巧裂项,妙求和

缪桂林

裂項相消法是求解数列求和问题的常用方法.该方法主要适用于求解通项公式为分式的数列求和问题.在运用裂项相消法求数列的和时，通常要先将数列的通项公式裂为两项之差的形式，这样，数列中的前后项或前后几项能够相互抵消，化简和式，求得数列的前n项和.运用裂项相消法求数列的和的关键在于对数列的通项公式进行合理的裂项.下面结合实例来谈一谈如何巧妙裂项，运用裂项相消法求数列的和.

例1.已知数列{a}中， a，=1 ，前n项和为S.，且lgs，lgn，lg为等差数列，令6n=n，求数列{b}的前n项和Tn.

解：

对于形如（a- 1）a n=an+l—an的通项公式，在运用裂项相消法解答数列求和问题时，应考虑将通项公式变形为的形式，然后通过抵消部分项得到数列的和.

例3.等比数列{a}的各项均为正数，且2a+3a，=1，a=9aza。，设bn=log，a， +log;a，+……+ log;an，求数列的前n项和.

解：

对于含有对数式的数列，求其前 n 项的和式，可根据对数的运算性质对通项公式进行裂项，如loga  an  =logaan +1-logaan ，这样数列中的部分项就能相互抵消，和式就能简化.

例4.设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn ，已知数列Sn是首项为1、公差为1的等差数列，令 bn =，求数列bn的前 n 项和 Tn .

解：∵数列Sn是首项为1、公差为1的等差数列，

∴ =1+n -1=n ，即 Sn =n2，

∵当 n =1时，a1=1;

当 n ≥2时，an =Sn -Sn -1=2n -1，

∴ an =2n -1，n ∈ N∗，

∴数列bn的前 n 项和 Tn 为 -1.

当遇到形如+ 、+ 的通项公式时，可通过分母有理化来进行裂项，即      =- 、 =-，这样数列各项的分母中就不会含有根式，且含有根号的式子便会通过正负相加抵消.

例5.设数列an，其前 n 项和 Sn =-3n2，bn为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3.

（1）求数列an， bn的通项公式.

（2）若cn =bn -2 nbn -1，求数列cn的前 n 项和 Tn .

解：（1）略;

（2）由（1）可得 bn =b2∙2n -2=2n+1，

所以Tn =c1+…+cn = -  + - +…+ -  = - =1-

观察cn的表达式，可发现分母2n -12n +1-1为两项乘积，且含有指数式，于是通过配凑将cn的表达式进行裂项2n -1-2n +1-1，然后通过正负相消求得数列的和.

通过对上述介绍，同学们应该熟悉了对含有对数式、指数式、根式、阶乘式以及乘积形式的分式通项公式进行裂项的方式.对于分式通项公式的数列求和问题，只要对通项公式进行合理的裂项，通过恒等变形将通项公式表示为 an =fn-fn -k，k =1，2， …，便能快速化简和式，顺利求得数列的和.

（作者单位：云南省会泽县茚旺高级中学）