“实际问题与方程(1)”教法新探

2022-05-30 10:48孙晓平
小学教学参考(数学) 2022年10期
关键词:应用题方程

孙晓平

[摘 要]“实际问题与方程(1)”课程中大多直接呈现形如“ax±b=c”的方程问题,为了让学生能够养成主动运用方程解决实际问题的意识,初步学会运用方程,体验方程的先进性,有必要从探寻方程本质入手,引导学生建立模型,最终建立方程思想。

[关键词]方程;应用题;教法革新

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068(2022)29-0045-03

关于方程的应用,教材设计了形如“a±x=b”的方程应用题,对于这类运用算术法可以一步到位的应用题,是否有必要用方程来解,或者说用方程来解是否真的更加先进和便捷,仍存在较大争议。一步计算就可以解决的问题被强令用方程来解题,对已经用惯了算术法的学生来说,会感觉有些多此一举,不但要写出烦琐的“解”与“设”,还要将直截了当的数量关系转换成间接的方程表达,把简单的问题复杂化了。这样会导致学生对方程产生排斥心理,更谈不上形成主动应用意识了。学生遇到类似的题目常常会犹豫不决,询问老师如何在方程和算术方法中取舍,因为在他们心目中方程并不是一种解题的技能和工具,反而是一种选择上的负担,用方程解题并不是出于本意而是迫于無奈。之所以会出现这种尴尬的局面,其主因在于学生没有领会到方程的原理和优势所在。鉴于此,在设计与执教“实际问题与方程(1)”这一课时,笔者进行了大刀阔斧的改进与革新。

一、探寻本质,初步体验方程思想

师:果园里,阳桃树有45棵,比水蜜桃树多30棵,水蜜桃树有多少棵?

(学生独立解题,并述说解题思路)

师(隐藏问题,提取条件):果园里,阳桃树有45棵,比水蜜桃树多30棵。

师:阳桃树和水蜜桃树的棵数是什么关系?

1:阳桃树比水蜜桃树多出30棵。

师:没错,你能想办法用一个式子表示这两种果树之间的数量关系吗?

2:45-x=30。

3:x+30=45。

4:45-30=x。

师:水蜜桃树的棵数是未知的,因此可用一个字母代替,以上三个式子均能准确地表示出水蜜桃树和阳桃树的棵数关系。但是,若是非要挑一个最好的式子,你觉得哪一个式子与题目的表述最吻合、最直接?

5:生2的式子,因为这个式子是按照题干的语序来呈现其关系的,即“阳桃树的数量-水蜜桃树的数量=相差的30棵”。

6:我觉得生3的式子也不差,不过就是反推一下而已,即“水蜜桃树的数量+阳桃树比水蜜桃树多出的30棵=阳桃树的数量”。

师:相对而言,生4的式子一步到位算出结果,与我们的算术法不谋而合,只不过等号后面多了个字母而已。

师:以上的式子在数学里有个专门的称谓——方程。那么解出这个方程就可以顺利得出什么结果?

7:水蜜桃树的棵数。

师(小结):没错,刚才我们没有分析题中的数量关系,也没有进行数量推理,而是将问题转化为一个方程,水蜜桃树和杨桃树的数量关系就蕴含在方程里。我们只要求出方程的解,就可以顺利解决这个问题,这就是方程的神奇之处。

【设计意图】学生运用算术法解题时,他们的第一反应就是根据问题逆向搜寻条件,一步步推理,直到将所有的基本条件集齐了,然后再顺着线索推导出结果,其思维经历了一个正向和逆向的循环往复的过程,逆向溯源,正向推导,从而解决问题。这种方法思维复杂、线索纷繁。而方程思想是先寻找等量关系,这种等量关系往往就在字面上,然后根据这个等量关系建立起抽象的等式,利用含义不特定的数学符号来构建方程。因此,方程的内涵不在于对一个具体情境的刻画,而是对某一类数量关系的描述,一个方程可以解决许多个含有类似数量关系的问题,而算术法解题面对的只是其中的一个具体问题。为了揭示方程的抽象性和概括性,教学从“具体问题”(具体情境中的问题,独立解决时普遍采用算术法)过渡到“抽象问题”(让学生用直接的式子表示数量关系)。在对比中学生明白,算术法需要双向循环推理,而方程只需要顺向推演数量关系,按照题目的语意将数量关系抽象出来就能得到方程,解方程就能得出最终的结果。

二、建立模型,初步形成方程思想

【教学片段1】

师(出示):张果老种了72棵核桃树,是种植的水蜜桃树的3倍。请你用最直白的式子表示两种果树之间的数量关系。

生1:72÷x=3,3x=72。

师:解出以上两个方程,实际上就等同于求出了什么?

生2:水蜜桃树的数量。

师(完整呈现):张果老种了72棵核桃树,是水蜜桃树的3倍。水蜜桃树有多少棵?

师:韩国制造了128枚洲际导弹,比朝鲜制造的少14枚。用式子表示韩国和朝鲜拥有洲际导弹数量的关系。

生3:x-14=128,x-128=14。

师:解出上述两个方程,实际上就等同于求出哪个量?

生4:朝鲜制造的导弹数量。

师(完整呈现):韩国制造了128枚洲际导弹,比朝鲜制造的少14枚。朝鲜制造了多少枚洲际导弹?

师(小结):刚才我们为了准确表示数量关系,按照题意列出了含有未知数的等式,这些等式就是方程。而按照题意列出的方程,就是对整个数量关系的概括和抽象,因此可以说,方程就是对某种数量关系的抽象表达。

【设计意图】算术法是运用方程法解题的最大障碍,由于先入为主的刻板印象和定式思维,很多学生会固守算术法不放。为了让方程思想渗入学生的数学直觉思维里,教师特地设置两道强化练习题,让学生继续用等式来表示数量关系,进一步强调方程就是抽象化的等量关系的数学本质,让学生初步形成方程思想。

【教学片段2】

师:联合军演中,英国出动60艘军舰,美国的舰船数量是英国的舰船数量的2倍多10艘。请你用式子表示出美国和英国出动军舰的数量关系。

生:2x+10=60,60-2x=10,60÷2-10=x。

(上述三个方程中,很明显前两个方程直接表述美英双方军舰数量的关系,而第三个式子虽然也有未知数,但是意图一步到位地求出英国出动军舰数量,致使数量关系混乱,列式出错)

师:至此,你对方程是否有了新的看法?

师(小结):从第三个式子来看,如果从结果出发,逆推探寻条件再顺向推导,过程烦琐且容易引起思维混乱。而将结果看作未知数直接顺着题意推演,并抽象出数量关系,则方便得多,理解起来也更轻松。

【设计意图】方程思想的长处在于:无论条件多么错综复杂,只要用一个等量关系串联起所有的数量,那么问题就会变得无比简单。因此无论什么问题,一旦使用方程,就可以脱离復杂的情境,只要专注于解方程,问题自然迎刃而解。在分析本题的数量关系时,当学生根据以往经验直接用算术法列式时,会拿不准到底是先处理“多10”还是先处理“2倍”关系。而此时如果按照题意顺推,就会知道“英国军舰数×2+10艘=美国军舰数”或者“美国军舰数-英国军舰数×2=10艘”,用字母代替未知量,方程就会“浮出水面”。通过对比可以发现,由于有交织在一起的数量关系,用算术法需要经历逆向的复杂推理,而方程则无须推理。通过这样一比较,方程的优势不言而喻。

三、尝试应用,建立完整的方程思想

【教学片段3】

师(出示图1):老师碰到两个棘手的问题,你能尝试用新学的方程替老师分忧吗?

(要求:先自选方法独立答题,然后展示交流,最后规范方程解题的标准格式)

(1)解:设小明去年身高 x cm。

1.53 m=153 cm

x+8 =153

x+8-8=153-8

x=145

答:小明去年身高 145 cm。

(2)解:设每分钟浪费x kg水。

半小时=30分

30x=1.8

30x÷30=1.8÷30

x=0.06

答:每分钟浪费0.06 kg水。

【设计意图】让学生对方程有更加客观理性的认识,对方程的优势有切身体会,同时掌握用方程解题的标准格式,并真正从心底里接纳和认可方程,形成完整的方程思想。

四、课后反思

史宁中教授曾说,以往的方程教学存在的很大弊病就是南辕北辙:方程的教学本应从具体情境中抽象出方程表达式,通过解方程来间接解决实际问题,而不是先定义抽象的方程,再来赋予其实际意义。本课的教学可谓拨乱反正。

首先,植入并强化。如果仅仅把方程看作一种解题方法,它有时还真不是算术法的“对手”,因为算术法在学生头脑中“盘踞”多年,树大根深,学生第一时间往往会倾向于算术法。从某种程度上说,方程仅仅是一个用“=”连接的等量关系,而算术法中的“=”则可以直接导出运算结果。因此方程应用的教学重点不在解题,而在于传递一种思想:用含有未知数的等式将题中的等量连接起来,抽象成一个可以代表任何类似关系的方程,而解这个方程就可以解决问题。

其次,比较并内化。方程的“解”“设”等步骤,以及运用等式性质解方程的过程看似比算术法麻烦,令学生望而却步,但是,方程的思维过程却是顺向的,简单直白,不易出错,为了这一优势付出点书写上的代价是值得的。教学中设计了“美英联合军演”的情境,足以凸显方程思想的优势。最后通过让学生自选方法独立完成课本“做一做”的第1、2题,检验学生是否真正内化吸收了方程思想的精髓。

诚然,本课通过三个应用题来构建方程模型,让学生初步感知方程的优越性,培养了学生的方程意识。但方程思想的建立是循序渐进的积累过程,并非一日之功,教师还应在日常教学中潜移默化地渗透。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 刘晶.厘清等量关系  直击方程本质:“等式与方程”教学设计与说明[J].小学教学参考,2021(17):68-70.

[2] 张晓玲.以等式的性质为导航使解方程不再难[J].中小学数学(小学版),2021(3):35-36.

[3] 王正保.“式与方程总复习”教学谈[J].小学数学教育,2021(12):56-58.

[4] 史宁中.基本概念与运算法则[M]. 北京:高等教育出版社 , 2013.

[5] 赵晓燕.从“两位数相乘”回到“乘法的意义”:例谈小学数学起点型核心知识教学的重要性[J].江苏教育,2022(33):11-14.

(责编 罗 艳)

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