数学核心素养下高中“数形结合”的教学思考

陶闺秀

摘 要：随着新课改的不断推进，教学改革的重点已经逐渐聚焦于如何将核心素养落实到具体的课堂教学上。因此如何在教学中发展数学核心素养就成了教育者所关注的重要话题。“数形结合”是高中数学重要的思想方法之一，实际上蕴含于多个知识载体中，尤其在函数的基本性质教学中体现的尤为明显。“如果在数学教学中能发挥好‘数形结合，不但能激发学生的学习兴趣使复杂问题简单化，抽象问题具体化，降低教师的教学压力又促进了学生的数学学习[1]。”本文基于数学核心素养以函数的基本性质教学为例从三个方面谈一谈对“数形结合”教学的思考。

关键词：数学核心素养 数形结合 函数的基本性质

1 问题的提出

数学是高中学习的重要学科，具有知识量大、抽象性强等特点。学生在学习过程中经常会出现“听不懂”、“不会做”等现象，学生学习压力增大，甚至丧失了对数学学习的兴趣，成绩一落千丈，面对这些问题该如何去解决呢？《普通高中数学课程标准（2017 年版）》在基本理念中指出“数学教学要凸显数学的内在逻辑和思想方法，要处理好数学核心素养与知识技能之间的关系[2]”，作为新时代的教师不仅要教给学生必需的基本知识，更重要的是教会学生学会思考，掌握方法，引导学生在探究知识的过程中去了解、去体会数学当中所蕴含一些重要的思想方法，并能准确灵活的运用数学思想方法去解决一些具体的问题，进而凸显数学的内在逻辑达到数学学习的本质要求。

函数是高中数学学习的主线之一，而函数的基本性质是函数学习的第一阶段是数学核心素养下“数形结合”思想教学的典型素材。在探究函数基本性质时，按照图像特征——数量刻画——符号语言的研究思路，通过观察具体函数图象，让原本比较复杂且抽象数学知识以直观、生动的形式表现出来，增强学生的兴趣，发展直观想象素养;经历从具体的直观描述到形式的符号表达的过程，发展数学抽象素养;经历函数的基本性质的探究过程，发展逻辑推理素养;通过应用函数的性质，发展数学建模、数学运算素养[3]。因此本文基于数学核心素养以函数的基本性质的教学为例对高中“数形结合”的教学进行深入思考，力求可以给数学核心素养下高中“数形结合”思想的教学带来启发。

2 数学核心素养下高中“数形结合”的教学思考

新课改在“四基”、“四能”、“三会”和一个“科学精神”的课程目标下，正式提出了六大数学核心素养[2]。“四基”作为发展数学核心素养的有效载体，而“数形结合”作为高中重要的数学思想方法又是“抽象”基本思想在操作层面上的具体体现。因此如何让“数形结合”有效地应用在数学教学过程中得以培养学生的数学核心素养？就成了重点要去思考的内容。下面笔者将以人教版高中数学必修一第一章第三节的“函数基本性质”教学为例，分别从以下教学的三个主要环节来谈一谈对基于数学核心素养视角下高中“数形结合”教学的思考。

2.1 “数形结合”的教学引入

一堂好的数学课都离不开一个“有意思”的引入，引入作为教学的重要环节起着不容小觑的作用。如果在课堂教学中能够使思想方法的引入充满自然与生动，不但能激发学生的学习兴趣而且还能使学生加深对知识的理解程度，进而有利于后续教学的顺利开展。

例如，在进行函数单调性的教学时，为了让学生更直观地理解函数的单调性，教材从学生比较熟悉的一次函数f（x）=（x）与二次函数f（x）=x2入手，通过呈现具体的函数图象并结合问题驱动：“请观察函数图象你能说说它们分别反映了函数的哪些变化趋势[4]？”此时教师可以利用课件的动画播放功能，让学生更加清晰的发现：“函数f（x）=（x）的图象从左至右是上升的;函数f（x）=x2的图象在y轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的[4]”，进而引出课题——单调性。因为呈现的函数是学生在初中已经学习过的函数，学生立马会想到所对应的函数图象，接着让学生通过观察函数图象感知函数图象的变化规律，这一环节的设计使得“数形结合”的引入更加自然且恰到好处，教师还可对“数形结合”进行深层次的说明，并强调“数形结合”在函数这一部分应用的重要性进而为后面学习函数的其它性质奠定基础。

2.2 “数形结合”的教学开展

当“数形结合”引入到函数的基本性质教学后，不仅引起了学生的注意还使得学生对“数形结合”在函数基本的性质中的应用有了基本的感知，接下来就应该去思考如何在函数的基本性质的教学中使得“数形结合”得以顺利的开展？众所周知，教师的教与学生的学都离不开教材，而教材是依据课程标准编制的，是系统反映学科内容的教学用书，具有一定的权威性。要想顺利开展“数形结合”的教学，教师有必要从教材入手，挖掘典型案例，在充分了解学情的基础上，引导学生发现问题、提出问题、解决问题。

例如在进行偶函数的教学时，教材在开头部分就给出了函数f（x）=x2与f（x）=|x|的图象及相应的两个函数值对应表让学生通过观察图象及表格去找存在的数量上的关系。

在这一过程中，因为表格上所呈现的是特殊点，所以学生就会得到在函数f（x）=x2中，f（-3）=9=f（3），f（-2）=4=f（2），f（-1）=1=f（1）。在函数f（x）=|x|中f（-3）=3=f（3），f（-2）=2=f（2），f（-1）=1=f（1）。进而得到结论：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等[4]。此时教师可加以问题驱动，使学生提出疑问：“表格中列出的点具有上述性质，那表格中没有出现的点是否也具有同样的性质呢？”此時教师可以很自然地以二次函数f（x）=x2为例利用信息技术创设这样的教学情境：利用几何画板做出函数f（x）=x2的函数图象，在函数图象上任取一点A，并作出点A关于y轴对称的那个点，分别测出两点的坐标A'，最后将点A设为动点，生成动画，如图1所示：

展示完动画，提问同学通过动画发现了什么？同学总结得到：随着点A的变化，总有f（-x）=f（x）。这一环节的设计，抓住了“数形结合”教学的典型素材，让学生从数与形两个方面出发进一步了解偶函数，在这个过程中学生也会很自然产生联想到对于任意的x∈R，f（-x）=f（x）是否成立。这样的操作正是因为找准了教学时机并结合了信息技术，使静态的图象以动态的形式呈现在学生眼前，让偶函数概念的给出变得“有理有据”，更加有利于学生理解，发展了学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养。5750642A-D46E-46A1-B5DD-4250FC84761C

2.3 “数形结合”的教学深化

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学教育要能帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法[2]”。由此可见新课改对新时代的教师教学提出更高的要求，数学教学的最终目的从来都不是为了让学生会背哪个概念会做哪道题，而是在经历具体的探究过程之后掌握数学知识，具备解决问题的技能、思想与方法。因此为落实新课改对教学新的要求，让学生学会学习，这必然需要教师在教学中对“数形结合”教学进行深化，而不是仅仅只是停留在思想的引入与开展上。表现在具体教学上就是：在遇到问题时教师不应该只是简单的教给学生具体的做题步骤而是要在具体的题目中分析所蕴含的数学思想方法，提供给学生严谨的解题思路，而这一过程离不开教师耐心的引导，学生及时的自我总结与反思。

例如在进行函数单调性的教学时，为了让学生更好地掌握数与形之间的转化，教师经常会给学生列举一些类似于这样的典型例题：“画出y=x2-5x-6函数图象，请根据函数图象判断它的单调性，并加以证明[4]”。在引导学生进行这部分练习时，教师一定要注意先不要急于让学生说出问题的答案，而是要留给学生足够的思考空间，让学生自己主动思考，大胆尝试，最后进行自我的总结与反思。这一环节的设计使学生经历由函数图象得到函数的变化规律，再由函数反馈到具体的函数图象即用代数的方法来证明函数图象的变化，在具体的练习操作过程中不仅巩固了具体的数学知识而且对于“数形结合”的应用更加熟练。

3 小结

“数形结合”有着丰富的思维意蕴和教学价值，数形关联、数形互化、数形交融，有助于打破数形分离的静态模式，将数学核心素养培育的抽象目标转化为具体目标，有助于数学知识的再生长，有助于学生更好地培养抽象思维和形象思维，拓宽问题解决的视域，优化思维方式[6]。函数的基本性质的这节课主要分为函数的单调性与最大（小）值、奇偶性两部分内容，在教学过程中，重点就是要让学生经历所涉及概念的形成过程，同时学生在学习完本节课时能够准确的判断出一些具体函数的单调性、奇偶性并且能利用函数的单调性去求一些函数的做大值最小值[2]。因此在进行这部分教学时教师要明确函数图象是探究函数的基本性质的直观依据，要引导学生通过观察函数图象获得对函数的基本性质的直观认识，为了更好地落实核心素养下高中“数形结合”的教学，将高中“数形结合”的教学的思考总结如下：

3.1 增强学习意识，深入理解“数形结合”

常言道：“要给学生一杯水，老师要有一桶水”，教师要基于数学核心素养进行“数形结合”的教学首先自身要对“数形结合”的发展历史、内涵、分类、应用等多个方面进行认识，增强自身的学习意识，只有自身对“数形结合”有了深刻的认识，才能在教学中为学生提供准确且全面的讲解。

3.2 体会教材设计意图，挖掘典型案例

任何知识的教与学都离不开以教材，教师只有在足够了解教材内容、准确领悟教材中每部分设计意图的基础上，才能在“数形结合”的教学中谈发展学生的数学核心素养。例如在函数的基本性质的教学中，教材中无论在导入、思考、探究栏目还是在例题讲解中都蕴含了“数形结合”思想方法。例如：在教材第28页“思考栏目”中如何利用函数解析式f（x）=x2描述“随着x的增大，相应的随着f（x）减少”“随着的增大，相应的f（x）也随着增大”[2]？这一部分实际上蕴含着进行“数形结合”教学的素材，教师要抓住这一素材引导学生借助“图形”得到函数单调性也就是“数”认识，进而发展学生的数学抽象、逻辑推理素养。

3.3 基于课标，保证“数形结合”教学的高效性

新课程标准是教师教学改革的依据，是规范教师教学行为的依据，因此教师在教学前要结合新课程标准的宗旨、要求、内容，完善教案设计，对自己的教学内容、教学目标、教学任务、教学反馈、教学评价进行综合设计，提高教案的可执行度，确保课堂教学可以顺利进行[5]。“数形结合”的教学要以课程标准为依据，抓住教学的重难点，结合实际情况设置科学合理的教学目标，并对一节课中哪一环节需要引入“数形结合”、哪一环节需要对“数形结合”进行深入展开都要有明确的计划，做到保证教学高效性，免于流于形式、浪费教学时间。

3.4 抓住契机，增强“数形结合”引入的自然性

一个好的教学引入应具有自然性，自然的引入“数形结合”教学可以让教学更加顺畅避免突兀，进而增加学习数学信心激发学生学习兴趣。

例如：在探究函数的单调性及最大（小）值、奇偶性的概念的过程中都是通过观察具体的函数图象获得对函数基本性质的直观认识，让学生通过观察函数图象，描述函数图象的特征，结合图、表用自然语言描述函数图象的特征，最后用数学符号的语言定义函数性质，在这个过程中教师要特别重视从几个实例的共同特征抽象到一般性质的概括过程，进而自然引入“数形结合”的教学，使学生对“数形结合”在函数基本性质的应用有深刻的了解。

3.5 创设情境，增强“数形结合”开展的趣味性

“数形结合”的教学并不是连贯的、一蹴而就的，它具有极强的分散性，教师如果只是对“数形结合”的教学停留在简单的复述定义上就失去了数学思想方法教学的意义，因此在开展“数形结合”的教学时，教师可创设教学情境，充分发挥信息技术的作用，借助信息技术开展数学教学能够让学生更好地体会由静转动态变化过程，增强数学课堂学习的趣味性及立体感，进而发展学生的数学核心素养。

3.5 学会学习，深化“数形结合”教学

迫于高考的压力有部分学校为赶教学进度，三年的高中知识被浓缩至两年学完，这对于部分学生来说学习压力巨大，学生因此也丧失了学习信心。作为教师不仅在教会学生知识同时也要使学生学会思考、学会学习。“数形结合”的深化教学实际上就是能熟练掌握并灵活运用“数形结合”。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对如何促进学习学会学习，自觉地发展数学核心素养，从教学教学活动重心的转移、教学方法的选择、学法的指导三个方面提出了建议，其中学会学习的表现指标有乐学善学、勤于反思、信息意识[2]。在“数形结合”的教学中教师要保证让学生在了解“数形结合”的基础上，准确把握题目信息且能熟练运用“数形结合”解决实际问题，并在练习过后能主动就行总结并反思，这样在遇到同类型的问题时就不再畏惧。

3.6 注重过程，发展数学核心素养

数学核心素养是数学综合能力、数学情感态度的集中体现，既是具体的，也是潜在的，包括数学思考、推理、论证、建模、交流、问题解决等关键能力，根据数学核心素养的关键特征，可将数学核心素养归纳为一种数学意识、理性思维、数学思考、数学思想等[6]。“数形结合”作为蕴含于数学学科中重要的数学思想方法之一，是发展学生核心素养的关键要素，因此在数学教学中要合理把握“数形结合”的引入，开展与深化，在保证教学完整性的基礎上，注重知识的探究过程，处理好教学中的细节问题使得抽象难以理解的数学知识融合数学思想方法，使学生对知识认知从模糊逐渐转为清晰准确，最终达到发展数学核心素养的最终目的。

参考文献：

[1] 刘宗明.数形结合思想在高中数学教学中的实践探究[J].数学学习与研究，2019，（15）：31.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017 年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3] 江庆河.数形结合思想管窥[J].福建中学数学，2008（10）：31-33.

[4] 人民教育出版社，课程教材研究所编著.数学 必修1 A版[M].北京：人民教育出版社.2010.

[5] 石莉君.关于新课标背景下高中数学课堂教学有效性的思考[J].考试周刊，2021（29）：69-70.

[6] 姬梁飞.数形结合视角下数学核心素养的生成与建构[J].湖州师范学院学报，2020，42（08）：99-104.5750642A-D46E-46A1-B5DD-4250FC84761C