由一道最值题引发的思考

刘玲玲 汤强

很多高中数学问题不止有一种解法，有时从不同角度去进行分析，可以寻找到多种不同的解题方案.笔者从不同的角度对一道最值问题及其解法进行了探究，并总结出了一些解题的规律.

题目：若 a，b 是正数，ab = a + b + 3， 求 ab 的最小值.

该题目中给出的条件较少，且较为简单，但关系式中含有两个变量，要求得目标式的最小值，需对两个双变量进行研究，利用基本不等式、判别式法、函数最值法、数形结合法进行求解.

一、利用基本不等式

基本不等式 a + b ≥ 2 ab（a、b > 0）是解答双变量最值问题的重要工具.一般地，若两式的和为定值，则由基本不等式可得当且仅当 a = b 时，两式的积取最大值;若两式的积为定值，则由基本不等式可得当且仅当 a = b 时，两式的和取最小值.在运用基本不等式求最值时，要把握三个前提条件：“一正”“二定”“三相等”.

解法一：因为 a > 0， b > 0， 所以 a + b ≥ 2 ab，

又因为 ab = a + b + 3，

所以 ab ≥ 2 ab + 3，

即 ab - 2 ab - 3 ≥ 0，a = b 时取等，

解得 ab ≥ 3 或 ab ≤ -1（舍），

所以 ab ≥ 9，当且仅当 a = b = 3 时取等号.

本题中的 a，b 是正数，且 ab = a + b + 3，题设已具备运用基本不等式的两个条件，所以很多同学首先会想到运用基本不等式来求最值.根据基本不等式求得a + b ≥ 2 ab，便可根据已知条件，建立关于ab的不等式，解不等式即可求得ab的最小值.

解法二：因为 a > 0，b > 0，ab = a + b + 3，

所以 （a - 1）（b - 1）= 22

即 a - 1，2，b - 1成等比數列，

所以 b - 1

该解法是先将已知关系式变形，根据等比数列等比中项的性质构造出两式 2q、2q 的和，且其积为定值，便可运用基本不等式求得 ab 的最小值.基本不等式的使用条件为（1）一正：q > 0;（2）二定：2q ? 2q = 2;（3）三相等：2q = 2q，即 q = 1时取等号.

解法三：

该解法中巧妙运用了配凑法和分离常数法，配凑出了两式的和：（b - 1）+ 4b - 1，其中 b - 1 > 0，（b - 1）? 4b - 1 = 4为定值，利用基本不等式即可解题.

可见运用基本不等式求最值，关键是根据题意得到满足应用基本不等式的三个条件：“一正”“二定”“三相等”.有时题目中并未给出这些条件，那么我们就需要根据题意，构造或选取合适的两式，配凑出两式的和或积，并使其一为定值，这便可使用基本不等式求最值.

二、构造函数

构造函数法是通过构造函数，利用函数的性质求得最值的方法.运用构造函数法求最值，需先根据题意构造函数式，根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，从而根据变量的取值范围，求得函数的最值.

将 b 视为主元，构造函数 f （x），通过研究导函数与0之间的大小关系判断出函数的单调性，便可求得函数在（0，+∞）上的单调性和极值，进而求得函数的最值.运用构造函数法求最值，关键在于构造出合适的函数模型.

三、运用判别式法

对于二次双变量最值问题，可采用判别式法求解.首先根据题意构造一元二次方程，然后根据方程有解，建立关于判别式的不等式△≥0，通过解不等式求得目标式的最值.

由 ab，a + b 联想到一元二次方程中的两根之和、两根之积，于是根据根与系数的关系构造一元二次方程 x2 -（t - 3）x + t = 0，其中a、b是该一元二次方程的两根，所以根的判别式 Δ ≥ 0 .通常，可根据方程的根与系数的关系来构造一元二次方程;也可将其中一个变量视为主元，来构造一元二次方程.

四、运用数形结合法

数形结合法是解答数学问题的重要方法.对于双变量最值问题，需首先挖掘题目中代数式的几何意义，如 y = kx + b 表示的是一条直线，y = ax2 + bx + c 表示的是一条抛物线，x2 + y2 = r2表示的是一个圆等，然后画出相应的图形，通过分析图形的几何性质、位置关系，找到目标式取得最值的情形，从而求得最值.

该方法是很多同学难以想到的.通过构造出长方体，利用数形结合法，巧妙地将 ab 转化为长方形的面积 ab = a ? 1 + b ? 1 +（a - 1）（b - 1）- 1 .然后通过换元，配凑出基本不等式的应用条件，从而利用基本不等式求得ab的最小值.

可见，解答最值问题，可以从基本不等式、函数、方程、几何图形几个不同的角度入手，来寻找不同的解题方案.这就要求我们在解题时，根据题目中所给的信息，运用已有的数学知识、经验，通过观察、推测和想象，从不同的角度进行思考、重组已有信息，这样才能获得多种不同的解题方法和思路.

（作者单位：西华师范大学）