同余数的部分验证

张家俊，史展铭，王振华，张明达

（中国矿业大学（北京），北京）

一 引言

“勾三股四弦五”，这样的直角三角形的三边都是有理数，我们称它为“有理直角三角形”。同时，比较凑巧的是，这个“勾三股四弦五”的直角三角形的面积又恰好是一个整数，这样的有理直角三角形所对应的为整数的面积被称为同余数。

同余数问题在数学界被称为三大千年数论难题之一（另外两个是完全数问题与三次和三次以上丢番图方程有解问题）。古阿拉伯人是通过研究直角三角形的面积提出同余数问题的。对于直角三角形，人们已经知道，它的三边满足方程a2+b2=c2，这就是我们所说的的勾股定理（在国外又被称为毕达哥拉斯定理）。当直角三角形的三边 a, b, c均为有理数，若直角三角形的面积为正整数，这样的就是古阿拉伯人所欲求得的同余数。

二 预备知识与相关结论

（一） 勾股数

勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a2+b2=c2）

（二） 同余数

n 被称为同余数，如果它是三边边长都是有理数的直角三角形的面积[2]。即：如果存在三个正有理数 a, b, c, 满足a2+b2=c2,和面积此数n就称为同余数。

整同余数: 如果正整数n是同余数, 那么,n 称为整同余数。

设 n 是正有理数,且对n=s2r,这里s是正有理数,而r是无平方因子的正整数,那么n是同余数当且仅当r是同余数。

由此可见同余数的问题可转化为整同余数来处理。

整同余数重要结论：

定理： n 是整同余数的充要条件为存在正整数 a,b, v，使得：

nv2=|6a2b2−a4−b4| or 4ab(a2b2) 其中 ,a,b 是正整数 ,a ＞ b,(a,b)=1, a, b 一奇一偶。

本原同余数：

如果一个A 是不含平方因子的整同余数，则 A称为本原同余数。

（三） BSD猜想

BSD 猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想BirchandSwinnerton−Dyer，属于世界七大数学难题之一。它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系[2-3]。

由 BSD 猜想可以推出奇偶性猜想、西尔维斯特猜想等很多猜想。其中最著名的是与同余数问题的关系，从BSD猜想可以推出模 8余5,6,7的无平方因子的正整数一定可以成为某个有理边长直角三角形的面积。

把这个定理与椭圆曲线理论相联系，使人们对同余数问题的研究有了重大的进展，不过人们同时也发现，用这个定理去求解一个具体的同余数仍然非常地困难。例如，人们已知157是同余数，但在方程的最小解中，x的分母和分子都近100位。

注 1：阿贝尔簇是一个代数群,它同时又是完全代数簇。完全性的条件蕴涵着对阿贝尔簇的严格限制。因 而阿贝尔簇可以作为闭子簇嵌入射影空间；非奇异簇道阿贝尔簇道每个有理映射都是正则的， 阿贝尔簇上的 群律是可交换的。

注 2：环面（torus）是一个面包圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。在拓扑学上，环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面。

定义一：与S1×S2同胚的曲面称为环面，它是亏格为 1 的可定向闭曲面。通常，环面可以看作由一个长方体按照逆时针方向分别叠合左右两边和上下两边而得到的。

定义二：若一个线性代数群 G 同构于某个 D(n,k)，则称 G 是一个环面。连通的可对角化代数群一定是一个环面。

（四） 椭圆曲线

椭圆曲线是域上亏格为 1 的光滑射影曲线，它的(仿射) 方程，通常称为维尔斯特拉斯方程，可以 写 作：y2+ay=x3+ax2+bx+c或y2=x（x-1）（x-λ），λ=0,1复数域上的椭圆曲线为亏格为 1 的黎曼面[5,7]。

如果这个域的特征不等于2和3,则可以改写成y2=x3+ax+b

作为实曲面看，椭圆曲线是带有一个“洞”的环面。此环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为 1。

注 1：亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。亏格的定义为若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n。以实的闭曲面为例，亏格g 就是曲面上洞眼的个数。

注 2：环面（torus）是一个面包圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。在拓扑学上，环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面。

定义一：与S1×S2同胚的曲面称为环面，它是亏格为1的可定向闭曲面。通常环面可以看作由一个长方体按照逆时针方向分别叠合左右两边和上下两边而得到的。

定义二：若一个线性代数群G同构于某个D（n,k），则称G是一个环面。连通的可对角化代数群一定是一个环面。

即Q上的椭圆曲线E的有理点是有限生成Abel群：E(Q)=ZR⊕T，T是挠点全体，为有限Abel群，r称为E的秩。

Nagell-Lutz theorem：P=(x,y)E(Q),如 果是torsion point(即存在正整数n,使得nP=O,其全体记为E(Q)),则x和y都是整数,并且或者y=0或y2|△[7]。

Mordell-Weil theorem：对于具有二阶点的EC，有形如y2=x3+ax3+bx其中a,b为整数，则其上的有理点群为有限生成[8]。

siegel定理：Q上的椭圆曲线E的整点（坐标均为整数的点），或者更一般的坐标有一者为整数的点，只有有限个[9]。

（五） 无穷递减法

无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y，从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解[2]。

（六） 椭圆曲线的加密算法

椭圆加密算法（ECC）是一种公钥加密体制，最初由Koblitz和Miller两人于1985年提出，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成Abel加法群上椭圆离散对数的计算困难性。公钥密码体制根据其所依据的难题一般分为三类：大素数分解问题类、离散对数问题类、椭圆曲线类。有时也把椭圆曲线类归为离散对数类[5-6]。

在椭圆曲线加密（ECC）中，利用了某种特殊形式的椭圆曲线，即定义在有限域上的椭圆曲线。其方程如下：

y2=x3+ax+b(mod p)

这里p是素数，a和b为两个小于p的非负整数，它们满足：(1)4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b∈Fp，则满足式（2）的点（x,y）和一个无穷点O就组成了椭圆曲线E。

椭圆曲线离散对数问题ECDLP定义如下：给定素数p和椭圆曲线E，对 Q=kP,在已知P,Q的情况下求出小于p的正整数k。

三 具体计算

（一） 求解依据

找一个面积为n的有理直角三角形。我们可以把三边互素的直角三角形的三边用很简单的公式表示出来a=2pq;b=p2-q2;c=p2+q2

这里的 p q 只需要考虑整数，而*是个平方数。

椭圆曲线相交理论：Bezout定理告诉我们， 两条光滑椭圆曲线相交于9个点（切点重复计算）。 进一步，如果有第三条光滑椭圆曲线经过其中的8个交点，那它必定经过第九个点。这是古典代数几何中的一个重要的结论。欧拉对此问题也有过考虑[5-6]。

作为推广，X.诺特（Noether）曾经得到了更一般的代数曲线交点的类似结论。 这个问题和代数曲面上秩2向量丛的半稳定性有着深刻的内在联系。谈胜利利用秩2向量丛的Bogomolov不等式， 将此问题推广到最一般的情形。

椭圆曲线的退化情形：由于椭圆曲线在射影平面中是三次曲线，所以它可以退化为许多特殊的情形：

（1）三条直线；（2）一条直线和一条二次曲线（即圆锥曲线，比如椭圆，双曲线，抛物线）。

通过同余数的定义方式与椭圆曲线上相关计算的性质与结论，将同余数的相关直角三角形的边长以椭圆曲线上的有理点坐标表示出来并给出相关正有理点的坐标。固定所得点坐标分母，通过运用数学工具编程等方法，在相关条件的约束下求解符合直角三角形特征的点坐标即直角三角形三边长度。

根 据Mordell-Weil theorem与Nagell-Lutz theorem，则存在有理数x，使得x-aiQ2等价于存在公差为n的有理数平方组成的等差数列,根据简单的勾股定理,这等价于存在一个有理边长的直角三角形,面积为n。

则我们有如下三个结论：

存在公差为n的等差数列u2,v2,w2,其中u,v,w为有理数；

存在边长为有理数a,b,c 的直角三角形，面积为n；

在椭圆曲线E(n):y2=x3-n2x能找到一个有理点，其y坐标不为0。

则满足上述等价的三个条件之一的n称为同余数。

（二） 同余数验证

验证方法：

首先，我们设置四个变量： n, a, b, v

根据整同余数的相关结论，若n为一个同余数，则此四个变量应符合以下关系[1]：

(1).(a,b) = 1

(2).a,b一奇数一偶数

(3).a,b为正整数并且 a ＞ b

(4).a,b,n,v 需要满足nv2=|6a2b2-a4-b4|or4ab(a2b2)

则根据上述条件进行编程计算，验证部分正整数n是否为同余数。

结果：

5是同余数，所对应数值为a=5,b=4,v=12

7为同余数,所数值为a=2,b=1,v=1

13为同余数,所数值为a=772,b=195,v=8652

14为同余数,所数值为a=8,b=1,v=12

21为同余数,所对应数值为a=4,b=3,v=4

22为同余数,所对应数值为a=50,b=49,v=210

23为同余数,所对应数值为a=13,b=6,v=17

通过验证得出5,7,13,14,15,21,2,23为同余数，进而根据椭圆曲线与同余数的相关关系与椭圆曲线的部分知识，构建以上同余数所对应的直角三角形并计算其各边边长。

（三） 直角三角形的构建

1.椭圆曲线上的基本算法

2.直角三角形的构造

固定分母q，则分子只有有限个值，根据编程筛选得出符合条件的有理数，构建直角三角形。

根据原理编程得出同余数相关三角形边长结果：

四 结语

本文通过同余数与椭圆曲线相关知识，验证了5,7,13,14,21,22,23为同余数并给出了相关直角三角形的三边长。