聚焦函数零点分布的常见题型及求解策略

摘 要：函数零点是历年高考命题的重点，也是函数应用的基础，此内容可与多种函数及函数的图象、性质相结合，从近几年高考来看，零点问题与函数图象交汇在客观题、与导数结合在解答题中出现，是考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想的重要载体.

关键词：常见函数;零点问题;数形结合;求解策略

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0008-05

1 回归定义，溯本求根

例1 已知定义在R上的函数f（x）=1|x-e|，x≠e，1，x=e， 若关于x的函数y=f 2（x）-mf（x）+m-1

例2 （2019年全国Ⅱ卷文）已知函数f（x）=（x-1）lnx-x-1，证明：

（1）f（x）存在唯一的极值点;

（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

证明（1）函数f （x）的定义域为（0，+∞），导函数f ′（x）=lnx-1x，此时f ″（x）=1x+1x2>0，所以f ′（x）在（0，+∞）单调递增.

又f （x）在（0，x0）上单调递减，且1m∈（0，x0），所以f（x）=0有且仅有两个实根m，1m，且两个实根互为倒数.

评析求函数零点的常用方法：一是通过解对应方程，求实数解;二是通过作函数图象，利用数形结合求交点横坐标，但需要注意函数的定义域，分段函数的零点检验.

2 巧用对称，不攻自破

例3 （成都树德中学期末考试）已知x1是函数f（x）=xlog2x-2020的一个零点，x2是函数g（x）=x·2x-2020的一个零点，则x1x2的值为.

解析 令f（x）=xlog2x-2020=0，得

评析 解决函数零点不可求的客观题时，要有二个意识：一是会转化，函数零点、方程的根、两个图象的交点三者之间等价转化;二是要有整体观，结合图象的表征深化到图象的对称性：中心对称、轴对称，奇函数或者偶函数的零点关于数轴原点对称，且所有零点之和等于0.

3 合理设参，统一变量

评析 将方程问题转化为图象的交点问题，数形结合找到参数的切入点，联立方程组，将多变量问题转化为单变量问题，方便在化简、求最值时使用均值不等式、配方、构造函数判断单调性、比较大小等，但要注意变形过程的等价性.

4 巧用模型，化动为静

例6 已知函数f（x）=|log3x|，03，若函数y=f（x）-m有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，满足x1

评析 依据题目条件准确画出函数图象，使复杂的代数问题变得形象直观，结合图象建立等量关系、不等关系，求得零点的分布.

5 数形结合，相得益彰

例7（2020年全国Ⅲ卷）设函数f（x）=x3+bx+c，曲线y=f （x）在点（12，f（12））处的切线与y轴垂直.

①若f （x）有一个零点，则方程-c=x3-34x有一个根x0，由图知c<-14或c>14，此时x0<-1或x0>1，绝对值大于1，不成立.

②若f （x）有两个零点，则方程-c=x3-34x有两个根x1，x2，由图知c=-14或14，此时两根分别为x1=-1，x2=1，绝对值等于1，成立.

③若f （x）有三个零点，则方程-c=x3-34x有三个根x4，x5，x6，由图知-14

综上所述，当f （x）有一个绝对值不大于1的零点时，f （x）所有零点的绝对值都不大于1.

评析 本题考查导数的几何意义、与零点有关的不等式证明，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养.运用导数研究函数的零点或者方程的根，是高考热点问题，以函数的单调性为切入点，画出函数大致图象，以便确定函数零点的分布、最值情况，真正体现数形结合的灵活运用.

6 以退为进，海阔天空

例8 （2020年浙江卷）已知1

评析 本题给人以亲而不近之感，利用导数判断函数的单调性、零点个数，并将不等式的证明与零点的存在性定理完美结合，较好地考查了逻辑推理能力、转化与化归的思想.

7 反面入手，柳暗花明

例9 （2016年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

函数零点的分布是难点，也是近几年高考的热点，综合性很强，考法灵活多变，解题时应该避重就轻，避实就虚，不失为一种明智的策略，可以考虑以上7种策略.考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归数学思想，也是解题策略的优化与变通，更是“临渊羡鱼，不如退而结网”的人生境界.

参考文献：

[1] 谢新华.运用数学思想 探究函数零点个数问题[J].数理化解题研究，2021（01）：29-30.

[責任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：李波（1991-），男，四川省仪陇人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.