二级直线倒立摆的稳定控制＊

左瑞

（宿豫中等专业学校，江苏 宿迁223800）

在控制领域中倒立摆具有多变量、非线性、强耦合等特性，这些典型特征使它成为了检验控制策略正确性与可行性的平台。对该类系统提出了诸多控制方法，所得成果在众领域有广泛的应用价值。本文对倒立摆展开研究也有现实意义。

1 二级直线倒立摆的数学建模

考虑到系统的多输入和多输出特性，采用受力分析建立系统模型十分复杂。本文采用拉格朗日方程，即从能量观点出发建立数学模型。二级直线倒立摆结构如图1所示。

图1 二级直线倒立摆结构示意图

系统各参数及数值如表1所示。

表1 系统参数

设摆杆1、摆杆2、质量块坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），则有：

由式（5）—（7）分别求得系统各环节的动能。系统总动能T=Tm+Tm1+Tm2+Tm3。

系统的总势能V=Vm1+Vm2+Vm3=m1gl1cosθ1+m2g（2l1cosθ1+l2cosθ2）+2m3gl1cosθ1。

拉格朗日函数为L=T-V。

2 性能分析

根据系统稳定判据可知，系统若要稳定，所有特征根均需具备负实部。本文借助MATLAB简化求根。编辑程序如下：

经过计算，特征值s1=-10.043 8，s2=-5.026 2，s3=10.04，s4=5.2，s5=0，s6=0。不难发现6个特征值中有2个正实根和2个零根，根据劳斯判据，系统不稳定。

根据状态能控性的秩判据可知，如果系统是状态完全能控的，则能控性矩阵Qk的秩需等于系统阶次6。借助MATLAB提供的矩阵秩计算函数可以求得Qk的秩，详细代码如下：

经计算，矩阵Qk秩为6，得知系统是完全状态能控的。

根据状态能观测性的秩判据可知，如果系统是状态完全能观测的，则能观测性判别矩阵Qc的秩需等于系统阶次6[2-3]。同样借助MATLAB提供的矩阵秩计算函数求Qc的秩，详细代码如下：

通过计算，可以得到Qc秩为6，得知系统完全能观测。

3 控制方案设计

根据前述分析，所研究的系统虽开环不稳定但状态能控能观。所以可通过状态反馈任意配置系统闭环极点，以使系统获得目标性能。本文控制目标：系统稳定，过渡过程短，调整时间大约2 s。按照对应于2%误差带的近似公式求取调整时间。当取阻尼比等于0.5，无阻尼自然振荡角频率等于4时，可求得主导极点为-2+1.5j、-2-1.5j。将另外4个闭环极点均配置为-15。按上述6个目标极点，借助MATLAB求反馈矩阵，代码如下：

并取整得：k=[124，231，-716，113，-9，-120]；在MATLAB里搭建系统虚拟模型，进行性能测试[4]。

虚拟模型如图2所示。稳定性能测试如图3所示。

图2 虚拟模型

图3 稳定性能测试

由图3可知，采用极点配置后，系统从非稳定状态[0，0.1，0.3，0，0，0]调整为稳定状态，调整时间约为2 s，符合设计目标。

为验证系统抗扰能力，在3 s加入持续时间为1 s的脉冲信号，脉冲干扰如图4所示，状态响应如图5所示。

图4 脉冲干扰

由图5可知，倒立摆在3 s突然受到脉冲干扰后出现振荡，干扰撤去后，大约调整2 s，系统重新恢复到平衡状态。验证了系统抗扰性能良好，满足设计目标。

图5 抗扰性能测试

4 结论

本文建立了二级直线倒立摆的数学模型，分析了系统性能，设计了状态反馈控制方案使系统稳定，满足了调整时间为2 s的控制目标。通过仿真验证了所设计的控制方案合理有效。