例谈两类多变量不等式恒成立问题的解法

王庚申

多变量不等式恒成立问题具有较强的综合性，不仅考查函数的图象、性质，还考查不等式的性质.由于此类问题中含有多个变量，所以解答的难度明显增大，且对同学们的分析以及运算能力有较高的要求.笔者着重研究了以下两类常见的多变量不等式恒成立问题的解法，下面结合实例来进行说明.

分析：我们需先根据题设条件建立方程组，通过解方程组求得参数a、b的取值，然后利用导函数与函数的单调性之间的关系判出函数f（x）的单调性，求得函数f（x）的最值，再结合函数f（x）的大致图象，建立使不等式恒成立的关系式.

由上述分析可知，解答变量不等式恒成立问题，需综合运用函数的图象、性质、导数与函数单调性之间的關系、极值以及不等式性质，关键在于将其转化为函数在定义域上的最大值和最小值问题，建立使不等式恒成立的关系式.在求函数的最值时，一般可利用导数与函数的单调性之间的关系，也可利用函数单调性的定义.在求得最值后，需灵活运用数形结合思想和分类讨论思想，建立使不等式恒成立的关系式.

（作者单位：湖北省十堰市房县第一中学）