利用向量法，巧解三角形

童波

［摘  要］ 纵观近几年全国高考数学卷，向量法应用的比例一直居高不下，甚至还有稳中上升的趋势. 文章以“正（余）弦定理”教学为例，从教学内容的分析与教学实录的开展出发，对如何利用向量法，巧解三角形谈一些看法与思考.

［关键词］ 向量法；三角形；正（余）弦定理

实践证明，能建立空间直角坐标系的问题，大部分都可以用向量法来解决. 与传统解题方法相比，向量法虽然计算量偏大，卻具有将复杂问题变简单的功效. 遇到解三角形类的问题，也可以巧借向量的代数运算功能将复杂的问题变得简单，让解题变得更加科学合理. 因此，笔者从正（余）弦定理的教学实录出发，谈一些看法.

[?]教学内容分析

正弦定理的证明方法，教材提供了几何法与向量法两种，几何法将斜三角形的边角关系转化成直角三角形的边角关系进行证明；向量法则将向量等式转化成数量等式，然后对向量边长进行转化. 余弦定理的证明方法，教材仅提供了向量法一种，且只用了寥寥几行字，就揭示了向量法的优势. 从教材所提供的证明方法来看，利用向量法证明正弦、余弦定理是编者倡导的证明方法，体现出了向量法在解决三角形问题中的优越性.

[?]教学简录

为了让学生充分感知向量法的工具性与便利性，笔者结合学情，在实际教学中，将正弦、余弦定理进行了整合处理，获得了不错的教学成效.

1. 教学目标

（1）带领学生经历用向量法对三角形边角关系进行研究的过程，让学生体验向量运算的基本方法，感知向量法在解决三角形问题中的工具性特征与实际价值.

（2）掌握正弦、余弦定理的相关知识.

2. 教学过程

（1）创设情境，引出主题

情境作为一种特殊的教学环境，是教者为了促进学者学习，结合学情与教学目标有针对性创设的一种支持性的教学环境［1］. 情境的应用，不仅能激发学生的探索欲，还能突出教学的针对性，充分发挥情感在课堂教学中的促进作用，提高学习效率.

情因境生，境为情设. 良好的教学情境，能有效激发学生的探究热情，让学生产生新的认知，有新的收获. 本堂课以激发学生的自主探究为主，教学对象为逻辑思维较强的高中生，因此在情境选择上，可应用充满“数学味”的问题情境，引导学生直接切入主题.

问题情境：三角形边角关系的研究，除了可以从几何的角度进行外，还有其他研究途径吗？

师：大家都清楚，向量作为数学工具的一种，既具备“形”的特征，又含有“数”的意义. 三角形的边角特征就可以用这种集“数形”特征于一体的向量来刻画. 那么，什么样的向量关系式能刻画出△ABC三边之间的关系呢？

生1：++=0.

师：不错，这就是三角形最基本的向量等式，该等式不仅刻画了三角形三边之间的关系，还蕴含了三角形三角之间的关系.

在问题情境的引导下，教师以“如何用向量关系式刻画△ABC三边之间的关系”为切入口，引导学生回顾三角形最基本的向量等式，让学生快速明确本节课的主题，也为接下来的探究活动奠定基础.

（2）多重方案，引发探究

师：式子++=0刻画的是向量之间的关系，若要将该式转化成三角形边角之间的关系，该怎么处理呢？

生2：应该要进行某种运算吧？（不太确定）

师：大家分析一下，怎样实施运算可以进行转化？

生3：向量加减法不能得到边角之间的关系，从数量积的运算角度考虑，数量积运算的介入，结合其定义，能够获得边角之间的关系.

设计意图：以问题启发学生从“数量积运算”的角度进行转化，不仅能获得想要的边角之间的关系，还能将向量等式转化成数量等式，这一过程具有培养学生目标意识的重要作用.

师：说一说你们的转化方法.

（学生合作交流，汇报结论）

方案1：

生4：等式++=0移项后可得=-①，在等式①的两边同时点乘，得2=·（-），即a2=abcosC+accosB，化简后可得a=bcosC+ccosB.

师：非常好，在等式的两边同时点乘，就是将原来的向量等式转化成了数量等式，为接下来研究三角形的边角关系提供了支持. 类似于此，在等式①的两边还可以点乘其他向量吗？若可以，能得到怎样的结论？

生5：等式++=0移项后可得=-②，在等式②的两边同时点乘，经过化简可得b=acosC+ccosA.

生6：等式++=0移项后可得=-③，在等式③的两边同时点乘，经过化简可得c=acosB+bcosA.

师：不错，这三个等式被称为三角形的射影定理.

设计意图：引导学生感知在等式的两边同时点乘向量的过程，旨在激发学生的探究欲. 虽然本节课并没有将射影定理作为教学任务，但射影定理是本节课实施探究的载体，因此有必要带领学生进行一定了解.

方案2：

师：对于++=0这个式子，是否存在其他的数量化处理方式？

生7：等式++=0移项后可得=-，将移项后的式子两边同时平方，可得2=（-）2，即2=2+2-2·，也就是a2=b2+c2-2bccosA.

师：不错，将等式的两边同时平方，也就是将原式转化成了数量等式，获得了三角形边角关系的等式. 类似于此，我们还能如何进行平方？获得什么结论呢？

生8：同样经过移项，可得=-，将等式两边同时平方，整理可得b2=a2+c2-2accosB.

生9：原式移项后可得=-，将等式两边同时平方，整理可得c2=a2+b2-2abcosC.

师：非常好！我们将移项后的等式两边同时平方，能将向量等式数量化，整理后所获得的三个边角关系的等式，被称为余弦定理.

设计意图：教师通过适当的点拨，引导学生自主操作——移项后等式两边同时平方，将向量等式数量化，余弦定理的发现水到渠成.

方案3：

师：对于式子++=0，是否还存在其他数量化处理的方法？

一石激起千层浪，随着问题的驱动，点燃了学生思维的火花，此时课堂氛围达到了高潮，学生一个个都跃跃欲试，进入了深度探究的状态.

生10：将等式++=0的两边直接平方，可得（++）2=0，经过整理可得a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.

師：很好，这种方法同样可将向量等式数量化. 从以上几种转化策略不难看出，要么平方，要么点乘特殊的向量. 如方案1，点乘的向量是三角形三边所在的向量，具有与对应边平行的特征. 大家思考一下，除了以上几种向量外，是否还存在其他特殊的向量可以用来点乘呢？

（学生沉思）

设计意图：教师提出“平行”这个词语，意在给学生一种指向与暗示，引导学生发现另一种特殊向量——法向量也可作为点乘向量.

方案4：

生11：假设∠C是△ABC中最大的角，++=0移项后可得=-，在该式的两边同时点乘的法向量，可得·-·=0，也就是b·

·cos∠DAC-c·

·cos∠DAB=0.

如图1所示，假设∠C是锐角，那么=.

如图2所示，假设∠C是钝角，那么==.

同理可得，==.

师：非常好！将等式的两边点乘的法向量，成功地将原向量等式数量化，化简等式后即得本节课的教学重点——正弦定理. 观察以上几种解题方案，不难发现，向量等式是解决问题的起点，是实施运算的基础，在等式的两边作数量积是解题的关键.

（师生共同总结正弦定理与余弦定理）

综上分析，方案2和方案3是通过平方作数量积，方案1和方案4是通过点乘特殊向量作数量积，不论哪种方法的应用，都是将向量等式转化成数量等式. 通过多种方案的展示，不仅可以拓展学生的视野，还能开拓学生的思维，让正弦、余弦定理的形成更加自然.

（3）知识应用

任何结论的获得都是为应用奠定基础，正弦、余弦定理也不例外. 基于以上定理的形成过程，笔者呈现出以下经典例题，供学生探讨分析，并通过试题变式，培养学生实际应用的灵活性，以促进学生数学思维的发展.

例题 如图3所示，在△ABC中，已知∠BAC=60°，AB=8，AC=5，点D为BC边的中点，则中线AD的长度是多少？

分析：从常规解法来看，本题可以借助余弦定理获得第三条边BC的长度，再结合中线定理知AD=，进而获得AD的长；也可以借助中线的向量性质，列式=（+），该式的两边同时平方，解得

=.

变式：如图4所示，在△ABC中，已知AB=8，AC=5，点D为BC边上接近点B的三等分点，在AD=的情况下，∠BAC的度数是多少？

分析：此变式的常规解决方法用在△ABC与△ABD中，借助余弦定理建立关于BC与cosB的方程组，获得BC的长度，然后在△ABC中，结合余弦定理得到∠A的度数；也可以用向量法，得=+，等式两边同时平方，整理得cosA=，所以∠A=60°.

设计意图：通过典型例题与其变式让学生感知，用向量法解决三角形问题，具备显著的简洁、直接等优势，明确此类问题解决的关键在于将向量等式两边同时平方进行转化，获得数量等式.

在学以致用的基础上，本节课也接近尾声，此时教师可以带领学生站在同一高位，一起回顾本节课的教学重点与难点，厘清整个学习思路，力争将这种学习方法延续到后期更多的学习中，形成一种学习技能.

[?]教学思考

1. 设计合理的教学流程

新课标提出：数学课堂教学需建立在学习者原有的认知水平与知识经验基础上进行，教学活动的开展，应一直位于学生认知的最近发展区［2］. 由此可见，研究学生原有的认知结构与认知水平是教学设计的根本，也是各类教学活动开展的起点.

学生在本节课上课前已经掌握了向量的相关知识，教师进行课堂设计时，就是以此为基准的，利用充满“数学味”的问题情境直奔教学主题，让学生快速进入学习状态. 同样，在探究活动环节中，教师的追问是基于学生的认知经验进行的，每个问题都紧贴着学生的最近发展区. 因此获得了较好的教学成效.

2. 提供充足的探究空间

动手操作、自主探究与合作交流是学习数学的重要方式，学生通过亲身经历，将一些实际的数学问题抽象成模型. 因此，新课标对于课堂探究活动的开展，提出了更加明确的要求——要求教师为学生提供充足的探究空间与时间，让学生自主建构新知，而非由教师机械地告知.

探究活动在传统教学中的应用较少，有些“老教师”对于教学设计意图的把握不太精准，导致实施过程中障碍重重. 鉴于此，教师应不断更新教育教学理念，通过提升自身的综合素养与专业水平，为学生提供真正意义上的探究空间，以调动学生学习的积极性，促进学生思维品质（敏捷性、深刻性、广阔性等）的发展.

本节课中，教师通过简单明了的问题驱动，引发学生的探究欲，并在适当的时机给予点拨与引导，让学生自主探索出三种解题方案，总结出正弦、余弦定理. 这种教学方法，让学生体验知识的“再发现”过程，感知学习的乐趣，建立学习信心.

3. 灵活用好数学教材

教材是实施教学的依据，但教材的安排适用于一般情况，而具体教学的实施，受学情、学校背景等综合因素的影响，需教师结合实际情况作一些调整. 本节课从教材出发，结合了学生实际情况，打破了教材原有编排，重新整合了教材内容，因势利导地实施教学，充分挖掘了教材的教学功能.

4. 增强课堂教学节奏感

教学设计应结合教学内容与学情，把握好每个环节的节奏，让学生在张弛有序的氛围中感知学习的快乐. 例如，本节课方案4的探究环节，学生想不到点乘向量，沉思时间过长，课堂氛围显得较为沉闷. 究其原因在于教师所设置的问题没有明确的指向性，学生一时找不到思考方向. 教师若在此环节用“问题串”的形式，为学生的思维搭建“脚手架”，则会出现不一样的教学效果.

参考文献：

［1］  马复. 设计合理的数学教学［M］. 北京：高等教育出版社，2003.

［2］  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版） ［M］.北京：人民教育出版社，2018.