液压伺服系统状态估计和参数辨识的鲁棒算法

陈军章

(1.许昌信息工程技术研究中心， 河南 许昌 461000；2.许昌职业技术学院 信息工程学院， 河南 许昌 461000)

引言

液压伺服系统性能在很大程度上取决于控制阀、阀芯的几何形状及其制造公差。一些物理参数也很难确定，甚至有些参数完全未知，如某些液压部件的尺寸、泄漏系数、摩擦系数等，再加上系统存在非高斯噪声，如果没有适当的数学模型，就不可能对液压伺服系统性能进行精确的非线性分析[1-2]。对液压伺服系统参数进行精确的辨识可以提高模型质量，从而提高控制性能。因此，液压伺服系统状态估计和参数辨识成为影响系统性能、稳定性和精度的关键因素。

直接测量液压伺服系统状态和参数通常比较困难，并且一些系统参数总是在不断变化。参数不变的状态估计过程在参数变化时会产生较大的误差。液压伺服系统的动态行为可以由一个具有时变参数的线性随机状态空间模型来描述[2-3]。因此，需要同时获得状态和参数估计的方法。

卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)是目前应用最为广泛的滤波方法，许多现代工程应用如自主车辆[4]、疲劳应变预测[5]、维护网络物理系统的安全[6]或机器人操作[7]等许多领域，均需要具有线性模型的实时卡尔曼滤波框架。国内方面：何常玉等[8]研究了用于液压系统参数估计的扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter, EKF)的收敛性分析问题；夏玢[9]提出了协方差修正参数进行联合估计；张静[10]把改进的卡尔曼滤波器应用于液压系统状态和参数估计。

但是如果存在非高斯噪声或参数故障或模型参数与过程参数存在较大偏差时，卡尔曼滤波的估计精度会大大下降甚至发散[11]。因此，设计一种对非高斯噪声或参数故障不太敏感的鲁棒算法是非常重要的。考虑到动态系统的未知参数，本研究针对具有参数相关矩阵(参数故障)的状态空间系统，提出一种鲁棒算法，从而获得液压伺服系统精确的状态估计和参数辨识。

1 鲁棒算法原理

因为液压伺服系统的动态行为可以由一个具有时变参数的线性随机状态空间模型来描述，为了具有普遍性，本研究先对含有参数故障的状态空间系统进行分析，状态空间系统为：

x(k+1)=A(θ(k))x(k)+B(θ(k))u(k)+w(k)

(1)

y(k)=D(θ(k))x(k)+e(k)

(2)

式中，x(k)∈Rn,θ(k)∈Rp分别是未知状态向量和参数向量。在某些情况下，故障fp(k)可以表示为系统参数的变化，例如矩阵A的第i行和第j列元素的变化，然后可以将系统描述为式(1)、式(2),见图1。

图1 含有参数故障的状态空间系统Fig.1 State space system with parameter faults

此方法基于这样一个假设：故障反映在物理系统参数上，如摩擦、质量、黏度、电阻、电感、电容等。线性状态空间模型通常被指定为一些参数θ(k)的值。由于矩阵A(θ(k))、B(θ(k))和D(θ(k))依赖于参数θ(k)，并且由于与状态向量x(k)相乘，系统式(1)、式(2)具有非线性。因此，为了递归地获得参数估计，面临的是一个一般的非线性滤波问题。鲁棒卡尔曼滤波器可用于估计状态和线性随机系统的参数[12]，联合状态参数公式为：

(3)

更为紧凑的扩展系统为：

z(k)=qk-1[z(k-1),u(k-1),

θ(k-1)]+ξ(k-1)

(4)

y(k)=hk[z(k),θ(k)]+e(k)

(5)

式中， 扩展扰动矢量：

ξ(k-1)=[wT(k-1)ηT(k-1)]T

其中：

(6)

u(k-1),θ(k-1),0]-

(7)

(8)

假如u(k-1)和c(k)定义为：

(9)

(10)

线性状态式(7)和线性测量式(8)更简洁表示方式为：

z(k)=F(k-1)z(k-1)+u(k-1)+ξ(k-1)

(11)

y(k)=H(k)z(k)+c(k)+e(k)

(12)

式(11)、式(12)鲁棒算法具有以下形式[13]：

(13)

P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1|k-1)×

FT(k-1)+ξ(k-1)

(14)

k(k)=PT(k|k-1)HT(k)TT(k)

(15)

(16)

(17)

P(k|k)=P(k|k-1)-k(k)ψ′(v(k))kT(k)

(18)

(19)

为了满足ε污染概率分布，预测误差的非线性变换ψ(·)(Huber函数)是利用统计学中的博弈论得到的[14-15]。

ψ(v(k))=min{|v(k),kε|}sgn(v(k))

(20)

其导数：

(21)

式中，kε为Huber函数定义参数，如图2所示。

图2 Huber函数及其导数Fig.2 Huber function and its derivative

下式确定了污染度ε与Huber函数参数kε之间的关系[14]：

(22)

式中，ΦN表示标准正态累积分布函数。

E(v(k))=T(k)E(ε(k))=0

(23)

E(v2(k))=T2(k)[H(k)P(k|k-1)×

HT(k)+R1(k)]-1/2

(24)

因此T(k)转换为：

T(k)=[H(k)P(k|k-1)HT(k)+R1(k)]-1/2

(25)

式中：

(26)

(27)

初始条件为：

(28)

增益矩阵K(k)的矩阵元素[16]为：

(29)

(30)

先验协方差矩阵P(k|k-1)的矩阵元素是：

(31)

后验协方差矩阵P(k|k)的矩阵元素公式为：

(32)

考虑到上述公式，先验和后验扩展状态向量式(13)和式(17)的估计通过以下关系给出：

1|k-1)

(33)

(34)

因此可以很容易地表示出状态向量和参数向量的估计：

N(k)ψ(v(k))

(35)

(36)

最后，用这种方法导出含有参数故障的状态空间系统式(1)～式(2)的鲁棒算法。

2 鲁棒算法在液压伺服系统中的应用

为了验证所提出鲁棒算法的有效性，将其应用于液压伺服系统中进行仿真。液压伺服系统[17]原理如图3所示，xv为伺服阀阀芯位移；pa，pb分别为液压缸无杆腔和有杆腔压力；qa，qb分别为流向液压缸无杆腔和有杆腔的流量；y为活塞位移；Ke为弹簧载荷；ps为泵出口压力；Fext为扰动力。如果状态变量和输入变量定义为：

(38)

因此，液压系统的完全非线性模型，可用状态空间的形式表示为：

(39)

式中，mt—— 活塞质量

mp—— 包括活塞杆质量

m—— 负载质量

Ff—— 系统黏性、静态和库仑摩擦力总和

βe—— 流体体积模量

L—— 活塞行程

Va0，Vb0—— 初始腔室容积

cLi—— 内漏流量系数

图3 液压伺服系统示意图Fig.3 Hydraulic servo system schematic

众所周知，在液压伺服系统的非线性状态空间模型中存在具有随机特性的系数。考虑到某些参数变化具有随机性，以及具有时变参数模型的模型非线性近似的可能性[18]，本研究提出了具有时变参数的线性随机模型。

x(k+1)=A(θ(k))x(k)+B(θ(k))u(k)+

fC(θ(k))+w(k)

(40)

y(k)=x(k)+fC(θ(k))+e(k)

(41)

阻尼比Th：

(42)

实验装置输入采用伪随机二进制序列电压信号，系统输出由检测气缸的位置得出。图5为状态向量[x1x2x3]T输出曲线，其中k为迭代次数，x1,x2,x3为系统状态，无纲量。图5中实线表示迭代次数为k和k-1时气缸位置的差值，气缸位置由系统传感器实时测得；RA，EKF和KF分别表示当系统加入噪声信号时鲁棒算法、扩展卡尔曼滤波器算法和卡尔曼滤波器算法在迭代次数为k和k-1时对气缸活塞位移的追踪差值。从图5中可以看出，在一定的迭代次数下，相比其他两种算法，鲁棒算法能很好地追踪系统状态，从而得到其近似无偏估计值。图6为系统参数辨识输出曲线，实线为系统参数p1和p2参考曲线，由系统随机产生，RA，EKF和KF分别表示鲁棒算法、扩展卡尔曼滤波器算法和卡尔曼滤波器算法对系统参数p1和p2的辨识曲线，其中k为迭代次数，p1，p2为系统参数，无纲量。从图中可知，鲁棒算法能很好地对系统参数进行精准辨识。这说明本研究所提出的鲁棒算法对非高斯噪声和系统参数故障的存在敏感性较低，说明算法鲁棒性和容错性能较强。

图4 实验装置Fig.4 Experimental device

图5 RA，EKF和KF状态估计结果Fig.5 State estimation results of RA, EKF and KF

图6 RA，EKF和KF参数辨识结果Fig.6 Parameters identification results of RA, EKF and KF

图7 均方误差对数比较图Fig.7 Comparison chart of logarithmof mean square error

3 结论

液压伺服系统的动态行为可以由一个具有时变参数的线性随机状态空间模型来描述，本研究针对含有参数故障的状态空间系统，提出了存在非高斯噪声时系统状态估计和参数辨识的鲁棒算法。所提出的算法既考虑了对非高斯噪声的鲁棒性，又考虑了对所有可能的参数故障的敏感性。通过液压伺服系统的仿真，验证了所提出的鲁棒算法辨识得到的状态空间模型参数的效果。仿真结果证明了本研究所提出的这种鲁棒算法能很好地对液压伺服系统进行状态估计和参数辨识，并且当非高斯噪声出现时，该算法保持了较低的灵敏度，从而证明了该算法在存在参数故障值的状态空间系统中优于其他如卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波等其他算法，因而具有广阔的应用前景。