关于电学基础课程物理量的量纲与单位的讨论

陈希有

(大连理工大学 电气工程学院， 大连 116023)

在电学基础课程(“电路”“电工学”“电磁场”“电子技术”“信号与系统”)中存在许多物理量，包括物理变量和物理参数，由此带来两方面认识。一方面，物理量的大小、强弱、多少等，要同时使用物理量的数值和单位来表示，这已形成共识；另一方面，这些物理量之间遵循确定的物理规律，用方程或等式(以下常用等式)来表示。然而，这些等式到底是“数”的等式还是“量”的等式，目前人们对此有不同认识。也有很多人根本不关心到底是什么等式，只注重单纯计算，最后给出数值的单位。如果事先声明，将物理量都统一到主单位，然后加以适当省略，这样做在师生都能彼此理解的情况下还算可以接受，也不太影响考试成绩，因为至少头脑中还有单位意识。然而，在实际工程中，尤其是在交叉学科的学术交流中，在不同部门或不同国家的技术合作中，难免导致对数值与单位的误解，并由此导致严重恶果，见本文第10节。

电学基础课程是大多数工科专业学生最先接触的专业基础课程，并且物理量繁多，单位复杂。因此，在电学基础课程中明确等式的数学或物理属性，并正确使用物理量的量纲与单位，对培养学生严谨的科学作风和正确的工程观点，提高在学术表达中严格贯彻国家标准的意识和能力等，不仅必要而且可行。本文结合个人教学体会并参阅部分文献，针对大学电学基础课程中物理量的量纲与单位，归纳了十个方面的问题，供与读者交流讨论。

1 数的等式还是量的等式

首先引用北京师范大学物理系教授梁灿彬的两种观点[1]。

观点1：物理学中的所有等式都是“数”的等式，唯此，方程的求解才能合乎数学，因为数学就是关于数的学问。

观点2：梁教授也不否定物理学中的等式是“量”的等式。为使量的运算有据可依，文献[1]通过一条公理：“反映物理规律的‘数’等式在同族单位制有相同形式”，并提出“量类”等概念，开创性地证明了量的各种运算规则，包括乘、除、乘幂等。同时也证明了单位的乘、除、乘幂等运算规则。梁教授虽然不否定观点2，但强烈主张观点1更可取。

根据观点1，等式中表示物理量的所有符号，只能理解成是物理量的数值，该数值是以某种计量单位去测量该物理量而得到的结果(倍数)。这种观点显然使得对方程的计算变成完全的数学问题，每步计算都有严格的数学依据。在代入已知条件求解方程时，物理量的数值和单位是分开使用的，不能在一个方程中同时看到物理量的数值和所用的单位。而计算结果的单位，则需从原方程各物理量所用单位通过单位运算来得到。由于数的等式不含量纲，因此不易通过量纲平衡原则来检验计算过程正确与否。电力系统分析中使用标幺值所列写的等式(例如潮流方程)就是一种数的等式(相对单位制)。所谓标幺值，就是用实际有名值除以基准值，其中有名值和基准值具有相同的单位。可见标幺值是无量纲的纯数。在电力系统分析中使用标幺值有许多优点，这是由电力系统的特殊性决定的。比如易于比较电力系统各元件的特性及参数；可以用计算单相电路的方法计算同时包含不同电压等级的三相电路；不同电压等级的系统其标幺值处在同一范围等。但使用标幺值也有明显的缺点：因为没有量纲，因而其物理概念不如有名值明确(见电力系统分析类教材)。根据观点2，方程中的符号同时代表物理量的数值和单位，具有确定的量纲。在代入其量值时，要同时包含物理量的数值与单位，数值和单位都参与运算。数值之间的运算与“数”的等式完全相同，单位的运算(一种量的运算)也有严密的逻辑。由于单位出现在“量”的等式中，因此十分便于用量纲平衡原则检验方程的正确性，并使得求解过程更加严谨。渐渐地，检验量纲平衡就会变成自觉行动。但在代入已知条件求解方程时，方程的表现形式变得相对复杂，因为数值后面要跟着单位。然而，这对目前广泛使用的PPT课件来说，并不增加多少板书量。

注意：两种观点各有所长，单持哪一种都有可取之处。但两者不要兼持，否则会带来混乱和误解，并难以体现两种观点的各自优势。

我国根据自己国情，经国家标准局批准，早在1982年就颁布了《电学和磁学的量和单位》GB3102.5-82[2]。所有物理方程都是量的等式[1]。标准实施后，要求出版单位都要按照国家标准出版教材或刊物。为此本文特别强调，以下内容完全基于观点2，即站在“量”的等式角度进行叙述，并且只针对国际单位制(SI)。

2 导出量纲与导出单位

众所周知，国际单位制规定了7个基本物理量，它们具有独立的量纲，并严格定义了它们的计量单位(基本单位)。为引用方便列出如下：长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度。它们的量纲符号分别为 L、M、T、I、Θ、N、J。其中只有电流是电学中的物理量，量纲用I表示，单位为安培，符号A，定义为：1安培等于1秒时间内有(1/1.602176634)×10+19个元电荷通过横截面的电流。1个元电荷的电荷量为1.602176634×10-19C。因此，电学中大部分物理量的量纲和单位，都要根据基本物理量的量纲与单位，通过确定的物理关系来导出，分别称为导出量纲和导出单位。导出过程其实就是乘除运算过程。这些运算规则很简单(详细严谨论述见文献[1]第3章)：相同的量纲或单位相乘，结果得到它们的平方；相除则相约。不同量纲或单位相乘除，得到新的量纲或单位。下面是本文将要用到的几个量纲。

电荷等于电流乘以时间，因此电荷的量纲为

dimQ=dim[It]=IT

(1)

(式中，dim表示取量纲，下同。)

磁感应强度B=F/(Il)，其中F、I和l分别表示载流导线垂直磁场方向时所受的力、导线电流和长度。因为力的量纲为LMT-2，所以磁感应强度的量纲为

dimB=LMT-2×(IL)-1=MT-2I-1

(2)

垂直于均匀磁场某面积的磁通等于磁感应强度乘以面积，所以磁通的量纲为

dimΦ=dimB×dimS=MT-2I-1L2

(3)

力学中功等于力F乘以位移x(二者同向时)，因此功的量纲为

dimA=dim(Fx)=LMT-2×L=L2MT-2

(4)

功随时间的变化速率就是功率，因此功率的量纲为

(5)

电压等于单位正电荷在电场力作用下，从a点移动到b点电场力所做的功，因此电压的量纲为

(6)

电学中功率等于电压乘以电流，由此也可得出功率的量纲为

dimP=dim(UI)=L2MT-3I-1×I=L2MT-3

(7)

根据电学中功等于电压、电流和时间三者的乘积，也可导出功的量纲为

dimA=dim(UIt)=L2MT-3I-1×I×T

(8)

电阻等于电压除以电流，因此电阻的量纲为

(9)

电容等于电荷除以电压，因此电容的量纲为

(10)

时间常数τ=RC，因此量纲为

dimτ=dim(RC)=T

(11)

总之，任何一个导出量的量纲都可以由7个基本量的量纲，按照量纲运算规则得到唯一结果(基本量纲的幂积形式，包括分数幂)。这说明，在不同的学科领域，对同一属性的物理量，得出的量纲是一致的。量纲是物理量的固有存在，不能人为假设其有或无，或是什么。除非基本物理量的定义发生变动，否则物理量的量纲是唯一的。一个物理量所表示的物理问题的复杂度也可以从它的量纲中包含的基本量纲的个数表征出来。

导出单位可以借助导出量纲来获得，它是基本单位的幂积形式。根据式(6)，电压的导出单位为m2·kg·s-3·A-1。根据式(9)，电阻的导出单位为m2·kg·s-3·A-2。可见，用基本单位幂积形式表示的导出单位往往很笨重，故不实用。因此，导出单位都使用简单的名称来替代，同时也为纪念为科学做出卓越贡献的科学家们。例如用伏(V)代替m2·kg·s-3·A-1；用欧(Ω)代替m2·kg·s-3·A-2。

3 量的数值和单位要同时代入方程

当站在“量”的等式观点求解方程时，已知量的数值以及对应的单位都要代入方程。这样，从方程上既能看出各物理量的数值关系，又能看出各物理量的量纲关系。数值之间满足数学运算关系，量纲满足量纲运算关系。例如，将51 Ω电阻与200 mH电感串联，再接入有效值为220 V的工频交流电源上，电路中的电流相量计算如下：

在上面计算中，角频率和频率的量纲相同，都是倒时间的量纲T-1。它们分别使用rad/s和Hz为单位名称，是为了更准确表达各自的含义。电压的单位V和电流的单位A，可以跟在有效值后面，也可以跟在相量值后面。

再比如，写出频率为4500 Hz、幅值为0.2 A、初相为30°的正弦电流表达式。先计算角频率：

ω=2πf=2π×4500 Hz≈28.27×103rad/s

因此电流表达式为

i(t)=0.2 Asin(ωt+30°)

上述表达式中，相位ωt+30°是一种直观易懂的表述，不够严谨，加数与被加数单位不一致。在实际计算时，尤其是使用编程软件例如Matlab进行计算时，角度的单位都要化成弧度。因此，相位的严谨表述为ωt+π/6。

上述电流表达式也可写成

i(t)=0.2 Asin(28.27×103t/s+30°)

这种等价写法表明，如果将时间的数值代入上式，时间的单位必须为s。同理，在计算sin(3000t/ms)的数值时，必须将以ms为计量单位的时间值代入公式。因此，在使用“量”的等式时，从方程上就能看出量的数值应以何种单位来计量。

若将非线性电阻的伏安特性写成u=4i2V，这是不严谨的，既不是数的等式，也不是量的等式，只能按惯例来理解：电压单位为V，电流的单位为A。如果将其代入电路方程，等号两边的量纲肯定是不平衡的。按照“量”的等式观点，宜写成如下之一：

u=4 V(i/A)2、u=4 mV(i/A)2

u=4 V(i/mA)2、u=4 mV(i/mA)2

注意：此处“/”代表“除”，不代表“分隔”。上述每个方程都表明应该将以何种单位计量的电流数值代入方程、得到电压数值对应的是何种单位。

这种将量的数值与单位同时代入方程的规则，在复频域分析中存在不便。例如计算RLC串联电路电流的象函数时得到

当继续对方程进行化简时，会有较多的单位相乘，并且表示复频率的斜体s与表示秒的正体s在教学中不易区分，因此方程变得不切实际。这时只好采用折中的办法，将各物理量的单位都化成主单位并省掉，在方程的最后标注结果的单位，例如

文献摘录：文献[2]，题为“谈教材编写中贯彻新国标GB3102.5-82”，作者俞大光 。文中写道：“量的符号既是代表该物理量，它就必然等于其数值与单位的乘积。例如U=220 V，即指电压U等于220与电压单位V的乘积。因此在计算式的结果和过程的每一步中都不应该将单位省去，例如U=220 V，不能是U=220。如果这个电压是10 A电流通过22 Ω电阻的电压降，就只能写成U=10 A×22 Ω=220 V。如果觉得这样书写繁琐，则可将等式两边化为纯数而写成U/V=10×22=220。”这段话肯定了数值后面要带上单位，且数值与单位是乘积关系。俞老师曾对本文作者在教材编写中未严格执行国家标准之处提出严厉批评，深受震动。

文献[3]、[4]是少见的比较严谨地贯彻国家标准，较严格采用“量”的等式的教材。主审俞大光院士在文献[3]的序言中写道： “教材中首先贯彻这些国家标准十分必要，因为这将促使教学中国家标准的贯彻，也使得授课学生在开始接触到新的物理量时就习惯运用符合国家标准的名称、符号和它们的单位以及单位符号，这比先接触一些杂乱的名称符号以后再要求去改要容易得多。……。北京工业大学许道展、程桂敏、王铁奎三位老师编写的这套教材——《电路基础》上、下册正是从这一考虑出发的。这套教材比较全面地认真贯彻了GB3100、GB3101、GB3102.1～13等国标……。当然，由于要区分量的方程和数值方程，初看起来可能带来一些繁琐，但只要习以为常就可以体会出这样做的严谨，有好处。对量的方程可以通过量纲检查出某些疏漏；而对数值方程中的符号是代表以什么单位计量而得的数值则是一目了然的。”

文献[3]的1-2节专门讨论了量的单位问题。指出，“过去不区分量方程式与数方程式。甚至出现一个方程式中量和数值相加减的情况，这是不合适的，应该避免。220≥210+10R应该是220≥210+10R/Ω或220 V≥210 V+10 A×R。”

这种将数值和单位同时代入方程的做法在我国教材中虽不多见，但在近些年引进的国外优秀教材中却可见到。例如文献[5]、[6]、[7]都采用了量的等式，在数值后面都带有单位。这些教材在开篇不久，都专门介绍物理量的单位与单位制，强调恰当使用单位的重要性。文献[5]更是专门阐述道：“对从事任何技术工作的人来说，需要时刻铭记并切实执行的重要规则就是，当把一个数值代入方程时一定要正确使用它的单位。极为常见的情况是，人们特别专心于获得问题的数值结果，从而忽略了对数值单位的检验，因而所获得结果变得毫无意义。”本文作者主编的教材《电路理论教程》(第2版)[8]，基于“量”的等式观点，在方程的表述上做了积极探索，供同行参考。

4 求导与积分运算的量纲变化规则

在电学基础课程中，许多物理量是通过比值或比值的极限(即导数)来定义的，或者物理量之间本来就存在这种关系。例如，功率定义为Δt时间内物体所做的功ΔA与Δt的比，当Δt→0时的极限，即

(12)

因此，功率的量纲是

(13)

为验证此结果，将功的量纲式(8)代入式(13)得

dimp=dimA×T-1=L2MT-3

(14)

显然它与式(7)相同。

同理，感应电动势的量纲是

(15)

为验证此结果，将磁通的量纲式(3)代入式(15)得

dime=dimΨ×T-1=L2MT-3I-1

(16)

显然它与式(6)相同。(注：电动势与电压具有相同的量纲)

类似地，可以理解积分运算后带来的量纲变化。

总之，对时间求一次导数，量纲增加T-1倍；求一重积分，量纲增加T倍。本文将此称为求导与积分运算的量纲变化规则。

用比值极限或导数定义的物理量，人们常常用“单位……”的文字来表述。例如，单位时间内传输或转换的能量称为功率。物体在单位时间内移动的距离称为速度，等等。显然这种表述并不意味着功率是能量、速度是距离，它们都是具体的比值。在电学基础课程中也常有类似叙述：电路在单位阶跃激励作用下的响应称为单位阶跃响应，记作s(t)；电路在单位冲激激励作用下的响应称为单位冲激响应，记作h(t)，并且h(t)=ds(t)/dt。显然s(t)与h(t)的量纲不同，因此用这种叙述时，不要把s(t)和h(t)理解成是电压或电流，它们都是某种比值，不是普通含义下的响应。这是本文的主要观点之一，详见第8节。

5 标准函数自变量与函数值的量纲

电学基础课程经常用到一些标准数学函数，它们的自变量(以下用x表示)与函数都是无量纲的。例如sin(x)、sinh(x)、arcsin(x)、log10(x)、ex，等等。因此，正弦电流的表达式必然形如Imsin(ωt+φ)，也就是一定会出现角频率ω与时间t的量乘积形式，乘积结果无量纲；不会出现Imsin(1000t+φ)，且1000是纯数、t是时间量的形式。当对时间求一次导数时，得到ωImcos(ωt+φ)，量纲变为T-1I，符合求导运算的量纲变化规则。

同理，在暂态分析中，电流的e指数形式一定是形如Ie-t/τ，τ为时间常数，量纲为T，因此-t/τ无量纲；绝不会出现Ie-100t，且100是纯数、t是时间量的形式。当对时间求一次导数时，得到-τ-1Ie-t/τ，量纲变为T-1I。

6 单位冲激函数的量纲

在电学基础课程中，冲激函数是既重要又抽象的函数。本文的观点是δ(t)的量纲为倒时间量纲T-1。下面给出具体理由。

理由1：根据一般教科书给出的定义(严格定义需要借助泛函理论)，即

(17)

注意到，积分式等号右侧为纯数1。而dt代表时间轴的微分，量纲当然是T。因此，根据积分运算量纲变化规则，δ(t)的量纲只有是T-1，积分后才能得到无量纲的数。所以，站在“量”的等式角度，δ(t)是量。但它的单位不能明显地写在δ(t)后面，因为δ(t)不是数。延迟的单位冲激函数应该写成形如δ(t-0.01 s)、δ(t-0.01 ms)等形式，注意延迟时间由数值和单位共同组成。

理由2：根据单位冲激函数与单位阶跃函数的求导关系(也可根据单位脉冲函数到单位冲激函数的演变极限过程)，即

(18)

式中单位阶跃函数为无量纲量，根据求导运算量纲变化规则，δ(t)的量纲显然是

(19)

理由3：根据拉氏变换的定义，单位冲激函数的象函数为纯数1，无量纲。而象函数的量纲等于原函数的量纲乘以时间的量纲(见第9节)，即

dim{L[δ(t)]}=dimδ(t)×dimt=1

所以原函数δ(t)的量纲必然是倒时间的量纲。

文献摘录：北京航空航天大学雷银照教授，在文献[9](p337)中，针对电磁场课程实际(δ函数的自变量是位置坐标)，有如下阐述，可供参考：

δ函数满足以下积分：

(20)

二维和三维δ函数分别定义为，

δ(r-r0)=δ(x-x0)δ(y-y0)

δ(r-r0)=δ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)

由于dimδ×dimV=1，1表示无量纲的数字。所以δ函数的量纲是

(21)

即δ函数的量纲是n维空间元素dV的倒量纲。例如，如果dV是长度元素，则δ函数的量纲就是L-1(原文用m表示，本文统一用L)；如果是面积元素，则δ函数的量纲就是L-2；如果是体积元素，则δ函数的量纲就是L-3”。由此可作合理推广：如果dV是时间元素，则δ函数的量纲就是T-1。

认为δ函数的量纲为T-1的还有文献[3](p457)、[10](p23)、[11](p327)、[12](p237)。

δ(t)不能单独作为普通意义上的激励(独立电压源的电压，独立电流源的电流)，因为它不具有电压或电流的量纲。如果把它放在电流激励位置，只能默认理解成省略了系数1 C(1库仑)，或者是广义上的激励。这种省略必然导致方程的量纲不平衡。

既然δ(t)的量纲为T-1，所以如果从量纲平衡的方程出发，并经过正确的推导，绝不会出现下列运算情况：sin(ωt)+δ(t)、e-t/τ+δ(t)，它们应该按照线性组合相加，用组合的系数保证相加的两个量具有相同的量纲。

7 冲激强度的量纲

由于单位冲激函数本身具有倒时间的量纲，它不是电压或电流的量纲，所以必须乘以系数，得到Kδ(t)，使其变成冲激电压或冲激电流，才能做普通意义上的激励使用。这个系数就是冲激强度。如果从脉冲函数到冲激函数的演变过程来看，冲激强度就是在脉冲宽度趋于零的过程中，所保持不变的那个面积，即脉冲高度(电压或电流)与脉冲宽度(时间)的乘积，因此其量纲必然是电压或电流的量纲，再乘以时间的量纲：

(22)

对冲激电压，冲激强度的主单位就是Vs，即磁链Wb，意思是在极短的时间内，产生了K的数值所代表的磁链，可用Ψ来表示这个强度；对冲激电流，冲激强度的主单位就是As，即电荷C，意思是在极短的时间内，通过了K的数值所代表的电荷，可用Q来表示这个强度。

冲激强度的量纲还可从复频域象函数的量纲来理解。设冲激电流i(t)=Kδ(t)，其拉氏变换为，

I(s)=L[i(t)]=L[Kδ(t)]=K

(23)

根据象函数量纲等于原函数量纲乘以时间量纲(见第9节)便可知，K的量纲等于电流的量纲乘以时间的量纲，即

dimI(s)=dimK=dimi×T

(24)

由以上讨论可知，我们可以采用如下表达式：

i(t)=10 C×δ(t)，u(t)=9 Wb×δ(t)

不宜采用以下表达式：

i(t)=10δ(t) A，u(t)=9δ(t) V

这是因为i(t)=10δ(t) A意味着起作用的是电流的幅度，而冲激电流的幅度是无限大，无限大属于不定量，不能用来定量描述电流大小。

文献摘录：文献[3] p(457)，强调指出，“冲激函数是用它的强度而不是幅度来表征的，单位冲激电流表示的是，在极短时间内有1 C电荷被转移到别处。根据定义，单位冲激函数δ(t)的SI单位为s-1。”文献[4](p423)，进一步指出，冲激强度分别是电荷与磁链，并在脚注中详细说明了单位冲激函数具有倒时间量纲的理由。

文献[13](p236)指出，“由定义知δ(t)具有倒时间的量纲。”“单位冲激函数乘以量K得Kδ(t)，即一般冲激函数，其中K是它的冲激强度，如果Kδ(t)单位是安，则K的单位就是安.秒(As),即库仑(C)；如果Kδ(t)单位是伏，则K的单位就是伏.秒(Vs),即韦伯(Wb)”

文献[14] (p305)指出：“冲激函数是用它的强度而不是用它的幅度来表征的。以冲激电流来说，其强度的量纲为安.秒，即库仑。……。冲激电流的幅度为无限大！换句话说，单位冲激电流所移动的电荷为1 C，但这些电荷的移动是在极其短促(趋于零)的时间内完成的，因而电流的幅度是极大的(趋于无限大)。”(p306)也说明：“对冲激电流来说，可表述为Qδ(t-t0)；对冲激电压来说，可表述为Ψδ(t-T0)。”

类似的表述还见文献[11](p328)、[12](p237)、[14](p308)和[15](p460)。

8 单位阶跃特性与单位冲激特性的量纲

解释：本文和文献[8]、[16]将人们常用的单位阶跃响应s(t)和单位冲激响应h(t)，分别称为单位阶跃特性和单位冲激特性。之所以叫“特性”而不叫“响应”，是因为它们不具有电压与电流的量纲。这是本文主要观点之一。

关于这两个“特性”的量纲与单位问题，文献[16]已采用提问方式进行了论述，为阅读方便，将要点概述如下。

单位阶跃特性的定义：零状态下，阶跃响应与阶跃幅度(包括数值和单位)之比，称为电路的单位阶跃特性，用s(t)表示。由于是响应与激励幅度的比值，所以不难理解s(t)的量纲有三种情况：无量纲、电阻的量纲、电导的量纲，即

(25)

单位冲激特性的定义：零状态下，冲激响应与冲激强度(包括数值和单位)之比，称为电路的单位冲激特性，用h(t)表示。由于是比值，且冲激强度的量纲可能是电荷的量纲(冲激电流激励情况)，也可能是磁链的量纲(冲激电压激励情况)，所以不难推得h(t)的量纲也有三种情况，分别是在对应单位阶跃特性的量纲基础上再乘以T-1，即

(26)

另外，根据

再利用第4节阐明的求导运算量纲变化规则，同样也得式(26)描述的量纲。

h(t)的量纲还可以从拉氏变换的角度来理解。单位冲激特性与网络函数的拉氏反变换关系为

式中H(s)为网络函数，等于零状态下响应象函数与激励象函数之比，其量纲也有三种情况：无量纲、电阻的量纲、电导的量纲。ds为复频域微分量，其量纲为倒时间量纲T-1。因此同样可以肯定，h(t)的量纲与式(26)完全相同。

唯有按照式(26)得出的h(t)量纲，在使用卷积公式计算对任意激励的零状态响应时，方程两边的量纲才是平衡的，验证如下：

(27)

(量纲平衡)

设想，如果h(t)是电压或电流，则按式(27)计算的r(t)不可能具有电压或电流的量纲，因为方程右边存在时间的量纲。

文献摘录：关于单位阶跃特性与单位冲激特性名称与量纲问题，有较多文献描述，但多见于我国早期教材，或翻译的前苏联及现俄罗斯教材。苏联或俄罗斯教材以概念严谨而著称。

文献[3](p448)，该教材使用了“特性”一词：“所谓单位阶跃响应特性是指，零初始状态下的电路，在唯一的单位阶跃式电源激励下产生的响应。以下简称单位阶跃特性。因此，单位阶跃特性可能无量纲，也可能具有电导或电阻的量纲，分别称为单位阶跃电导或单位阶跃电阻。”例如，该教材计算的单位阶跃特性为

(28)

文献[3](p464)指出：“零初始状态下的电路，在唯一的单位冲激式电源激励下产生的响应称为单位冲激响应特性，简称单位冲激特性。与单位阶跃特性相仿，根据激励和响应的不同，单位冲激特性又可分为单位冲激电压传输比，单位冲激电流传输比，单位冲激电导和单位冲激电阻等……。当激励为Aδ(t)时，其冲激响应可用单位冲激特性乘以冲激强度A得到。”

文献[13] (p237)指出：“电路在单位冲激电源作用下的零状态响应称为单位冲激特性，用h(t)表示。当冲激激励为Kδ(t)时，零状态响应为r(t)=Kh(t)，h(t)的量纲等于r(t)的量纲与冲激强度K的量纲之比，其单位可能是s-1、Ω/s、S/s。”

文献[17] (p280) 指出：“在线性电路中产生的电流和电压直接正比于加在电路上的阶跃电动势，因而有等式

x(t)=E(t)h(t)

(29)

其中h(t)是一个时间函数，称为电路的过渡特性。如果待求量是电流，过渡特性将有导纳的量纲，称为过渡电导，记作Y(t)。若给定电路与恒定电压U接通，用经典法或运算法求出电流，则Y(t)=i(t)/U。”(注意，这里的过渡特性明确是量的比值，就是本文的单位阶跃特性。)例如，对RL串联电路，

(30)

如果电路外加阶跃电动势，则

i(t)=E×ε(t)Y(t)

过渡特性对时间的导数称为脉冲(冲激)特性(对应我国的单位冲激特性)。阶跃作用后的过程由阶跃量E决定，而脉冲作用后的过程由脉冲的面积K决定。

文献[15](p283)，给出了任意波形电动势作用下的电路计算公式：

(31)

该公式称为杜阿密尔积分，在我国少数早期教材中可以见到，现在已被卷积积分所取代。它是用单位阶跃特性计算零状态响应的通用公式，而卷积则是用单位冲激特性。在杜阿密尔积分中使用了过渡电导，这样方程两边的量纲显然是平衡的。

文献[18](p268)，给出如下卷积公式：

(32)

A(t)表示过渡电导，A′(t)则表示冲激过渡电导(对应本文的单位冲激特性)。对RL电路，响应为电流的冲激过渡电导为

(33)

类似的叙述还见于文献[11](p308)、[11] (p327)、[15] (p458)、[19](p281)和[20](p120)。

9 复频域象函数的量纲

复频域象函数的量纲，等于原函数量纲乘以时间的量纲。下面说明几点理由。

理由1：拉普拉斯变换的定义式为

因为是在时间轴上积分，所以象函数F(s)的量纲显然等于原函数f(t)的量纲乘以时间的量纲(积分规则)。如果原函数是电流，单位A，时间单位为s，那么象函数的单位就是As，即库仑C；如果原函数是电压，单位V，时间单位为s，那么象函数的单位就是Vs，即韦伯Wb。

理由2：电感的复频域模型为

UL(s)=sLIL(s)-LiL(0_)

附加电压源LiL(0_)是电感乘以电流，显然具有磁链的量纲，因此电压象函数的量纲为磁链的量纲。

对偶地，电容的复频域模型为

IC(s)=sCUC(s)-CuC(0_)

附加电流源CuC(0_)是电容乘以电压，显然具有电荷的量纲，因此电流象函数的量纲为电荷的量纲。

理由3：根据终值定理，阶跃激励时电感电流稳态值为下列极限：

所以，电流象函数IL(s)的量纲为

对偶地，电压象函数UC(s)的量纲为

dimUC(s)=dimΨ

在复频域分析中的注意事项：象函数的极点p与复频率s具有相同的量纲，是物理量，所以数值后面须带有单位，例如

p=-10 s-1(正体s表示秒)

因为实际中，时间的单位也完全可能是ms，因此必须明确使用哪种时间单位。

不同重数极点的留数(待定系数)具有不同的量纲，应使用不同的单位。例如，设

其中p2=-1 s-1。对应二重极点的两个待定系数分别为(注意它们的单位)

文献摘录:文献[4](p423)指出：“因此任何激励的象函数F(s)的量纲均为其原函数f(t)的量纲乘以时间的量纲。…… 。电流象函数量纲均为As=C;……。电压象函数的量纲均为Vs=Wb。”类似叙述见文献[13](p260)。

文献[14](p594)在正文中说：“为方便起见，仍用u(t)的单位作为U(s)的单位，用i(t)的单位作为I(s)的单位。这种做法只是用以表明时域变量原来用的是什么单位，并不意味着变换量具有任何物理性质。” 接下来在脚注中进一步补充说：“有些文献用拉普拉斯伏(Laplace Volt)作为U(s)的单位。”最后明确指出：“U(s)的实际单位为伏·秒。”

文献[17] p(258)指出：“在电工实用中也广泛使用所谓卡尔松变换(也叫亥维赛德变换)的函数变换，它有以下形式：

卡尔松变换的优点是原函数和象函数具有相同的量纲。从乘积pt应为无量纲的量可以看到这一点。而在拉普拉斯变换情况下，象函数的量纲等于原函数的量纲乘以时间的量纲。”类似叙述见文献[19](p289)。

10 正确使用量纲与单位的重要性

用三个故事来叙述，从正反方面体会正确使用量纲与单位的重要性。

故事一：1998年12月11日，美国航空航天局火星气候探测者号升空。经过286天长途飞行，在即将进入火星环绕轨道时信号突然消失。人们一阵忙乱也没能找到信号，探测者号消失在火星大气层中。经查，这是一起彻底的人为失误导致的事故：探测器的飞行系统软件使用公制单位“牛”来计算推进器动力，而地面人员则使用英制单位“磅”来设置探测器的方向矫正量，结果导致探测者号进入火星大气层的高度有误，最终瓦解碎裂。该探测器花费了3亿多美元。从此NASA严格规定单位制的使用。详见汪洁著科普读物《太阳系简史》，浙江教育出版社，2020年12月。

故事二：1945年7月16日，美国在新墨西哥州的阿拉莫戈多附近试爆了世界第一颗原子弹，并对爆炸数据实施严格保密。1947年，出于宣传的目的，美国政府允许把爆炸过程的系列照片公之于众。这时，英国著名流体力学专家泰勒爵士如获至宝。泰勒从1941年开始对“高强度爆炸的冲击波”问题做过非常详尽的研究，并且找到了爆炸释放能量的公式。泰勒立即对这颗原子弹做了细致推敲，他所估算出原子弹释放的能量竟然与一直保密的美国官方估算值非常接近。这使FBI的情报人员对此既惊讶又紧张。这个问题彰显了量纲理论中“П定理”在物理和工程应用中的巨大作用。利用量纲分析，加上某些物理思辨并借用照片给出的数据，的确可以得出该原子弹释放能量的粗略估算值。详见文献[1](p211)。

故事三：第一条跨越大西洋电报是在1858年实现的，此电报经过了纽芬兰和爱尔兰之间3000km电缆才得以传播。在那个年代，这是最贵也是最复杂的电学工程。该工程经历了无数次失败，直到1858年才获得过短暂成功，最终于1866年全部建成。在工程的开始阶段，失败的原因归结于很多电学单位不统一，尤其是电阻的单位。因此，这个工程的副作用就是加速了一系列单位的统一。选自(美)Edward M. Purcell著，宋峰等译，《伯克利物理学教程》(第2卷，电磁学)，p191。

11 结语

电学基础课程具有学术严谨的特征，这不仅体现在概念和方法上，还体现在物理量的量纲与单位上。电学基础课程是大学生较早接触的课程，在这些课程中加强量纲意识，可以从大学起步阶段就养成严谨的学术作风。在使用量的等式时，可以做的不很彻底，但不能存在量纲方面的差错。使用量的等式起初可能感到不便，这是固有习惯的原因，但渐渐就变得自觉和自如了。在严谨和方便性上，应该尽量选择严谨。