基于POD方法的广义KdV-RLW- Rosenau方程的数值解

张宝玖， 朴光日

(延边大学 理学院, 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文考虑具有如下初边值问题的单向水波传播的高阶方程：

(1)

近年来，许多学者研究了非线性偏微分方程的解析和数值问题，并且给出了相对应的模型[1-5].在此基础上,文献[6]分析了扰动(无黏性)Rosenau-KdV-RLW方程；文献[7]采用三阶隐式有限差分法求解了Rosenau-KdV-RLW方程,并对无黏性Rosenau-KdV方程和无黏性Rosenau-RLW方程进行了数值求解；文献[8]应用有限元法和局部结构保持技术对无黏性Rosennau-KdV-RLW方程进行了数值求解.基于上述研究,本文运用POD方法讨论了KdV-RLW-Rosenau方程的数值解问题,并估计了降维模型解与有限元解之间的误差,最后用数值实验验证了本文结果的正确性.

1 KdV-RLW-Rosenau方程的全离散格式

(2)

在本研究中假设u在时间t上是足够光滑的,C表示一个与阶数h和k无关的常数,且在不同的情况下C有不同的值.

Xh={v∈C1(Ω),v|Ji∈P2(Ji),i=1,…,I,v|∂Ω=0,v′|∂Ω=0}.

其中P2(Ji)为Ji上的多项式集合,且其次数小于等于2.由此可知该有限元空间满足文献[10]中的逼近理论.

引理1[9]当v∈H4(Ω)∩X, 并且χ∈Xh时,存在一个与h无关的常数C使得

定义式(2)的半离散Galerkin逼近为：函数uh:[0,T]→Xh, 使得

(3)

式(3)中uh0是u0的一个适当近似值.

(4)

式(4)中uh0∈Xh是u0的适当近似值.

2 POD基的构造

(5)

构造POD方法的目的就是通过求解标准正交基ψj(j=1,2,…,l)使元素Ui(1≤i≤L)与式(5)的d项和之间的均方误差在平均意义下最小,即通过求解标准正交基ψj(i=1,2,…,l)使得

(6)

满足

(ψi,ψj)X=δij, 1≤i≤d, 1≤j≤i.

(7)

令Xd=span{ψ1,ψ2,…,ψd}， 且定义Ritz投影Ph:X→Xh(如果Ph是被限制为从Xh到Xd的Ritz投影时，则将Ph记为Pd, 即Ph|Xh=Pd:Xh→Xd和Ph:XXh→XhXd), 则：

((PhU)xx,vh xx)=(Uxx,vh xx),∀vh∈Xh.

(8)

引理2对于每个d(1≤d≤l), 投影算子Pd有如下不等式成立：

(9)

(10)

(11)

证明由于文献[11]已经给出不等式(9)和(11)的证明过程，因此在此只证明不等式(10).已……