P-范分布尺度参数的Lq-似然比检验

任 欢，胡宏昌

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

本文研究P-范分布尺度参数检验问题，其密度函数为

(1)

其中Γ(·)为伽马函数，λ=(Γ(3/p)/Γ(1/p))1/2，σ(σ>0)为尺度参数，μ为位置参数，p(p>0)为形状参数(定义参见文献[1～2])。

似然比检验方法是一种应用很广泛的检验方法，得到的深入结果很多，如：Chen和Liang[3]研究了带边界问题的伪似然比检验统计量的渐近形态，Schott[4]讨论了多元线性回归包络模型的似然比检验，Giudici等[5]研究了隐马尔可夫模型的似然比检验。Lq-似然比检验法是在似然比检验法基础上推广来的，近些年引起了越来越多的统计学家的关注，如：Huang等[6]用Lq-似然比方法对广义极值分布的形状参数进行了检验；Qin和Priebe[7]针对一般的污染分布提出了具有稳健性的Lq-似然比检验，得到了Lq-似然比检验统计量的渐近分布。然而，目前为止(据笔者所知)未出现用Lq-似然比检验方法对P-范分布参数进行检验。本文利用Lq-似然比检验法对P-范分布进行检验，并探讨统计量分布特点。

1 Lq-似然比检验

本节考虑P-范分布尺度参数假设检验问题。这里假定μ已知，不失一般性假定μ=0.设X=(X1,…,Xn)为取自总体P-范分布的一个样本，x=(x1,…,xn)是观测值序列(其中σp∈Θ⊂R是已知参数集合)。下面讨论假设检验问题：

H0∶σp∈Θ0↔H1∶σp∈Θ1

其中Θ0和Θ1分别为原假设和备择假设的参数空间。

P-范分布的Lq-似然函数为

(2)

则其Lq-似然比检验统计量为

(3)

其中C(σp,qn)为偏差纠正项，值为

(4)

2 主要结果

为得到本文主要结果，我们给出以下三个基本假设条件：

1){xt，t≥1}有界。

2)qn>0且当n→∞时，qn→1.

3)参数空间Θ是紧集且θ是Θ的一个内点。

(5)

(6)

定理3 统计量Dqn(X)的分布密度函数为

(7)

其中

3 主要结果的证明

为证明本文主要结果，我们先给出引理1.

引理1[8]设Ψn是随机向量值函数，Ψ是θ的向量值函数，使得∀ε>0有

定理1的证明：由(2)式对σp求导得

(8)

(9)

(10)

注意到

(11)

注意到

=T1(1)·T1(2)

(12)

(13)

所以

(14)

则

(15)

即

(16)

又因为

(17)

则

(18)

即

(19)

由(16)式和(19)式可知，命题成立。

使得

(20)

则

(21)

因为

(22)

则

(23)

注意到

(24)

(25)

(26)

(27)

定理3的证明：设

(28)

其中

4 模拟算例

本节将选取p为定值进行P-范分布的Lq-似然比检验，这里我们假设μ=0，α=0.05.令p=3，μ=0，σ=2，随机产生容量为100的样本。

1)检验：H0∶σ=2 ↔H1∶σ≠2.

由生成的样本以及公式5)，我们可以得到统计量Dq(X)的值为

=-0.3886

由统计量的密度函数，我们可以得到

解得：q1=-1.0134，q2=0.8547

因为q1

2)检验：H0∶σ=3 ↔H1∶σ≠3.

同理可以得到统计量Dq(X)的值为

=20.8309

以及

解得：q1=-6.3578，q2=5.3708

因为Dq(X)>q2，所以拒绝H0.

通过上面的例子可以看出，检验结果均与模拟数据相符，从而也说明理论结果的可靠性。