基于概率密度函数的加权变换在能谱测量中的应用

张斯龙，何世熠，陈 亮†，高润龙，赵 括，欧阳晓平,，周建斌，李 洋

(1. 湘潭大学，湖南湘潭 411105；2. 西北核技术研究所，西安 710024；3. 西安交通大学，西安 710049；4. 火箭军工程大学，西安 710025；5. 成都理工大学，成都 610059；6. 南京航空航天大学，南京 210016)

能谱测量是研究辐射场性质及携带信息的重要手段，广泛应用于核素识别、核反应诊断和暗物质探测等领域[1-3]。不同的测量目标对能谱测量精度均提出了极高的要求，其中，能量分辨率作为衡量系统精度的直接参数，在能谱测量中有重要意义。如，火星γ射线能谱由多个峰组成，形成原因十分复杂，为观察峰的特征并鉴别峰的来源，探测系统的能量分辨率需达到2.8 keV，才能识别334种宇宙射线成分[4]。

为提升探测系统的能量分辨率，自20世纪50年代以来，国内外开展了大量的研究工作。一方面是使用新型探测器或改变探测器材料种类以提升探测器性能[5-6]，另一方面是不断优化电子学系统[7-8]。当探测器的本征分辨率及硬件改进达到物理瓶颈后，通过优化数据处理软件或算法来提升能量分辨效果成为一个新的重要方向。现阶段，得益于计算机及核电子技术的快速发展，在多种软硬件结合的条件下，用于能谱测量的信号处理算法得到了快速发展和更新。 Meng等[9]、Abbene等[10-11]和李京伦等[12]利用反卷积技术，基于不同探测器的响应函数模型和不同滤波器的本征噪声模型等先验信息进行软件设计，并通过高速ADC，FPGA，ARM等硬件实现了前端脉冲信号采集和整个数字化系统的控制处理，具有较强的信号先验要求。周建斌等[13]和洪旭等[14]利用数字梯形滤波成形技术，通过确定数字梯形滤波成形的时间常数，消除了脉冲重叠时间，并减少了系统的死时间，提高了系统的有效计数率。在实测55Fe时，使用512点三角成形，结合特定的数字化系统能使5.9 KeV处全能峰的分辨率达156 eV。为进一步凸显峰的信息，提高分辨率， Jordanov等[15-18]研究了一种新的能谱处理算法—种子局部平均(seeded localized averaging，SLA)算法，通过给定的半窗口长度和堆栈额度 2个参数对信号进行预采集，并记录在预采集区；当以首信号为“种子”的窗口内信号总数等于或大于堆栈额度时，得到多信号的平均道址及总计数；将预采集区窗口内的计数清零后，在信息存储区找到平均道址并增加计数，增加的计数值为预采集总计数与堆栈额度之比。与传统的反卷积及梯形数字滤波成形技术相比，该算法的优点为无需提供探测系统的先验信息，能更普遍地适应多种系统，具有较高的实时采集处理效率。然而，该算法在不对称峰筛选、临近双峰分辨和参数预设等方面仍存在不足，无法处理不对称分布和邻近双峰会出现虚峰及重合峰等异常现象，处理前预设处理参数的随机性较强。

本文基于SLA算法，提出了一种基于概率密度函数迭代的加权平均变换(weighted average transform， WAT)算法。由于加权系数可调，SLA算法是WAT算法中加权系数相等的特殊形式。在随机输入信号的累积计算处理过程中引入均值不等式的数学思想方法，设置多个参数的变换过程，对形成原始分布的核脉冲信号进行迭代以获得最小半高宽。本文基于仿真结果对WAT算法理论模型进行了分析和验证。验证结果表明，WAT算法不仅能解决SLA算法在不对称峰、双峰及参数协调等方面的问题，同时对系统要求不高，具有一定的普适性，也保持了系统设计的灵活性。

1 WAT算法的处理过程

(1)

其中：h为以p为自变量的递增函数。当p取某些特殊值时，h具有不同的平均意义，包括以xi为系数的yi的算数平均数、几何平均数及极值等。h可表示为

(2)

(3)

输出后，以k(2)为中心的整个区间计数归零，继续等待下次信号输入。图1为基于式(1)-式(3)，当r=3,n=4，α1=0.4，α2=0.3，α3=0.2，α4=0.1时，算法的执行和实现情况。其中：图1(a)为第一步接收到首信号会记下该信号的顺序、道址和信号个数；图1(b)为第二步以接收到信号的道址为基础,在半窗口r的范围内搜索是否存在种子信号，如存在，则迭代计算，如不存在，则同样将其认定为首信号；图1(c)为第三步，与第二步过程相同；图1(d)为第四步展示信号个数达到堆栈额度后最终输出。SLA算法，即αk=1/n(k=1, 2, …，n)，此时，由于通道的计数可大于1，n个参数αk并未完全使用。因此，这些系数并不是平权的，下标越大则系数的重要性越弱。

(4)

由式(4)可知： (1)通过WAT算法得到的新随机变量的概率密度分布和累积分布函数与输入直接相关； (2)WAT算法不改变分布的均值； (3)无论系数怎样设置，新分布的方差均小于原始方差； (4)WAT 算法不改变分布的对称性，如分布函数f(X)满足关于均值μ对称，则新分布同样关于均值μ对称。WAT算法最直接的效果是降低了分布方差，提升了能量分辨率。

2 基于WAT算法的模拟实验结果

基于上述模型，利用Matlab软件模拟Si-PIN半导体探测器对α粒子的能谱测量仿真实验。为验证WAT算法的有效性，在模拟测量中采用了多种不同形态的信号输入。求解某次实测γ信号，分别以左右对称的高斯分布、峰位偏移的对数高斯分布和峰位可调的多峰分布为输入随机变量的分布函数，研究了WAT的处理效果，并与SLA算法进行了对比。

对以单峰高斯分布为代表的对称分布，WAT算法与SLA算法在处理效果上基本一致，以分布均值为代表的峰的位置不变，但峰的半高宽变小。这是因为半高宽与分布标准偏差正相关，峰与横坐标形成的峰型面积则缩小至原面积的1/n。SLA算法对分布标准偏差的作用介于变量最小值和算术平均值之间，WAT算法能兼容SLA算法，在数据选取方面比SLA算法更灵活。

图2为r=120，n=32时，WAT和SAL算法处理对称单峰的结果。

由图2可见，输入波形的峰位和标准偏差分别为1 024和10，经WAT算法处理后分别为1 024和5.33。此时，ki为32/528，31/528，…，1/528。取ki相等时，均为1/32，此时对称单峰的标准偏差将进一步减小至5。经WAT算法处理后，信号的峰位未发生漂移，半高宽减小，分辨率被明显优化，能谱峰与横坐标形成的峰型按比例降低。因此WAT算法效果明显。推广到更一般情况，图3为对称单峰在不同的r和n的组合下得到波形的标准偏差，每组给定的系数均为1/n。

由图3可见，当半窗口长度r一定时，随着堆栈额度n的增加，处理后的标准偏差不断降低，但降低速度变缓，增加n的取值带来的“收益”逐渐减小；当堆栈额度n一定时，随着半窗口长度r的增加，标准偏差同样不断降低，但是降低速度先快后慢。由此，考虑到最终信号的统计性和计算量的影响，参数r和n的选择存在最优解。

具有双对称峰分布特点的能谱在测量中非常常见。在模拟实验中，利用Matlab的内嵌函数生成双峰，峰位道址分别设定为900和1 200(标准偏差为10)，间距300道址。图4为WAT和SLA算法处理对称双峰的结果。

由图4可见，当r=160，n=30，权重参数为32/528，31/528，…，1/528时，得到的计数波形有2个峰，且峰位不变,标准偏差降至5.9，谷峰比η(2峰之间最低点视为谷底，谷峰比为谷底与峰位之间的比值)为0.045。对于不同的r,n及权重参数组合，得到的谷峰比也不同，甚至会出现中部虚峰及重合峰等问题，峰位也将出现少量偏移。因此，针对双峰需在模拟前或模拟过程中对峰位、面积比和半高宽等参数进行调整。

图5为不同n条件下，输出波形谷峰比随r的变化关系，图5中的水平线即为初始比例。由图5可见，当r<50时，谷峰比变化并不显著，WAT算法并没有起到优化作用；当r大于峰间距的一半时，谷峰比将超过原始比例，甚至超过1；在r=140附近，曲线出现了极小值，此时谷峰比有了明显的优化，甚至出现2个独立峰的情况。针对不同的初始情况，对参数的优化是必须的。

WAT算法对不对称的单峰 同样具有一定的调节能力。图6为当输入波形为对数高斯分布(μ=926，σ2=741)时，不同参数组合条件下的输出波形。由图6(a)可见：WAT算法处理后的输出结果中，峰的分布发生了变化，峰位的计数明显增加，峰更加突出；峰位从926变为了927，偏移率为0.1%；峰的宽度变小，半高宽从741减小为435；未出现虚峰及重合峰等异常现象。由图6(b)可见：当参数权重全等(即SLA算法)时，调整r将出现2种不同的输出波形；当r较小时，输出波形与原波形基本一致，SLA算法效果不明显；当r较大时，在主峰的下降沿处将出现一个虚峰。

综合3种情况，对不同形状的输入峰，不同算法对应的最佳参数是不同的。同时，在实际测量中会面临由不同形态峰的混合能谱。在复杂输入条件下，需根据先验信息优化参数。在记录过程中对参数进行迭代，使算法具有“学习”的功能，也会提高算法的适应性。

图7为WAT算法及SLA算法针对4种输入分布叠加时的输出波形。

由图7可见，从左往右，第1部分为σ2=160的对称单峰；第2部分为峰位高度比为2:1的双峰，峰位间距为200道；第3部分为不对称峰，符合对数高斯分布(μ=926，σ2=741)；第4部分为等高双峰，峰位间距为300道。算法设定的参数均为r=160，n=32。对于多峰的复杂输入，WAT算法能达到不引入虚峰、降低半高宽、增强寻峰能力、提高分辨率和降低信噪比的目的。与SLA算法相比，WAT算法更具灵活性和普适性。

3 结论

本文提出了一种概率密度函数加权平均变化(WAT)算法。首先对理论数学模型进行了论述，然后基于仿真，验证了WAT算法对高斯分布、多峰分布和对数高斯分布等函数信号输入时的有效性，探索了算法优化的可能。研究结果表明：WAT是SLA算法的推广，对原始输入分布具有更好的适应性；WAT算法解决了双峰输入时出现的虚峰及重合峰等问题，同时减小了输出分布中各峰的半高宽，提高了输出波形的谷峰比，具有一定的降噪作用；对非对称峰，WAT算法同样能实现突出峰、保持峰位和减小半高宽的功能；采用概率密度函数对随机输入的核脉冲信号所形成的能谱建立数学模型，通过对符合分布的随机信号的累加进行计算处理，能减小新生成分布的方差。本文的工作可为提升能量分辨率算法研究提供参考。