信息技术与“数与代数”内容整合的案例分析

周晓辉

【摘 要】  信息化背景下，各国都强调利用信息技术促进学生数与代数的学习.从国际视角出发，以新加坡数学教材为载体，简要分析该国初中数学“数与代数”领域信息技术的使用情况，以期对我国数学教学有所启示.

【关键词】  案例分析;数学教材;信息技术

1  前言

“数与代数”在初中阶段数学学习的重要性不言而喻，它是研究现实世界事物的数量关系及其變化规律的数学模型[1].信息化背景下，各国都强调利用信息技术促进学生数与代数的学习，已有学者对中国在内的14国小学初中课标中信息技术运用的国际比较发现，与图形与几何、统计与概率相比，数与代数提及率最高[2].我国《义务教育数学课程标准》中信息技术使用的提及率虽然高，但呈现“两头多中间少”的局势[3].具体内容标准，仅有几处提到计算器的使用，教科书中信息技术的使用也较泛化，指导性不强.因此，从国际视角出发，分析他国数学课程中信息技术的使用情况，对我国的课程发展有着重要的借鉴意义.

新加坡与中国同受儒家文化的影响，两国都注重学生基础知识的培养，新加坡又借鉴了西方数学理念，形成了既具东方特色又有西方意味的数学教育体系.同时，该国在国际重大测评（TIMSS，PISA）中成绩优异而备受关注.其教育信息化进程较我国早很多，早在1996年就制定了第一个教育信息化总体规划，重点推进信息技术在教育教学中的使用[4].按照新加坡2013年数学教与学大纲编写，由Shing Lee出版社于2013—2016年出版的数学教材《New Syllabus Mathematics Normal（Academic）》[5]（以下简称NSMN版）在新加坡应用广泛.本文以该版教材为载体，简要分析新加坡数学课程中信息技术与“数与代数”内容整合的情况，以期为我国数学教育中应用信息技术提供启示.

2  案例解析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段数与代数课程内容分为数与式、方程与不等式、函数三部分，新加坡数学课程内容安排与其基本相当.具体到NSMN版教科书中信息技术运用，数与式部分包括科学计算器与代数圆盘，科学计算器使用与我国无显著差异，只是内容更为详细;方程与不等式部分以代数工具居首位;函数部分主要用于函数性质的探索.下面从借助信息技术的新课导入、探索函数性质以及多元表征代数知识等三方面入手，加以分析.

2.1 借助信息技术的新课导入

新课导入是数学课堂最基本的环节之一，对学生后续学习有很大影响.利用信息技术的新课导入不仅能激发学生兴趣，使学生更好地理解、掌握所学内容，还能开拓教师思维.案例1为二次函数的新课导入.

案例1  二次函数的新课导入.

如图1所示，模板中点 P 的横坐标 x 表示正方形的边长，纵坐标 y 表示正方形的面积 A .因此，点P的轨迹将描绘出 A=x2 （x>0）的图象.

点击“Set  x=0 ”，“Set  x=1 ”等按钮，得到 A=x2 的函数图象.回答下列问题.

Step1.对于每一个 x 的值，有多少个与之对应的 A 值. A是x 函数吗？

Step2.观察函数图象你注意到了什么？它是线性的还是非线性的？解释你的答案.

这里二次函数的导入利用正方形面积与其边长的关系为背景.坐标系中 P 点的横坐标 x 表示正方形的边长，纵坐标 y 表示正方形的面积 A .因此 P 的轨迹将绘制出 A=x2 的部分图象.

学生点击模板中“设置 x=0 ”“设置 x=1 ”等按钮，点 P 执行相应动作.完成操作后，步骤1提问：对于每一个 x 的值，有多少个与之对应的 A 值.由于正方形面积与其边长的关系是唯一对应的，学生容易得到答案.进而提问： A是x 的函数吗？学生回顾函数的概念并结合正方形边长与面积的一一对应关系，能够做出回答.步骤2中引导学生发现，模板中的函数图象与之前学习过的线性图象不同，它随着 x 变化呈“曲线状”，是非线性的.

整个探索以学生的已有知识（正方形面积与边长的关系）为背景，抽象出最简单的二次函数 A=x2 .由此入手，比现实情境例子或其它较为复杂的背景，更直观，且容易让学生接受.探究时，学生点击模板按钮，形成 A=x2 图象.同时图象下方呈现出对应边长的正方形，上方是边长与面积的坐标形成的轨迹，下方是正方形，再一次帮助学生理解 A=x2 表达的意思.这是“静态”课堂做不到的：点在变化，正方形（面积）跟着变化.

传统二次函数的新课导入大多从现实生活实例出发，或是从较为复杂的背景入手，试图由多个例子呈现，抽象出二次函数的概念.上述探究提供了新的思路：一方面让学生体会了二次函数的一一对应关系，知道要学的内容是函数，思想上有了准备.其次，通过几何软件呈现的图象，发现这类函数与之前学过的不同，属于非线性的.这就打破了原来的“大量例子→函数表达式→概念抽象”课堂安排，转为借助信息技术，采用“简单例子→函数图象（IT）→问题引领→教师总结”.

2.2 借助信息技术探索函数性质

函数作为数与代数的重要组成部分，是初中阶段的重点、难点，又是学好函数的基础，因此借鉴国外的优良经验有着重要意义.与我国课堂不同，新加坡数学课程讲授函数性质时，大多利用信息技术进行探索教学.以下案例分别利用信息技术对一次、二次函数的性质探索.

一次函数是初中阶段较早学习的函数内容.函数 y=mx+c 中 m 和 c 如何影响函数图象？NSMN版通过Excel软件，设置模板，让学生自主探究.模板如图2所示.     图2 直线方程的探索

案例2  一次函数性质的探索.

本次探究中，将探索当 m 或 c 变化时，形为 y=mx+c 的直线图象如何变化.

Step1：点击滚动条，从-3到3变化 c 的值，每次改变1个单位，直线会有什么变化？陈述直线与 y 轴相交交点的坐标.

Step2：从0到5变化 m 的值，每次改变1个单位.直线会有什么变化？

Step3：从0到-5变化 m 的值，每次改变1个单位.直线会有什么变化？

Step4： m 的值為正与 m 的值为负的直线有什么不同？

探究中首先分析 c 的变化对图象的影响.学生点击滚动条，变化 c 的值，每点击一次，学生会发现直线位置发生了平移（或上或下），但直线的形状没有改变.继而由步骤1的问题启发，发现 x 等于0时 y 为 c ，即直线与 y 轴相交，交点的坐标为（0， c ）.进而归纳出 c 的变化并不影响直线的形状，而是影响直线与 y 轴交点的纵坐标.

步骤1的探索通过学生操作滚动条，发现 c 的变化对函数图象的影响过程中学生知识的获得建立在自主实验、观察、思考的基础上.倘若由老师直接讲， c 是自变量为0时的函数值，所以 c 只影响直线与 y 轴的交点.这样的讲授学生似乎听懂了，却只是停留在表面.部分老师会在黑板上画图，利用数形结合让学生自主归纳.但通过描点、连线（这里面对的是初学者）的手工作图费时费力，最重要的是探究过程的思维连贯性被阻碍了.而信息技术能有效弥补这一不足，把更多的时间留给探究.

步骤2从0到5变化 m 的值，学生会发现随着 m 的增大，直线会越来越“陡”，且 y 随 x 增大而增大.而从0到-5变化 m 的值，直线也会越来越“陡”，但直线的趋势与先前呈相反状态： y 随 x 增大而减小.步骤3中提出了类似问题.回顾整个过程，学生从听老师讲、看老师做，转向了自主探索.通过在模板上操作，有效调动学生的积极性，改变学生解决数学问题的方式与态度.下一案例与此类似.

案例3  二次函数性质的探索

第一部分： a 值的影响.这部分探究将 b 、 c 的值调整为0.

Step1.增大 a 的值，观察图象的开关有哪些变化？

Step2.减小 a 的值，但仍为正.图象的形状你注意到了什么？

Step3.减小 a 的值，直到变为负.图象的形状你注意到了什么？

Step4. a 的值如何影响函数图象的形状？当 a 为正值和 a 为负值时，会有哪些变化？

案例3探索由4部分组成（仅列举第一部分），分别讨论 a ， b ， c 三个参数对二次函数图象的影响，具体模板如图3.第一部分，先将 b ， c 调为0，函数表达式 y=ax2 .这时增大 a 的值（只需单击并向右拖拉“adjust  a ”），学生会发现图象随着 a 的变化而改变，且 a 越大（初始状态 a>0 ），抛物线开口越小.向相反方向拖动“adjust  a ”，图象呈相反趋势： a 越小，抛物线开口越大.但当 a 的值变为负数时，图象开口突然向下，此时学生“眼前一亮”，一直在 x 轴上方的函数图象怎么到 x 轴下方了？究其原因，原来是 a 的值由正变为负了.经过这样探索，学生对 a=0 这个临界点肯定记忆深刻.步骤4对第一部分探究归纳小结.第二、三部分则探究 b ， c 值变化对图象位置的影响.     图3 二次函数图象探究

值得一提的是，探究结束后，呈现了由一系列二次函数组成的表格，要求学生调整 a ， b ， c 为指定值，填写表格.目的是巩固新知.如表1所示（本表只列举一个函数为代表）.

综合上述探究，我们发现信息技术有如下优势：（1）强大的动态性.变化参数值时，只需拖动“adjust  a ， b ， c ”各参数大小自动发生变化，且函数图象同时跟着改变.这在传统课堂上很难见到，动态几何软件为此提供了技术支持.（2）资源无限制性.教材中探索所要用到的模板，教科书的网上资源库几乎都能下载.这就避免了只有在学校、在课堂才能探索数学的狭隘观点，学生在家也能利用这部分资源.（3）操作的便捷性.由于模板是教科书出版商提前设计好的，师生只需联网下载使用即可，这为课堂带来很大便捷.许多教师不愿使用信息技术部分原因是缺乏技术知识（Technological Knowledge），而配套资源库解决了这一难题.便捷性还体现在探究过程中，学生只需拖动模板即可，操作十分简单，重心完全落在“探究”上，防止了技术带来的负面影响.

2.3 借助信息技术多元表征代数知识

新加坡教科书中的代数圆盘（algebra discs）应用在我国初中数学暂不多见，基本思想是运用直观的图示分解元素法进行运算[6]，即运用 x ， -x ，1，-1等基本元素表示代数表达式.如案例4所示.

案例4  利用代数圆盘化简表达式

由图4可知，使用代数圆盘实现了代数运算的多元表征.初看似乎略显繁琐，细想这样的方式刚好符合初中生的心理认知.从语言表征、符号表征、图表表征等多方面着手，有利于学生代数知识的掌握.三者互相联系、相互促进，若学生对代数知识有所遗忘，代数圆盘能有效帮助学生回忆起相应知识.为了防止画图产生厌恶感，教材还提供了在线代数应用软件，学生可在网上操作.当然这部分内容不是必须的而是有选择性的.教材中常以“使用代数圆盘化简下列表达式，或者访问http：//www.shinglee.com.sg/StudentResources/，进入AlgeToolsTM软件进行化简”表述.不但如此，新加坡数学教与学大纲2013的学习经验（Learning Experiences）部分也多次强调：“使用代数圆盘或代数工具中的代数圆盘应用……”[7]可见新加坡初中数学代数领域十分注重代数圆盘直观化，注重直观化、注重信息技术与代数运算相结合，促进学生代数知识的掌握.

3  若干启示

3.1 利用技术导入新课，激发学生学习兴趣

基于信息技术的新课导入能激发学生兴趣，调动学生的主动性，这一优点不言而喻.此外，这样的导入依赖于学生已有的数学知识，由学生主动探索而来，以旧引新，联系紧密且迁移性强.与西方强调的直接经验不同的是，教师建立好“脚手架”，学生获取基于问题串形式的间接经验.借助信息技术的新课导入能开拓教师思维，打破传统的教学模式，实现学生学习方式的根本转变，帮助学生从“听数学”转变为“做数学”[8].

3.2 利用技术设计探究活动，引发学生自主学习

利用技术设计适宜的数学探究活动，能引导学生独立思考、主动探究、合作交流，使学生体会数学思想，理解、掌握基础知识.信息技术为此提供了良好的平台.如函数性质探究中学生经历了：实践操作（IT）—变化图象—性质归纳.过程中用到了重要的数学思想——数形结合.函数性质学习的基本思路是从特殊到一般，通过研究几个特殊函数，然后概括出一般的函数图象和性质，但传统方式“特殊”的例子太少，概括“一般”的过程太快[9].利用信息技术的动态性能有效弥补这一缺陷.同时，探究活动有利于调动学生的主动性和积极性，让学生真正感受到自己是学习的主人，变“要我学”为“我要学”[10].

3.3 利用技术多元表征，强化代数学习

多元表征的代数学习指从多个角度入手学习代数知识，包括语言表征、符号表征、图表表征等形式.表征与表征之间相互促进，学生可以灵活地借用外在表征，找到内在表征，进而运用内在表征进行代数运算[11].当表征过于繁杂的代数式时，就需要借助信息技术，这在新加坡数学课程中很常见.除了代数圆盘外，新加坡数学教与学大纲2013强调的虚拟天平、代数条应用等都是为了多元表征.

总之，信息技术与数学课程的整合乃至深度融合是新课改的重要理念.通过对新加坡教科书中信息技术的使用分析，反思我国初中数学课程与信息技术整合存在的优点和不足，期望为数学课堂教学提供借鉴.

参考文献

[1] 曹一鸣，严虹.中学数学课程标准与教材研究[M].北京：高等教育出版社，2017：45.

[2] [3]郭衎，曹一鸣.数学课程中信息技术运用的国际比较研究——基于中国等十四国小学初中数学课程标准的研究[J].电化教育研究，2012（07）：108-113.

[4] 卢伟玲.中新高中数学教科书中技术运用的比较研究[J].中学数学月刊，2012（11）：45-48.

[5] JosephYeo， Teb Keng Seng，Loh Cheng Yee， etal. New Syllabus Mathematics Normal（Academic）[M].Singapore：Shinglee，2013.

[6] [11]唐怡歆，唐恒鈞.中、新初中数学教材中“整式”的比较[J].中学数学，2018（06）：25-28.

[7] Ministry of Education SINGAPORE. MIATHEMATICS SYLLABUS[EB/OL]. https：//www.moe.gov.sg/education/syllabuses/sciences/.2019-8-8.

[8] 朱国权，王辉.高中数学教学中应用信息技术的分析与建议[J].数学教育学报，2008，17（06）：96-98.

[9] 王鹏远.信息技术在数学教学中的有效性——从人教版高中新教材的一个案例谈起[J].信息技术教育，2008（01）：48-51.

[10] 张景中，彭翕成.深入数学学科的信息技术[J].数学教育学报，2009，18（05）：1-7.