由一道题谈解答含参不等式恒成立问题的路径

叶琳玮 罗家贵

通过研究近几年的全国高考数学试题，不难发现：含参不等式恒成立问题的难度系数较大，常以压轴题的形式出现，其考查形式也多种多样，侧重于考查逻辑思维能力和综合分析能力.本文结合2021年八省联考卷的第22题来谈一谈求含参不等式恒成立问题的几个路径.

题目：

第二个问题是含参不等式恒成立问题，主要考查了函数的单调性、放缩不等式的方法、导数与函数单调性之间的关系、极值等.同学们需灵活运用分类讨论思想、转化思想、数形结合思想来辅助解题.解答本题有如下几种路径：

一、构造函数

当含参不等式恒成立问题涉及到三角函数、幂函数、对数函数等时，可采用构造函数法来求解.先将不等式变形为 f （x） > 0或f （x） < 0 的形式，构造出新函数，然后讨论导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最值，使得 f （x）min > 0，或f （x）max < 0 ，便可使不等式恒成立，据此建立关系式，即可解题.

解：

题目中涉及了幂函数、三角函数，可采用构造函数法来解题.将不等式变形为 g（x）- 2 - ax ≥ 0 的形式，将左边的式子构造成函数 F（x） ，并对其求导，然后在一次导数含参数的情况下，对二次导函数进行分析，通过分类讨论，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，再利用不等式性质、零点存在性定理即可解题.在运用构造函数法解答不等式恒成立问题时，要先构造出合适的新函数，对函数求导，判断出导函数的符号.若导函数的符号无法确定，需要进行二次求导，以便判断出函数的单调性，确定极值点，求得函数的极值、最值.

二、分离参数

分离参数法是解含参不等式恒成立问题的常用方法.该方法主要适用于解答不等式中的参数容易被分离出来的题目.通过分离参数，将不等式变形式为a ≤ f （x） 或 a ≥ f （x） 的形式，再根据导函数与函数的单调性之间的关系、函数单调性的定义判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得函数的最值，从而求得a的取值范围.

解：

题目中的参数是一次项的系数，因此要分离参数并不难，但是需要对变量进行分类讨论，才能确定不等号的方向.分离参数后，不等式另一边的函数式较复杂，需通过求导，根据导函数与函数单调性之间的关系来判断函数单调性，得到最值，并结合第一题的结论来解题.

三、放缩不等式

对于较为复杂的不等式问题，常需运用放缩法来求解.在放缩不等式时，要灵活利用不等式的性质、定理，以及一些重要的不等式，对题目中的不等式进行放缩，从而将复杂不等式转化为简单不等式，其目的就是化繁为简.运用该方法解题时，需要注意不等式成立的条件，不可随意放缩.

解：

不等式中不仅涉及了幂函数，还涉及了三角函数，而判断复杂三角函数的单调性比较困难，于是想到在条件成立的情况下，结合重要不等式 ex ≥ x + 1放缩幂函数式，从而使不等式简化，这样便可快速求得参数的值.

四、数形结合

数形结合思想是联系数量关系和几何关系的桥梁，在解题中发挥着重大的作用.数形结合法是解答函数、不等式问题的重要方法.该方法尤其适用于解绝对值不等式、含参不等式问题，可以减少复杂的分类讨论过程.运用数形结合法解答不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，画出函数的图象，通过分析图形之间的位置关系以及图形的性质，来找到使不等式恒成立的临界情形.

解：

题目中涉及到了幂函数、三角函数和一次函数，利用第一个问题的结论和导函数的性质可知不等式左边的函数的图象是下凹的，且不等式右边的函数与不等式左边的函数都经过（0，2），可据此求得切线的方程，得到参数的值.将数形结合起来，可化简运算的步骤，提高运算的速度.

綜上所述，解答含参不等式恒成立问题的方法多种多样，这些方法虽然都是从不同的角度分析题目得到的，但是并不是孤立的.在解题时，我们要学会将函数、不等式、导数、方程知识融会贯通起来，灵活运用构造函数法、分离参数法、放缩法、数形结合法等来求得问题的答案.

（作者单位：西华师范大学）