从多个视角探究一类三角形面积问题的解法

邓顺伟

三角形的面积问题常与解三角形、三角函数、平面向量、解析几何等知识相结合，其常见的命题形式是根据已知条件，求三角形的边长、角的大小、面积、周长等.此类问题看似较为简单，其实具有较强的综合性，通常需灵活运用正、余弦定理、三角形的面积公式、勾股定理、三角函数的定义等来求解.笔者重点探究一道三角形面积问题的解法，下面谈一谈个人的一些看法和建议.

题目：已知 ΔABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中 a = 2 7 ，b = 2，sin A + 3cosA = 0 .

（1）求 c 的值;

（2）若点D在边BC 上，且满足 AD ⊥ AC ，求 ΔABD 的面积.

本题的第（1）问比较简单，需要先求角 A 的大小，再利用余弦定理即可求得 c = 4 .这里主要探讨一下第（2）问的解法.为了便于分析、求解，可先根据题意画出图形，如图1所示，然后讨论其边角关系，从不同角度来寻找解题的思路.

一、利用正余弦定理

若三角形中 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，则正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C = 2R;余弦定理：a2 = b 2 + c 2 -2bc cos A;b 2 = c 2 + a2 - 2ca cos B ;c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C. 正弦定理一般适用于两种情形：（1）已知一个角和两条边，求其他边、角;（2）已知两个角和一条边，求其他边、角.余弦定理通常适用于两种情形：（1）已知一个角和两条边，求其他边、角;（2）已知三条边，求各个角.

解法1：

由于本题的题目中告知了两条边和一个角的关系式，所以可先利用余弦定理求得 cos B， 据此求得 AD，再利用正弦定理求 sin ∠BAD ，便可根据三角形的面积公式 SΔABC = ab sin C 求得问题的答案.

解法2：

该解法比较简单，根据余弦定理求得 cos C，便可利用诱导公式求得 tan C，然后根据直角三角形的边角关系求得AD的长，即可利用三角形的面积公式求解.

解法3：

在解答本题时，两次运用正弦定理求得 sin ∠ADC、 sin ∠DAC 的关系式，再根据两个角互为补角，从而求得 BD = CD ，求得 SΔACD ，就能顺利求得 SΔABD .

二、利用平面几何知识

三角形是一种特殊的平面几何图形.在解答三角形问题时，可灵活运用平面几何知识，如等边三角形的性質、平行四边形的性质、圆的性质等来解题.在解题时，需根据题意添加合适的辅助线，以便构造出平行、垂直关系或特殊规则的平面几何图形。

解法4：

该解法是根据图形的特点，将 ΔABC 分割为 ΔABD 和 ΔACD ，然后根据三个三角形之间的关系以及三角形的面积公式求得问题的答案.

解法5：

在添加适当的辅助线后，便可根据平行线分线段成比例定理、勾股定理求得RtΔACD的一条直角边 AD，再根据三角形的面积公式可求得RtΔACD的面积，进而得到 ΔABD 的面积.

解法6：

该解法比解法5要简单许多，充分利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等证明 AC = BE ，便可根据勾股定理求得CD的值，进而求得RtΔACD的面积.

三、借助向量法

向量法是解答与三角形有关问题的重要方法.在解答三角形问题时，可给三角形的各条边赋予方向，求得各条线段的方向向量，便可通过向量的加法、减法、数乘运算法则，以及数量积公式、向量的模的公式来求得问题的答案.

解法7：

三、借助向量法向量法是解答与三角形有关问题的重要方法.在解答三角形问题时，可给三角形的各条边赋予方向，求得各条线段的方向向量，便可通过向量的加法、减法、数乘运算法则，以及数量积公式、向量的模的公式来求得问题的答案.

四、构建坐标系

在解答三角形问题时，可根据三角形的特点建立平面直角坐标系，求得各个点的坐标、直线的方程，从而将三角形问题转化为解析几何问题，根据直线的斜率公式、夹角公式、直线的方程、点到直线的距离公式、两点间的距离公式使问题得解.

解法8：

建立适当的平面直角坐标系，便可将三角形问题转化为直线的斜率问题，根据三点共线，其中任意两点的斜率相等，利用直线的斜率公式建立关系，即可求得 AD ，进而求得问题的答案.

由此可见，解答三角形问题，可从正余弦定理、平面几何知识、向量运算、解析几何知识四个角度出发，寻找不同的解题思路.因此在解答三角形问题时，同学们要注意将问题与解三角形、平面几何、平面向量、解析几何知识关联起来，运用发散性思维来拓宽解题的思路，提升解题的效率.