康复机器人的自抗扰与滑模复合控制

曹福成 周文迪

(长春大学电子信息工程系 吉林 长春 130022)

0 引 言

我国每年有大量的脑卒中或是其他因素导致的肢体运动功能障碍患者，而人的肢体在日常生活中起着重要的作用，运动障碍对患者的生活造成了严重的影响。而研究表明康复训练治疗是可以恢复患者受损肢体运动功能[1]，故而近些年来，对于康复训练机器人的研究越来越多，使用机器人辅助康复治疗可使患者获得更有效、更稳定的康复过程，同时减少治疗师的工作量减轻医疗服务的负担，使康复治疗更加普及。

康复机器人与工业机器人不同，康复机器人是一个复杂非线性耦合系统，无法使用线性控制与建模来很好地解决控制问题。而且需要根据患者肢体受损程度的差异，提供不同的辅助力量，使患者可以从最初的被动跟随训练，训练运动轨迹完全由机器人引导直到患者可以自主进行训练活动，康复机器人逐步变为辅助运动。所以这就要求机器人需要具有良好的动态跟踪性能以及高效、平滑和连续的控制方式。

目前针对机器人人机交互控制问题，许多人提出了多种轨迹跟踪控制策略，如经典的比例-积分-微分(PID)控制的改进方法、神经网络控制、自适应反演控制等。文献[2]采用PID控制，验证了PID控制二自由度机械臂轨迹误差可以满足工业领域误差要求不是很高的情况，但无法满足康复设备使用。神经网络规划的方法可以产生稳定的轨迹，但由于计算量过大，故而也无法实际应用在康复训练任务中。对于一般的控制任务，PID控制是一种稳定有效的方法，对于线性模型具有很好的控制效果，但对干扰敏感，跟踪过程震荡且鲁棒性弱，设计过程比较依赖经验数据。而康复设备是个高耦合的非线性系统，在康复训练过程中可能会出现很多的不确定因素，如训练过程中突然出现的肢体痉挛现象、负载突变或者剧烈震颤，PID则无法实现迅速的跟踪转换。

目前已经有了很多将滑模控制技术(SMC)应用到了康复机器人中的方案设计[3-11]，SMC结构简单且响应迅速，可以提供高动态跟踪性能。然而，滑模控制有一个很大的弊端，当控制状态达到滑模面附近时，会发生抖振现象，而抖振现象对于临床设备而言是非常不安全的，而且会对机械部件造成严重损坏。因此，传统SMC不可能实际应用于康复机器人。文献[3]设计了反演自适应滑模控制策略，使用反演控制设计控制律，并仿真验证了该方法可以对正弦轨迹进行跟踪，但鲁棒性较差，在出现患者肌肉痉挛等外部强烈干扰时，无法保证很好的跟踪效果。文献[4]采用了加入模糊规则的方法，实现避免抖振的效果。但设计的模糊规则需要为每个人分别进行重新配置。文献[5-6]则是加入了自适应的滑模控制方法，文献[7]提出了基于滑模观测器的模糊PID控制改善滑模趋近速度并抑制滑模抖振，由实验结果可知，电机误差在进入稳态后确有降低，但抖振仍十分明显。文献[8]则提出了滑模控制加上扩展状态观测器的方法，并与传统PID方法进行了比较，说明了方案的可行性，相当于将扩展状态观测器(ESO)作为误差观测器使用，实验结果显示抖振明显降低，但是该方法仍然无法避免抖振现象的产生。

为了解决这些问题，文献[9]提供了很好的思路，使用自抗扰和滑模复合控制来避免上述问题。文献[10-11]使用SMC对自抗扰的非线性组合部分进行替换或者是修改，效果有所改进，但抖振依然存在。在此基础上，本文提出基于扩展状态观测器[12-13]的滑模与自抗扰[14]复合控制方法，并进行了仿真验证。使用基于扩展状态观测器的滑模与自抗扰复合控制算法来处理患者肢体和康复机器模型整体运动控制问题，克服人体与康复机器人的匹配不确定性，快速降低跟踪误差，达到滑模面附近的切换阈值后，切换为自抗扰控制，使用自抗扰控制取代滑模控制，由此避免滑模控制在达到滑模面后产生的抖振现象，使康复设备不需要针对不同患者单独调节参数，确保系统稳定地收敛而且有效减弱在滑模面附近产生的抖振现象，实现不同患者在康复训练过程中出现肌肉痉挛等特殊情况时，康复系统仍然可以稳定运行，使患者仍然可以获得良好的康复治疗效果。

1 系统建模

根据牛顿-拉格朗日动力学理论方法，患者肢体和康复训练外骨骼所共同构成的系统动力学可表示为：

(1)

(2)

由式(1)可知，机器人的关节位置、速度、扭矩以及关节加速度之间关系为：

(3)

因为M(q)是对称和正定的[6]，所以M-1(q)一定存在，式(3)采用二阶微分方程描述可继续写为：

(4)

(5)

2 自抗扰与滑模复合控制

2.1 滑模控制

滑模控制也是状态反馈，属于一种特殊的非线性控制，在控制中引入切换开关，使得非线性表现为控制的不连续性。近些年来对于滑模控制的研究越来越多，主要是因为滑模控制在解决系统结构不确定的问题以及外部干扰时具有很强的鲁棒性，可以在动态过程中实时地针对系统的状态调整，使系统跟随预设的轨迹进行运动。而且滑动模态与受控对象以及外部扰动无关，故而滑模控制对于非线性系统有很好的效果，具有实现简单、响应迅速、对扰动不敏感等优点，非常适用于康复机器人等非线性系统。但在实际应用中，由于切换增益系数的存在，切换频率虽然快，但是仍然具有时间延迟，所以滑模控制律是非连续性的，理想的滑模控制不可能实现，最终系统控制器会在滑模面产生频率很高的抖动，这会导致系统无法达到很好的康复训练效果，而且会磨损系统的零件，对于系统的稳定性和安全性都具有很大的影响。本文提出一种自抗扰与滑模复合控制的方法，滑模控制可以迅速到达滑模面对轨迹进行跟踪，到达滑模面后切换为自抗扰控制，有效避免了滑模控制在滑模面可能产生的高频抖动。其复合算法示意图如图1所示[9]。

图1 自抗扰与滑模复合控制示意图

首先设计康复设备的滑模控制，由于在构建患者的患肢与康复设备所构成的系统模型时，误差不可避免，所以在设计控制器时，必须要考虑到其不确定性。令qd为理想关节角度，关节轨迹跟踪误差e(t)的跟踪误差定义为：

e(t)=qd(t)-q(t)

(6)

滑模表面定义为：

(7)

(8)

两边同时积分可得：

(9)

由式(9)可知，当t→∞时，跟踪误差将收敛为0，收敛速度取决于λ的值。

(10)

进一步根据式(4)可得：

(11)

(12)

因为滑模控制需要使控制系统在t≥0的时候，不断动态调整趋近于滑模面S=0，直至最终保持在滑模面。如果状态轨迹在滑模面之外，还未到达滑模面，则需要切换到达滑模面。增加一个变量项kfsgn(S)，使状态轨迹可以穿越S=0平面，则设计系统的控制律为：

(13)

(14)

2.2 自抗扰控制器设计

由于滑模控制其开关切换存在一定的时滞性，切换系数使控制器在切换面上下震荡产生抖振，所以减弱甚至避免抖振很重要。根据式(13)对于滑模控制律的设计可知，如果可以对输入到系统的外部扰动信号进行预测，在控制律中进行补偿，可以增强滑模控制的效果。而且系统中存在的不确定性以及外部扰动是未知的，因此可以使用ESO将系统模型内部非线性因素和外部干扰视为要观测的扩展状态，用于估计控制律中存在的总扰动。因此，设计自抗扰控制部分时，可以将扩展状态观测器同时应用于滑模控制器，使用ESO在控制输入中估计和补偿系统中的非线性扰动以及外部施加的人体痉挛等的干扰信号，依靠基于扩展状态观测器的滑模控制与自抗扰复合控制，减弱系统到达滑模面后的抖动。

2.2.1微分观测器(TD)

根据输入的理想轨迹信号，安排对于理想轨迹的过渡过程，即使输入的理想轨迹信号存在噪声，依然可以得到光滑的输入量，便于系统的实时跟踪。设计微分跟踪器(TD)[12]：

(15)

式中：qd是输入的规划轨迹信号；x1、x2分别为输入轨迹信号的跟踪信号以及跟踪信号的微分信号；r表示速度因子，值越大逼近速度越快，根据实际被控对象的可承受能力调节；h为时间步长。最速综合函数fhan(x1,x2,r,h)[12]表述为：

(16)

2.2.2扩展状态观测器

针对患肢与康复设备共同构成的系统，利用ESO估计系统中非线性项和人体施加的扰动项之和d，设计扩展状态观测器(ESO)[12]：

(17)

式中：E是扩展状态观测器(ESO)的估计误差；β1、β2和β3是观测器的增益；观测器的输出Z1为跟踪信号；Z2为跟踪微分信号；Z3是系统内部非线性项以及外部人体施加的干扰项之和的实时观测值[12]，因此在反馈中，Z3用于补偿干扰。

(18)

(19)

再由式(17)可知，估计误差由β1、β2、β3、α、δ确定，可以根据经验公式确定观测器参数大致范围，然后选择合适的参数，选择0<α<1，δ>0，这样就可以将估计误差限制到很小。

2.2.3非线性组合(NLSEF)

根据微分跟踪器对于给定轨迹信号的跟踪以及微分信号的跟踪输出结果，分别与被控对象输出的跟踪轨迹以及跟踪微分信号作差，得到误差信号e1以及误差微分信号e2，采用PD控制，输出控制信号ut：

ut2=kpfal(e1,α1,δ)+kdfal(e2,α2,δ)

(20)

设置一个较小的切换阈值thr，得到控制信号：

(21)

系统结构如图2所示。

图2 控制算法结构

2.3 稳定性分析

为了证明算法的稳定性，首先证明基于扩展状态观测器的滑模控制的收敛性，构建李雅普诺夫函数如下：

(22)

由于公式是连续非负的，计算式(22)中V对时间的导数可得：

(23)

其中由于：

(24)

将式(13)代入，得：

(25)

(26)

s·sgn(S)两者点乘结果一定为正，所以可以推得：

(27)

(28)

3 仿真验证

为了验证本文方法的有效性，以一个典型的双关节刚性机械康复设备作为研究对象，使用MATLAB进行仿真，结构如图3所示[6]，其中：参数m1、m2为两连杆的质量；l1、l2为两连杆长度；q1、q2为连杆和电机的转角，也是关节角度；I=mr2为连杆的转动惯量；r为质心距连杆转动中心的距离；g=9.8。参数具体取值如表1所示。

图3 仿真系统模型

表1 两自由度模型结构参数

系统Simulink实验仿真图如图4所示。

图4 Simulink仿真图

仿真模块结构与图2相对应。其中：Input_signal为输入的理想轨迹；SMC_Func为基于扩展状态观测器的滑模控制模块，具有四个输入，分别为给定输入信号、跟踪信号、跟踪微分信号、误差观测值，其中跟踪信号、跟踪微分信号均由被控对象输出得到；External_Inf为外部干扰信号；ADRC_Levant、ADRC_Func和ESO分别为ADRC的微分观测器、非线性组合和扩展状态观测器；Controlled_obj为被控对象，具有三个输入信号，分别为外部干扰信号、ESO-SMC控制信号、ADRC控制信号，根据跟踪误差决定切换使用哪个控制方式。

根据文献[17]中对于人体痉挛信号的研究描述，分别使用加入了随机噪声的三角波信号模拟人体痉挛信号，仿真中模拟人肢体反馈至两关节系统的痉挛信号分别为：

式中：square(4πt,65)表示产生一个周期为4π、幅值为±1、占空比为65%的周期性方波；rand表示一个随机数；sawtooth(2π×10t,0.8)表示生成一个周期为0.1 s，最大值出现在周期0.8 s时的三角波。

施加在被控对象两关节的痉挛信号如图5所示，当未采用扩展状态观测器时，位置跟踪信号、跟踪误差、控制输入信号分别如图6-图9所示。

图5 施加在双关节的痉挛信号

图6 双关节位置信号与跟踪信号(SMC)

图7 滑模控制输入信号(SMC)

由图6和图8可知，当在康复训练的过程中，面对人体肌肉出现突然的抖动突变信号或者是痉挛现象时，滑模控制方法在双关节仅分别使用了约0.6 s和1.2 s便将误差收敛至接近0，系统趋于稳定，具有良好的控制效果，但是跟踪误差会在降低到0值附近时出现持续波动，在滑模面出现很明显的抖振现象，而无法很好地保持很高的跟踪精度。由图9可知，仅使用自抗扰的控制方法，则在双关节分别使用了约1.5 s的时间才将误差收敛至接近0，速度明显慢于SMC控制的误差收敛速度，明显慢于滑模控制，但是在稳定后可以保持很高的跟踪精度，没有出现明显抖振的现象。

图8 双关节轨迹跟踪误差(SMC)

图9 双关节轨迹跟踪误差(ADRC)

设置自抗扰与滑模复合控制中的切换阈值thr=0.002，当误差降到阈值以下时，自动由滑模控制切换为自抗扰控制。使用滑模与自抗扰复合控制的系统双关节的跟踪误差、控制输入信号、扩展状态观测器的输出分别如图10-图12所示。

图10 双关节轨迹跟踪误差(SMC+ADRC)

图11 滑模与自抗扰复合控制输入信号(SMC+ADRC)

图12 针对关节1的ESO输出值(ESO)

由图10-图13可知，设计的自抗扰与滑模复合控制方法可以对系统内部的非线性项以及外部的高频非线性痉挛信号或者是突变信号实现很好的跟踪，对输入的轨迹实现良好的跟踪效果。从图10中可以看出，在使用滑模控制将误差降低到设定的阈值以下时，控制系统进行了控制信号的切换，在此切换的瞬间，关节1跟踪误差出现了最高幅值为0.002大小的波动，进而逐渐降低，持续0.2 s后恢复稳定跟踪状态，关节2瞬间出现最高幅值为0.03的波动，进而逐渐减低，0.1 s后恢复至稳定跟踪状态。由跟踪误差变化的幅度可知，贯穿滑模控制与自抗扰控制的扩展状态观测器起到了良好的连接作用，使得切换瞬间表现在末端轨迹的跟踪误差可以控制在很小的范围内。

图13 系统非线性项和外部干扰信号以及跟踪信号

由滑模控制切换为自抗扰控制，使得轨迹跟踪误差在系统到达滑模面后有了明显的降低，避免了滑模控制在到达滑模面后产生的抖振现象。切换过程中虽然出现了短暂的小幅抖动，但抖动的幅度很小，而且很快便可以恢复稳定。

由仿真实验结果可知，本文方法可以在患者肢体可能出现的痉挛抖动情况或是突加负载的情况下，对系统内部的非线性项以及外部的干扰信号进行准确快速的跟踪，使用滑模控制迅速的跟踪上预设的轨迹信号，然后在接近滑模面时切换为自抗扰控制，有效地避免了传统滑模控制的抖振问题，增强了系统的鲁棒性，且使得系统具有很好的跟踪效果，可以使系统尽量以最小的辅助力帮助患者完成训练任务。

4 结 语

上肢康复机器人是辅助患肢进行康复运动的设备，所以需要考虑患肢的受损能动程度以及康复过程中患者可能出现的痉挛、抽筋等情况，使设备尽可能地帮助患者完成训练任务，实现最好的康复效果。为了实现这个控制目标，本文提出一种自抗扰与滑模复合控制的控制方法，分析了算法的设计推导过程，并进一步通过仿真实验证明了系统的稳定性，增强了训练过程滑模控制到达滑模面后的轨迹跟踪精度。实验结果表明，该方法在上肢康复训练任务时虽然控制切换时会产生抖动，但抖动轻微且可以快速恢复，过程具有较高的轨迹跟踪精度和有良好的抗干扰能力，而且对系统的内部参数变化具有很好的鲁棒性。