巧用三角函数求最值

【摘要】本文针对求函数的最值，给出了利用三角函数变换求解的两种方法，并给出教学建议.

【关键词】函数最值;三角函数变换;化归思想;数形结合思想

高中数学中，求函数最值的方法有好多种，常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、求导数法等等. 求导数的方法适用范围广，在学习了导数以后，不少同学喜欢用导数的方法求最值，但是有不少函数，其导数的表达式较为复杂，不适宜用求导法.对有些函数，通过分析函数的定义域与函数图象的形状等特征，可以选取合适的三角函数变换，把求函数的最值问题归结为求三角函数的最值问题.关于三角函数及函数求最值的一些方法，可参见文献[1，2，3]. 本文给出了利用三角函数变换求解函数最值的两种方法.

1利用三角函数变换和三角函数图象求解

函数都带有某些特征，通过分析函数的定义域与函数图象的形状，可以选取合适的三角函数变换，利用化归思想把求函数的极值问题归结为求三角函数的极值问题.

2利用三角函数变换和单位圆求解

如果所给的函数具有某种三角函数形式，或者通过合适的变换可以化成这些形式，则可以结合一定的几何意义如单位圆、直线与直线斜率等，给求最值带来很大的方便.

2.1利用三角函数变换和单位圆求解

2.2拓展

3教学建议

3.1充分认识数学思想方法的重要性，认真落实到实际教学中

本文用到了化归思想，将一个数学问题转化为另一个新问题，从而方便求解;也用到了数形结合思想，充分利用图形的性质极大地方便了题目求解，也减少了计算量.数学思想方法是数学的灵魂，是学生将知识转化为能力的重要媒介.数学思想方法的教学能本质地整体提高学生的思维质量和核心素养，数学思想方法在教学中起着至关重要的作用.教会学生掌握数学思想方法是对教师的重要要求，作为教师，应该自觉提升自己对数学思想方法重要性的认识，在教学时，教师应该结合例子把数学思想方法充分解析，讲实、讲细、讲透，使学生认识到数学思想方法的重要性，并学会、掌握和灵活运用，从而提升学生的数学素养.

3.2重视培养学生数学思维，提升学生分析问题解决问题能力

培养学生数学核心素养是教育的重要要求，培养学生分析问题解决问题的能力更是教育的重要培养目标，学生分析问题解决问题能力也是学生素养的综合体现，因此教师实际教学中，要重视分析问题解决问题能力的培养.分析问题，就是审题，就是分析数学试题各项信息、各种特征、各种关系，并把一些隐含的信息、特征和关系等找出来;解决问题就是综合利用数学思想方法、已有知识、自身素养能力等去找出问题答案.比如有些函数问题用最容易想到的方法即求导法过程复杂，计算量大，然而，通过分析试题特征，巧妙利用三角函数变换把问题转化为容易解决的新的问题，解题更容易，计算量也大大减少.教師教学中应该教会学生如何分析这类数学题目特征，掌握解决这类问题的思路、方法，把握解决这类问题的规律，触类旁通，从而，培养和提升学生分析问题解决问题的能力.

参考文献

[1]朱岩，傅荣强. 高中数学三角函数[M]，2006，7.

[2]章晓红. 关于高中数学中最值问题的几点思考[J]，2017（20）.

[3]汤本思. 浅析高中数学函数最值问题求解方法[J]，中学生数理化，2017（08）.

作者简介王翠丽（1975—），女，山东潍坊人，南京市第二十七中学教师，副高级职称. 曾获得南京市教学先进个人，南京市教育先进个人，南京市先进班集体等荣誉称号.