例谈“以直代曲”思想在证明代数不等式中的应用

例谈“以直代曲”思想在证明代数不等式中的应用

金毅

（内蒙古自治区呼和浩特市第二中学010000）

摘要：本文以函数与导数为主要工具，主要应用“切线放缩”与“割线放缩”证明代数不等式，突出数形结合思想中的“以直代曲”思想. 本文突出呈现函数“凸性”在此方法中的重要性，并把它作为选择具体直线时的思路切入点.

关键词：代数不等式；证明；以直代曲；函数的凸性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0046-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：金毅（1992-），男，硕士，从事中学数学教学研究.

我们经常会见到一类条件不等式，给出有限个变量的范围或它们和的值，之后证明与这些变量有关的代数式的和的取值范围.

一种通常的表现形式是：

若∑ni=1xi=M，证明：∑ni=1fxi≥N.

当然，等号或不等号的呈现形式也不唯一，以上仅作为一个常见表示展现给大家，目的是从形式上先做了解. 我们可以看到，很多解答中对这类问题都展现了非常高超的配凑变形技巧，这让我们不禁思考：对于这类问题在思考时的总体方向是什么？本文就将深入探究这类问题，将思考的过程予以展现，找出问题思考的总体方向，寻找隐藏在变形技巧后面的总体规律，并形成主要的解题思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割线放缩技巧

割线放缩是以直代曲思想的重要呈现，它的理论基础是函数的凸性. 关于函数的凸性，我们利用二阶导数判断，当f ″x≤0在区间M上成立时，

fx在区间M上为上凸函数；当f ″x≥0在区间M上成立时，fx在区间M上为下凸……