一溯到底，化“或然”为“必然”
——高中数学问题“怎么想”

◎ 海南省海口市海南华侨中学 邓建书

中学数学教材中有很多问题，讲解之后学生一般都能听明白，但是过了一段时间之后，再次问到此类问题的解题方法和思路时，学生往往一脸茫然。作为教师，教学生“怎么思考”“怎样才能想到”是数学教学的首要任务。笔者通过归纳高中数学教材的常见问题，追本溯源，化“或然”为“必然”，给学生提供思考的模式或方法。

方式一：从理论中“溯源”

很多实际问题可以从一般情况出发，先证一般情况（理论），再到具体情况，解决了一般情况，具体问题也会迎刃而解。比如因式分解中的“溯源”：初高中衔接课程中，因式分解很是关键，特别是高次多项式问题怎么分解，始终是一个难点。老师一般采用分组分解，学生也很容易听懂和接受，但真正到学生自己来分解时，往往思索再三，仍无法区分清楚“或然”和“必然”。

其实，对于此类问题，高等代数课本中早已给出了答案：

定理：设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式，而r/s是它的一个有理根，其中r、s互素，那么必有s|an，r|a0特别地，如果f(x)的首项系数an=1，那么f(x)的有理根都是整根，而且是a0的因子。简单地说，若此多项式有有理根，则其有理根必在

应用此法，则可随意组合，例如因式分解：

x3+9+3x2+3x，此题常规做法为分组分解：

x3+9+3x2+3x=x3+3x2+3x+9=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)，但学生的问题是：为什么要这样组合？上面的定理即可打开疑团。

至此眼界已开，一般意义上的方法都已尽收眼底，知道-3是其一有理根，故有公因式(x+3)，后面的分组分解，思路一目了然了。

练习：因式分解x3-2x+1，易知其一根为1，故有公因式（x-1）。

评注：此题当知道有一根是1时，想怎么组合都可以，关键是找到公因式（x-1）即可。运用添项、拆项法寻找目标，有目标就能打开思路，快速解题。教师讲解清楚了，学生也很容易学会，从而对此类问题就可以心中有数，不再迷茫。

很多时候对于一道题用一种方法解答后，应该反思还有无其他简单的方法，如果每次都这样做，学生将受益匪浅。这样才是高效学习，也是每位高中生应该掌握的学习方法。

方式二：从数中“溯”形

通过仔细观察和鉴别，找出数中形的“轨迹”，从形中找出解决问题的方法，思路也就自然打开。根据题设条件正确绘制出相应的图形，使图形充分反映出相应的数量关系，找出数与式的本质特征。

比如：两角差的余弦公式的推导和证明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

观察此公式：左边是两角差的余弦，右边是这两角的余弦和正弦，所以该如何构造这两角的余弦和正弦，可参考《数学必修第一册》215页的证明方法：

设单位圆与x轴正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α、β、α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)；A1(cosβ,sinβ)；P(cos（α-β），sin（α-β））

连接A1、P1,则易证A1P1=AP，再用两点间距离公式将左右等式连接起来。

余弦定理学生很容易想到用向量的数量积来证明，但正弦定理是如何通过向量来证明的呢？其实细想起来一样可以用向量的数量积来证明，只不过要通过作垂直向量构造角的余角,再通过诱导公式将余弦转化为正弦。

图1

图2

再如，选择性必修第一册第80页：已知0＜x＜1；0＜y＜1，求证：

方式三：从形中“溯”数

从具体图形中挖掘数的“轨迹”，通过数的运算达到形的需要。借助所给的图形，仔细观察、分析并归纳，找出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

比如在立体几何中关于正余弦定理的应用：

已知二面角α-CD-β的平面角为120o，二面角内一点P,到面α、β的距离分别为PA=2，PB=3,求点P到棱CD的距离。

解：（如图3）因为PA⊥α，PB⊥β所以PA⊥CD，PB⊥CD，故CD⊥面PAB,设面PAB∩CD=O，则CD⊥OA，CD⊥OB，CD⊥PO，因此∠AOB=120o，且P、A、O、B四点共圆，∠APB=60o。

图3

评注：解法一从宏观上把握，眼观六路，识别出PO为△PAB外接圆的直径，轻松运用正余弦定理解之；解法二从解三角形的角度出发，利用两个三角形的公共边及相邻角之间的联系，巧用等式求角，再求边长！

根据“数”与“形”既对立又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，产生联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观，并找出隐含的数量关系。如此，则思路清晰，解答自然。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系；数形结合思想，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的有机结合，将复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

方式四：从综合中追溯

一个问题通常有多种方式可以解决，所以充分调动所学知识，为解决问题提供多种方法，也为构造系统化的知识链打下良好的基础。比如中线长公式推导与证明。

图4

图5

（必修2 3.3.2例4）证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和（坐标法证明）。

（必修2习题4.2A组8）Rt△ABC中，斜边BC为m。以BC的中点O为圆心，作半径为n（n＜m/2）的圆分别交BC于P、Q两点，求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值。（中线长公式的精彩应用）

以上对于同一问题，可以从不同的角度来分析和证明，充分回顾和总结所学知识，发展思维能力。

方式五：从方法中“溯源”

很多时候，方法基本固定，掌握这些方法，问题也会轻松化解。

如：等差数列前n项和（倒序相加)利用等差数列性质——下标和相等，则相应项的和相等；

等比数列前n项和（错位相减)利用等比数列性质，后一项等于前一项乘以公比，求和相减后，中间相同项抵消。

《教学课程标准》明确指出：“加强数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题”。可见，数学思想和方法教学不容忽视，素质教育下的数学教学更注重数学品质的培养和逻辑思维能力的提高。其实，数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是走出题海的重要环节。

方式六：从定理中“溯源”

比如证明立体几何问题，通常以基本定理作为基础，可以证明很多相关问题。

如《数学必修第二册》163页第10题：已知平面α、β、γ，且α⊥γ、β⊥γ、α∩β=ι，求证：ι⊥γ。

要证明线面垂直，得证此线垂直于平面内两相交直线，题中没有这两条直线，所以需要我们自己来构造，设α∩γ=α，β∩γ=b，在γ内取一点P分别作PA⊥α于A,PB⊥b于B,则两条相交直线就找到了，如果题目中条件不够，则需要自己创造条件。

通过以上事例说明，当思维受阻时，不妨从源头思考，从定义或已经学过的知识中搜寻，一溯到底。也许这种“回到起点”的方式，能迅速打开思路。教师可以启发学生用提示语探究，不仅在解题时，更需要在新授课教学中运用。

加强对数学整体性的认识，强调以具有整体性的知识单元为载体，从知识的联系性出发进行教学设计并开展课堂教学，是新一轮课改的显著特点。究其原因，主要是长期以来，在高考评价“唯分论”指挥棒下的数学教学，多采用“灌输+记忆”的方式强加给学生，再通过刷题提高解题技巧“秒杀”高考题，可以提高分数，但不利于学生获得“四基”、提升“四能”，不利于提高学生学习数学的兴趣。为此，基于全面实现数学育人目标的教学，必须强调数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性及思维的系统性，这样才能充分调动学生思维的积极性，引导学生感受数学的美好，爱上数学，从而为学好数学而努力。