选用合适的方法，提长证明不等式的效率

孙亮

不等式证明题具有较强的综合性，常与函数、方程、三角函数、解析几何等知识相结合．不等式证明题的命题方式多种多样，求解的途径也各不相同，通常要根据不等式的特征，灵活选用合适的方法进行求证．本文主要探讨一下证明不等式的四种方法，

一、比较法

比较法主要包含作差比较法和作商比较法．若要证明的不等式为几个多项式的和或差，则采用作差比较法；若要证明的不等式为几个多项式的积或商，则采用作商比较法．运用比较法证明不等式的一般步骤为：作差（作商）——变形——作出判断——得出结论，变形代数式的主要方法有通分、因式分解、配方等．

仔细观察所要求证的不等式可以发现，不等式左右两边的式子具有对称性，且不等式中含有多个多项式，于是设a≥b≥c，采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩，再利用不等式的传递性、可加性来证明结论．运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断代数式的符号，

二、利用基本不等式

三、综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法．用综合法证明不等式，要熟练运用拆项、配方、因式分解等技巧对代数式进行恒等变换．运用综合法证明不等式的基本思路是“由因导果”，即先要揭示条件与结论之间的因果关系以及不等式两端式子的差异与联系，比较出所要求证的不等式左右两端式子的差异，再根据已知条件进行合理的恒等变换，最后推导出结果，

运用综合法证明不等式，关键是要明晰已知条件和所要求证的不等式之间的联系，充分利用已知条件，在必要时，可将其进行适当的变形、放缩，再选择合适的公式、定理、性质等进行推导、运算，最终得出结论．

四、分析法

运用分析法证明不等式，需重点寻求结论成立的充分条件，把所要证明的不等式转化为判定是否具备这些充分条件的问题，其基本思路是“执果索因”，当采用比较法、综合法难以证明不等式时，往往可以运用分析法进行求证，该方法的优点在于解题的方向明确，思路清晰．

运用分析法证明不等式，通常需采用“要证——即证——需证——只需證”的格式．解答本题，需“执果索因”，先分析题目中需要证明的结论，再联系已知条件，利用基本不等式，将要证明的结论进行分解，逐步寻找使结论成立的充分条件，根据完全平方式的性质证明不等式成立．

相比较而言，比较法、综合法比较常用，基本不等式法较为灵活，分析法往往较为复杂．同学们需根据已知条件和所要求证不等式的结构特点，合理选择最佳的方法进行求证．

本文系江苏省十四五课题《基于核心素养培育的高阶思维培养的实践研究》研究成果．