求解立体几何问题的两种常用方法

许卫俊

立体几何问题一般侧重于考查空间几何体的结构特性、体积、面积以及点、线、面的位置关系，对同学们的逻辑推理和空间想象能力有较高的要求.解答立体几何问题的常用方法是几何法、向量法.这两种方法有各自的特色和适用情形，下面结合实例来进行探讨.

一、几何法

几何法是通过分析点、线、面之间的位置关系，利用几何图形的性质、定义、定理来解题的方法.运用几何法解题，需熟悉几何体和几何图形的特征结构，根据几何中的性质、定义、定理等添加辅助线，构建线面之间的平行、垂直关系，通过严密的逻辑推理和运算求得空间角、距离，并判定空间中点、线、面的位置关系.

例1.如图1，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥ 面ABCD，AB = BC = 2，AD = CD = 7，PA = 3，∠ABC = 120°，G 为线段PC上的点.

（Ⅰ）证明：BD ⊥ 平面PAC;

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值;

（Ⅲ）若G满足PC⊥平面BGD，求 PGGC 的值.

解答第一个问题，需利用线面垂直的判定定理;解答第二个问题，需根据直线与平面所成的角的定义添加辅助线，便可根据余弦定理求得角的大小;解答第三个问题，需根据线面垂直的性质定理寻找直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，再根据相似三角形的性质建立关系式解题.运用几何法解题，只需根据题意，联系相关的几何性质、定义、定理，寻找其使用的条件，便可根据这些性质、定义、定理进行求解.

二、向量法

向量法是运用向量的性质、几何意义、运算法则解题的方法.运用向量法解答立体几何问题，往往需根据几何体的特点寻找合适的基底，或建立合适的空间直角坐标系，给线段赋予方向，给点赋予坐标，通过向量运算求得空间角、距离，判定空间中点、线、面的位置关系.

例 2.如图 2，在四棱锥 M - ABCD 中，底面 ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，求BN的长.

并将其作为基底表示出其它的线段，便可根据向量的三角形法则、平行四边形法则、数量积公式、模的公式求得|  BN|，即可解题.运用向量法求解，可将立体几何问题转化为向量问题，这样不仅能转换解题的思路，还能简化解题的过程.

例3.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE ⊥ A1B1， AA1 = AB= AC = 2;當 D 为 A1B1的中点时，求平面 DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

在找到三条相互垂直，且交于一点的直线后，便可建立空间直角坐标系，根据题意求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，再通过空间向量的坐标系运算求得二面角的大小.在求平面的法向量时，需根据线面垂直的判定定理，在一个平面内找到两条相交的直线，并使其与法向量垂直，利用待定系数法即可求出平面的法向量.通过搭建空间直角坐标系，将抽象的立体几何问题转化为具象的坐标运算问题，可有效避免复杂的几何推理论证.

总之，几何法的适用范围较广，大部分的立体几何问题都可以用几何法求解.而向量法的适用范围较窄，只适用于求解有关正方体、长方体、直三棱柱等规则空间几何体的问题，且使用过程中的运算量较大，同学们要谨慎计算，避免出现失误和错解.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）