一类线性椭圆型偏微分方程组解的边界正则性

杜厚维，向长林

1.长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023 2.三峡大学三峡数学研究中心，湖北 宜昌 443022

1 引言

考虑如下椭圆型偏微分方程组解的边界正则性：

-Δu(x)=Ω(x)·u(x)x∈B

(1)

上述方程组可以用分量表示为：

(2)

上述分量表示使用了Einstein求和约定：重复指标代表求和。

方程组(1)可以用来线性化很多具体的几何偏微分方程，这是因为具体的几何偏微分方程通常是非线性的问题，研究起来非常困难。例如，假设u=(u1，…，um)是从B映射到N的调和映照，N是等距嵌入到Rm中的光滑黎曼流形，则调和映照方程可以表示为：

式中：A(u)代表靶流形N在Rm中的第二基本形式。以ν代表流形N的法丛的一组标准正交基，只需要取：

则上述方程可以写成式(2)的形式。又如，假定u：B→R3满足预定平均曲率方程：

-Δu=-2H(u)∂xu∧∂yu

(3)

式中：H代表预定的平均曲率。直接验证可知式(3)可以写成方程组(2)的形式，只需要取：

对于上述的几何偏微分方程，通常无法直接得到光滑的解，因此优先考虑的都是弱解的存在性，此时需要付出正则性的代价，即弱解的光滑性一般来说比较差。由此带来的一个基本问题就是提升解的正则性，即证明弱解事实上恰是想要得到的光滑解。这里的一个显然的困难在于方程组(1)的右端的低正则性。由假设可知右端Ω·u∈L1(B)，这使得该问题恰好处于经典的椭圆方程Lp理论的端点p=1上，从而无法直接使用Lp理论去提升正则性。而且，FREHSE[1]的下述反例表明，如果仅仅假设Ω是平方可积函数，则弱解可以不连续：令m=2，u=(u1,u2)是从平面上的单位圆盘B1(0)⊂R2到单位圆周S1⊂R2的映射，定义为：