基于“情境—问题—思维”视角的数学深度教学

胡连成 (江苏省徐州市丰县华山镇华山初级中学 221744)

我国近40年基础教育的发展，体现了以“双基”为代表重视学科价值到以培养“核心素养”为标志、强调育人价值的发展历程，注重促进学生可持续发展、终身受益的必备能力和关键品格的养成．具体到数学学科的教学，体现为从注重知识、方法层面的教学提升到学科思维层面的深度教学，重视在问题解决中发展批判性思维、反思性思维和创造性思维等高阶思维，进而实现品格养成和文化浸润，实现立德树人的教育目的．

数学深度教学强调从“帮助学生学会数学地思维”的教学转向“通过数学学会思维”的教学，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”．深度教学追求的是学生全身心深度参与学习和主动深度思考问题，以实现从具体的学科知识教学到学科思维层面的教学，并由具体的数学方法和策略转向一般性思维策略的学习，使学生通过合作互动学习，真正成为学习的主人．[1]

1 “情境—问题—思维”之数学深度教学三部曲

数学深度教学应始于情境问题的引领，教学中要创设指向数学本质的问题情境，激发学习内部动机．数学深度教学应基于问题链的深度探索，教学中要注重学生问题意识的培养，在核心问题的引领下生成系列问题链，实现对问题主动深度探索．数学深度教学应成于理性思维的培养，教学中注重学生思维内化和外显的充分实现，在思辨中培养理性思维，在思维发展中实现自觉学习．本文以苏科版教科书八年级上册“3.1勾股定理”第1课时的教学片断为例，加以阐述．

1.1 深度教学应始于情境问题的引领

问题情境是一个有多重含义的概念，由于学者对问题情境的关注视角不同，对问题情境的认识可分为“情境指向”和“问题指向”两种视角[2]，前者关注基于情境产生的一系列问题，后者关注情境引发的心理困境和探究氛围．本文认为，问题情境是指创设与教学目的、内容体系及学生认知结构、认知心理相关联，能引发认知冲突，形成核心问题，促进主动思考的学习探究氛围．把学生置身于研究新的未知问题情境中，学生会感到此问题既熟悉但又不能单纯利用已有知识和方法去解决，从而产生“悱愤”之感，促进学生主动探究．

数学深度教学注重通过营造问题情境，引发学生认知冲突，激发主动探索的欲望，实现以自我提升为目的的认知驱动．情境创设应基于学生的知识结构、认知心理，关注学习“最近发展区”，把控好“已知区”和“未知区”合理间距，引发适度认知冲突，形成核心问题．情境设置是否合适，取决于情境所生成的问题是否能够激发学习内部动机、揭示数学本质、引领思维发展．

苏科版教科书八年级上册第3章《勾股定理》分为三部分，分别是“3.1 勾股定理”“3.2 勾股定理的逆定理”“3.3 勾股定理的简单应用”．“3.1 勾股定理”共有2课时，其内容分别为通过数学活动探索勾股定理和掌握勾股定理的经典证明．本课时是本章第一课，起着统领全章教学的作用，教学中要注重知识的内部关联性和数学思想方法的一致性，以促进学生完成知识、方法的意义建构．

·教学片断1 创设情境引发思考

问题1这是1955年希腊发行的一枚邮票(图1)，以纪念两千多年前古希腊著名数学学派——毕达哥拉斯学派．请同学们仔细观察，你有哪些发现？

图1

生1：图案中有三个正方形和一个三角形．

生2：三个正方形分别包含了9个、16个和25个小正方形．

生3：如果把小正方形边长看作单位1，图案中3个正方形的面积分别为9,16,25．可以发现两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，说明直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

师：你确认是直角三角形吗？

生3：我用量角器进行了度量，应该是直角三角形．

生4：度量存在误差，并不能说明它一定是直角三角形．

师：如果不能确认是直角三角形，你该如何思考问题？

生4：应该按照直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论哪类三角形具备“两边的平方和等于第三边的平方”.

师：从哪类三角形开始思考？

生4：从特殊三角形、也就是直角三角形入手．

教学分析问题是数学的心脏，如何让学生在数学情境中自然地发现问题、提出问题，是我们教学中的首要任务．我们要从学生实际出发，创设合适情境，引发学生发散式思考，在学生观察、猜想、分析和比较中自然生成问题，教师的作用体现在及时引导学生在提出的众多问题中抽取出核心问题，引领后续探究．本案例是学生在观察思考中生成核心问题：“哪类三角形两边平方和等于第三边的平方？”

数学深度教学要善于通过情境谋势，形成认知冲突，基于学生的内在需求，生成具有开放度的核心问题，以引发学生的发散思维和深度思考．

1.2 深度教学应基于问题链的深度探索

数学深度教学要在核心问题的引领下，通过一般化、特殊化、类比、逆向等思维方式形成问题链，以引发学生思维碰撞，将思维引向深入．问题链的设计与实施需要把握三个关键点：以数学内部关联为逻辑起点、以数学思维方式为方法指导、以教学功能任务为基本定位．在实践教学中，常常是多种数学思维共同指导下形成具有一定开放性的问题链．[3]

基于问题链的深度教学需要正确处理问题预设与生成关系．预设是课堂教学的基本特性，是教师课前基于对教材整体把握和学情了解，而对教学目的、任务、过程形成清晰、理性的静态思考和规划，把一节课所蕴含的知识、方法和思想用问题的形式加以呈现的过程．生成是学生学习的重要特点，是学生基于自身理解基础上形成新问题、新观点、新思路，是一种动态发展的过程．对于如何处理二者的关系，要认识到预设的目的不是让教师的知识和技巧出彩，而是要让学生的思维发光，要让预设与生成共同指向学生的思维发展．教学中应通过情境引发认知冲突，使学生在主动思考中自然生成问题．教师在这一过程中因势利导，通过设问、追问和反问，使预设与生成浑然天成，通过对问题“静静地思考”与“充分地表达”，促进学生对问题的深度探索．

·教学片断2 问题变式促进深度思考

基于核心问题“哪类三角形两边平方和等于第三边的平方？”的引领，遵循一般化和特殊化等思维方式进行如下问题变式．

问题1你能计算图2中以直角三角形三边构造的三个正方形的面积吗？

图2 图3

学生表示不会计算以AB为边的正方形面积．

问题2如图3，如果添加了网格线，你能计算图中三个正方形的面积吗？

学生对于“斜正方形”的面积计算存在困难，引导其类比另两个正方形面积计算方法，利用“割”或“补”的方法“化斜归正”，求其面积．

问题3请同学们在方格纸上任意画一个格点直角三角形，并分别以这个三角形的三边向外作正方形，求其面积，你有什么发现？

学生通过画出不同的直角三角形并计算相关面积，进一步体会三个正方形面积之间的等量关系．教师再借助几何画板演示直角三角形的形状变化时，正方形面积之间的数量关系没有变化，进一步体会“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”．

问题4通过以上过程，是否可以说明直角三角形一定具有这种性质？

多数学生认为可以说明，部分学生提出：虽然较多的直角三角形具备了这种性质，但不能说明所有的直角三角形都具备这种性质．也就是说，还缺乏一般化的证明．于是引出了问题5的思考．

问题5如果直角三角形三边分别为a,b,c，能否证明我们发现的结论？请结合图4加以说明．

图4

类比“图3”的方法，通过“割”或“补”的“化斜归正”方法可以证明结论成立．通过一般化证明说明直角三角形具有性质“两直角边的平方和等于斜边的平方”．

问题6锐角三角形和钝角三角形是否也具备这样的性质？

通过对上述一系列问题的思考，利用一般化证明说明了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，通过举反例的方法说明锐角三角形和钝角三角形不具备这种性质．在这种思维碰撞和反思中，学生主动提出了问题7，这也是本节课学生思维发展的亮点之体现．

问题7如果一个三角形两边平方和等于第三边的平方，这个三角形一定是直角三角形吗？

本问题是从结论的反面思考，体现了数学逆向思维运用．由于它是“3.2 勾股定理的逆定理”的探索内容，故本课没有展开讨论，而是让学生课后思考、尝试解决．一节课从问题开始，又以新问题结束，在问题探索中知识得以掌握、问题意识得以强化、理性思维得以发展，较好地体现了问题链的有效驱动作用．

教学分析在核心问题“哪类三角形两边平方和等于第三边的平方？”引领下，对三角形分类讨论.在对直角三角形的思考中，遵循从特殊到一般的思维顺序进行探索，从借助网格线计算相关面积，到计算学生画出的更多直角三角形相关面积，再到计算无网格线一般三角形面积，构成了一般化思维下的问题推广链．借助于方法类比，从直角三角形思考拓展到锐角三角形和钝角三角形，形成了类比思维引领下的类比问题链(具体教学流程如图5)．

图5

由于本课是本章起始课，统领着本章教与学，故教学实践中，需要把握好问题探究的深度和广度．在问题5的探索中，本课仅限于利用“割”或“补”之“化斜归正”的计算方法加以简单证明，勾股定理经典的证明方法及其蕴含的转化思想在第二课时进行探索；问题7是对核心问题的逆向思考，具体的探索分析后续进行，本课仅作问题启发，以体现探索过程完整性和思维严谨性．以上7个问题是在核心问题的引领下，学生在主动思考的基础上所提出的系列问题，体现了一般化、特殊化、类比、逆向等不同的思维引领下问题链的引领和驱动．问题情境教学中教师的作用在于因势利导，让学生心中想法顺利表达，引发更多学生产生更多理性思考，实现“预设与生成齐飞、情境与问题共舞”的教学理想境界．

1.3 深度教学应成于理性思维的培养

基于问题情境的深度教学主要任务是促进学生思维的发展，实现学生深度思考，培养理性思维．从课堂教学的角度思考，学生的理性思维培养应体现在两个阶段，一是思维的内化阶段，这是思考与领悟的过程，是独立思考、积极建构、自主生成的过程，是思维的内隐阶段，这时的思考往往还不成熟、似懂非懂，尚在混沌之间．此阶段教学过程要重视具有“思维含量”的核心问题引领，并通过一般化、特殊化、类比和逆变等思维方式形成问题链，引领学生的深度思考．除此之外，还要重视教学“留白”技巧的运用，避免“讲清”“问细”，要留出适度的时间和思维空间，让学生在问题的引领下独立地思考，尝试解决和回答，进而发现新问题和新思路．在不断的思考、尝试、再思考的过程中完成对自己理解的知识和方法的初步建构．

学生的理性思维培养的第二阶段是思维的外显过程，这是交流、合作与辨析的过程，“任何理解对象只能在语言中才能展现自我，理解主体只能通过语言才能使理解真正发生．”[4]学生通过语言的表达与交流，当内化的知识与具体问题重新建立联系时，当学生用语言力求清晰、合理、高效地阐述自己观点时，需要对基于自我理解的知识重新梳理和建构．思维在外化的思辨过程中得以清晰化、可视化，进而又会引起新的思考．教学中要充分发挥学生主体性作用，采取合理激励机制和“容错”机制，使合作学习真正发生．鼓励学生有条理地清晰表达自己观点、方法，从而实现在“想清楚”的基础上“讲明白”．当学生思维表述不清或方法运用不当时，往往是学习思维难点和课堂教学亮点之所在，教师要在以上关键点处引导学生倾听、回顾、梳理、反思，实现“错着错着就对了，聊着聊着就会了”的教学效果．在这个过程中，教师就是那个“挑起事端”，让学生产生想法、产生认知矛盾、产生思维碰撞的人[5]．

当教学设计的开放性与课堂生成的精致化相得益彰时，当学生在理性思辨中完成意义建构时，当学生在学习交流中学会学习时，深度教学才能真正实现．

2 数学深度教学的基本特征

基于以上分析，深度教学具有以下特点．

2.1 指向数学本质的问题引领

学生的思维发展需要具有“数学味”的问题引领思维活动，教学过程是一种提出问题和解决问题持续不断的活动．教师善于创设探究情境，形成认知冲突，使学生在思考中自然产生问题．教师要精心研读教材，了解学情，站在学生的角度进行教学设计，实现学科知识的“教育学转化”和“生本化表达”，使问题预设的科学性和问题生成的自然性浑然天成．教师及时引导学生对问题进行深度思考，透过现象看本质，在不断的问题探索中收获经验、归纳规律、感悟数学思想，实现“用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题”．

2.2 批判整合的主动建构

数学情境教学以情境问题为载体、以活动思考为主线展开学习，既关注结果更关注过程、既注重预设更注重生成、既注重合情推理又注重演绎推理．重视在已有知识结构的基础上实现新知识的生成，重视学生对内化知识的表述与运用．经历观察猜想、类比归纳、推理论证的过程，使学生对问题作出自己的思考、判断、解释，实现知识的顺应与同化，完成知识批判与整合，从而基于自我理解建构具有连续性和生长性的知识体系．

2.3 理性思辨的深度学习

以理性思维发展为目的的数学问题情境学习，具有批判理解、信息整合、反思建构、迁移运用的特点．通过情境问题的变式与拓展，在不断的问题解决中，通过方法比较、归纳思考、讨论交流，化“快想”为“慢思”，使静思与辨思相结合、内化与外显共作用，从而让思考更全面、更清晰、更深刻、更合理．[6]教学中要注重对问题的追问和反问，使学生的思维从模糊走向清晰，从无序走向有序，从感性走向理性．教学中要注重引领学生对问题解决过程的回顾和反思，对知识的反思、方法的反思、联系的反思、推理的反思、表述的反思，在反思中实现对知识的建构、方法的融合、思想的领悟，经历“数学地思维”的过程，达成“通过数学学会思维”的目的，实现理性精神的培养．

数学深度教学是安静的教学，注重学生的静思和内化；数学深度教学是火热的教学，注重交流与外化，使冰冷的美丽变成火热的思考；数学深度教学是生成的教学，在主动探索中生成，在合作互动中建构；数学深度教学是理性的教学，在思辨中走向理性，在学习中学会学习．数学深度教学让学习可见、让思维发生、让文化浸润[7]，实现从知识教学到思维教学再到学科育人的飞跃．