ω上积分可得

其中m≥2q-3.整理(20)式可得

令p0>max{1,m-1},并记

对(21)式右端运用引理4可得

其中

再运用Young不等式可得

其中

整理(22)～(24)式可得

其中λ>1,t∈(0,T).

对(25)式在(0,t)上积分可得

对任意的k∈N,若

则直接可得||u(·,t)||L∞≤C.否则,直接计算

应用ln(1+z)≤z(z≥0),并对(26)式两端求pk次根可得到||u(·,t)||L∞≤C.

最后,对模型(1)的第三个方程求一阶线性常微分方程的解,显然可得

||w(·,t)||L∞≤C.

从而定理1得证.】