混合Lebesgue空间中平移不变信号的随机采样稳定性

李 婉， 蒋英春

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004)

采样理论是信号处理中一个重要的研究内容。经典的Shannon采样定理指出，当采样间隔充分小时，带限信号可以从均匀样本中重构[1]。实际处理中的信号往往具有随机特性，因而随机采样方式引起了不少学者的研究兴趣。

近年来，已有不少学者对随机采样理论进行了研究。2004年，Bass等[2]研究了多元三角多项式的随机采样问题，并估计了相关的Vandermonde型和Toeplitz类矩阵条件数的概率分布。随后，Bass等[3]研究了带限信号的相关采样。2013年，Yang等[4]研究了单生成平移不变空间中信号的随机采样问题，证明了当样本点足够多时，能量集中子集中信号的采样稳定性以高概率成立。2019年，Yang[5]研究了多生成平移不变空间中信号的随机采样问题，建立了能量集中信号的采样不等式，并构造了有限维子空间中信号的重构算法。同年，Rühr等[6]对有限生成的平移不变空间中信号的相关采样进行了研究，证明了当R充分大时，选取O(Rnlog(R))个随机样本点，可高概率地得到能量集中子集上的一个稳定采样集。2020年，Lu等[7]研究了有限信息率空间中信号的非均匀随机采样和重构问题。同年，Patel等[8]对再生核空间中信号的随机采样展开研究，证明了在积分核满足衰减性情况下，均匀分布在有界方体上的随机样本可以高概率地构成方体上能量集中信号的稳定采样集，并建立了有限维子空间中信号的重构算法。

经典信号空间中随机采样理论的研究已经取得了丰硕的研究成果，但信号只能定义在时域或空域中，而实际信号多是时变的，即同时存在于时域和空域。混合Lebesgue空间对不同变量具有分离可积性，是测量时变信号的一个有力工具。1961年，Benedek等[9]对混合Lebesgue空间进行了详细的描述。随后，不少学者又从调和分析和算子理论的角度对混合Lebesgue空间做了进一步的研究[10-11]。

为了处理高维时变信号，经典Lebesgue空间中带限信号和平移不变信号的许多结论被推广到混合Lebesgue空间的相应子空间中[12-16]，但却并未涉及平移不变信号的随机采样理论。采样理论的一个重要内容是找到稳定的采样集重构信号。因此，对混合Lebesgue空间中平移不变信号的随机采样稳定性展开研究。

1 预备知识

令Lp,q(R×Rd)(1≤p,q<∞)为混合Lebesgue空间，即

Lp,q(R×Rd)={f∶‖f‖Lp,q(R×Rd)<∞}，

其中，

当p,q=∞时，定义

p,q(Z×Zd)={c∶‖c‖lp,q(Z×Zd)<∞}，

其中，

当p,q=∞时，定义

混合Lebesgue空间Lp,q(R×Rd)的平移不变子空间Vp,q(φ)定义为

(1)

其中，1

对于式(1)中的生成元φ,假设其满足如下条件：

1)φ在某个有界区域上紧支，即对任意的r1,r2>0，supp(φ)⊆[-r1,r1]×[-r2,r2]d;

2)φ的平移是稳定的，即存在2个正常数cp,q、Cp,q，使得对任意的c∈p,q(Ζ×Ζd)有

(2)

对充分大的K1,K2>0及δ∈(0,1)，定义Vp,q(φ)的子集为

(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)}。

(3)

其中，CK1,K2=[-K1,K1]×[-K2,K2]d，且

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

定义

(4)

其中，f|CK1,K2表示将f限制在方体CK1,K2上。

覆盖数作为一个重要的数学概念，在估计概率误差及给定置信度和误差范围所需的样本数方面具有重要的应用。设S是一个度量空间，且η>0，称以η为半径覆盖S的最小圆盘个数m为S的覆盖数，记作N(S,η)，其中m∈Ν。特别地，当S紧支时，m<∞。

证明令ZK1,r1=Z∩[-K1-r1,K1+r1]，

f(x,y)=g(x,y)|χCK1,K2=

其中，(x,y)∈CK1,K2。

因此，

[2K1+2r1+1][2K2+2r2+1]d。

一方面，利用式(2)可得

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=

另一方面，

‖f‖Lp,q(CK1,K2)=‖g‖Lp,q(CK1,K2)≤‖g‖Lp,q(R×Rd)=1，

k2)φ(x-k1,y-k2)‖Lp,q(R×Rd)≥

(5)

‖f‖Lp,q(CK1,K2)≥(1-δ)‖f‖Lp,q(R×Rd)≥

(1-δ)cp,q‖c‖lp,q。

(6)

注意到‖c‖≤‖c‖，结合式(5)、(6)，可得

为简单起见，使用记号

(7)

利用引理3，可得

个元素，所以式(7)成立。

设Z={(xi,yj)∶i,j∈Ν}是均匀分布在CK1,K2上的独立同分布的随机变量序列。对任意的f∈Vp,q(φ)，定义新的随机变量

∬CK1,K2|f(x,y)|dxdy，

(8)

其中，i,j∈Ν。易知，{Zi,j(f)∶i,j∈Ν}是一个独立随机变量序列，且期望值E(Zi,j(f))=0。

1)‖Zi,j(f)‖≤c*；

2)‖Zi,j(f)-Zi,j(g)‖≤2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)；

3)Var(Zi,j(f))≤(c*)2；

4)Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))≤2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。证明因

由引理3可得

‖f‖L∞,∞(CK1,K2)≤c*‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤

c*‖f‖Lp,q(R×Rd)=c*。

1)由式(8)可得

2‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

3)利用方差的定义及E[Zi,j(f)]=0，可得

4)用与3)相同的方法可得

Var(Zi,j(f)-Zi,j(g))=E((Zi,j(f)-Zi,j(g))2)-

(E(Zi,j(f)-Zi,j(g)))2=

E((|f(xi,yj)|-|g(xi,yj)|)2)-

(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

∬CK1,K2(|f(x,y)|+|g(x,y)|)dxdy≤

2c*‖f-g‖L∞,∞(CK1,K2)。

与经典的Bernstein不等式[18]类似，下述二元随机变量的Bernstein不等式成立。

引理6令Zi,j为独立随机变量,且E[Zi,j]=0，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。假设Var(Zi,j)≤σ2，且|Zi,j|≤M对几乎所有的i=1,2,…,n和j=1,2,…,m都成立，则对任意的λ≥0，

证明给定∈Ν，构造关于的2网。

令C为相应的2网，其中=1,2,…,则C的基数至多为

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤2→0。

由引理5的步骤2)可知，

Zi,j(f)=Zi,j(f1)+(Zi,j(f2)-Zi,j(f1))+

(Zi,j(f3)-Zi,j(f2))+…。

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2满足

反之，取f0=0，可得

与假设矛盾。

对于每个固定的f∈C1，利用引理5的步骤1)和3)及引理6，可得

进一步地，利用引理4，可得C1中的元素至多为

个。因此，

P(ω1)≤2exp(2K1+2r1+1)(2K2+2r2+1)d×

‖f-f‖L∞,∞(CK1,K2)≤3×2，

有

进一步地，由引理4可知，

其中#(C)和#(C)分别为C和C中元素的个数。因此，事件的概率为

(9)

则

首先，考虑情形

(10)

利用条件(10)可得

那么，结合ω1的概率可得

最后，考虑

的情形。在这种情况下，可选取

使得

成立。结合上述2种情形，结论成立。

A‖f‖Lp,q(R×Rd)≤

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖≤

B‖f‖Lp,q(R×Rd)

(11)

至少以概率

成立，其中，

的补集为

一方面，

‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q≤

m1-1/qn1-1/p‖{f(xi,yj)}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m‖lp,q。

另一方面，

‖f‖L1,1(CK1,K2)≤(2K1)1-1/p(2K2)d(1-1/q)‖f‖Lp,q(CK1,K2)。

1-δ≤‖f‖Lp,q(CK1,K2)≤1。

因此，事件

4 结束语

研究了混合Lebesgue空间的单生成平移不变子空间中信号的随机采样问题。在生成元满足紧支性和平移稳定性的条件下，证明了当采样点足够多时，能量集中信号的采样稳定性以高概率成立。这表明信号f可以从采样集中稳定地重构，但本研究并未讨论信号的重构算法。对于信号的重构问题及较复杂的多生成，生成元衰减的情形，后续将做进一步研究。