一种抑制图像阶梯效应的改进全变分去噪方法

周 国 栋

(中南大学机电工程学院 湖南 长沙 410083) (湖南广播电视大学网络技术学院 湖南 长沙 410004)

0 引 言

在图像存储和处理过程中，不可避免地含有噪声，去除噪声、提高图像质量是图像处理流程中非常重要的预处理环节。但是噪声和图像边缘都属于高频信号，去噪的同时很容易破坏边缘信息。总变分约束去噪方法利用图像本身的梯度信息，产生各向异性的去噪效果，去噪的同时还能有效保护边缘和细节[1]。因此，受到众多研究者的关注。

但是，总变分去噪方法有一个缺陷，就是在图像平滑区域会产生阶梯效应，出现虚假边缘，给后续的分析、识别等处理工作带来干扰。针对总变分去噪的阶梯效应问题，很多研究者提出了优化改进方法，主要思路都是优化正则项，具体办法是增大领域的扩散范围，以减少阶梯效应。比如利用高阶微分[2]；重叠组[3]；非局部梯度[4]、高斯曲率[5]、趋势保真项[6]、方向邻域[7]等方法。

以上方法的实质都是利用更大的领域信息来重构像素点，以减少局部平滑区域梯度趋近零而带来的阶梯效应。但增大领域范围，可能会导致图像边缘像素不沿切线方向扩散，从而带来模糊或者虚影。

从当前研究来看，试图通过一种统一的方法来解决阶梯效应和边缘保护的问题，效果往往不理想。因此，本文转换思路，采用一种混合正则项的方法来去噪，在梯度小的平滑区域，增大领域范围，在梯度大的边缘区域，缩小领域范围。

1 混合全变分去噪模型

噪声模型的表达式可以写成I=u+n。其中：u代表原始图像；n代表附加噪声；I代表污染后的图像。实际应用中，噪声多为高斯噪声[8]，因此本文只考虑高斯噪声的去除。

综合现有总变分去噪原理，本文提出新的去噪模型的表达式如下：

(1)

式中:第一项为正则项，用来约束重构图像u的梯度和(总变分)最小，从而最接近自然图像；第二项为保真项，用来约束重构图像要接近原始图像I，从而不至于失真；λ为拉格朗日算子，其欧拉-拉格朗日方程如式(2)所示。

λ(u-I)-div(φ(▽u))=0

(2)

式中:div、▽分别为散度和梯度。针对φ(·)函数的改进是研究最多的地方，目前主流有两种，分别是1范数|▽u|和2范数‖▽u‖2。1范数的扩散范围小，可以很好地保护图像边缘，但是在平滑区域会引起阶梯效应；2范数的领域范围较大，可以较好地抑制平滑区域的阶梯效应，但是会带来图像边缘的模糊。

φ(·)函数的两种形式各有利弊，又互相冲突，本文试图把两者结合起来，在平滑的区域使用2范数，在边缘区域使用1范数，就可以实现在去噪的同时，做到抑制阶梯效应和保护图像边缘的效果。具体可以描述如下：

(3)

式中：T是阈值，当像素的梯度大于该值时，可以认定为边缘，否则认定为平滑区域。接下来的任务是如何确定梯度阈值T。T的取值跟图像的梯度均值有关，而噪声属于高频信号，会增加整个图像的梯度值，因此，准确估计出图像的噪声水平，并研究其与T的关系至关重要。

2 改进噪声估计方法

2.1 小波变换的噪声估计方法

图像可以被分解为低频和高频部分，低频部分保留着图像的大部分信息，而高频部分则主要包含噪声。因此，噪声水平可以利用小波变换的高频子带系数来进行预测。Donoho等[9]给出的高斯噪声估计方法如下:

(4)

式中:σesti表示预测的噪声标准差；Y(i,j)表示小波变换的HH子带系数；Median()为Y(i,j)绝对值的中值，变换用的小波为D4编码。

2.2 改进噪声估计方法设计

在使用Donoho方法预测噪声水平时，发现一个现象：噪声方差越大，预测值越精确，偏差越小；噪声方差越小，预测值偏差越大。实验数据如表1所示。

表1 Donoho方法噪声预测结果

其变化曲线如图1所示。

图1 噪声标准差预测值与误差关系曲线

预测误差随着噪声的增强而逐渐减小，其原因是小波变换提取的HH子带不只有噪声，还包含了图像本身的边缘信息。噪声小时，边缘占比大，导致预测误差大，随着噪声不断增强，图像边缘占比越来越小，预测值也逐渐收敛到真实值。因此，可以改进Donoho算法，以更准确获得污染较轻图像的噪声预测。

从图1的曲线可以看出，误差曲线形状接近指数函数，可以用指数函数进行拟合。因此，拟合方程可以描述为：

(5)

式中:σDon表示Donoho算法预测的噪声值；σreal表示真实的噪声值。通过对大量实验数据的拟合，得到了拟合指数函数的参数值：

C=18.12k=-2.29

(6)

最后，根据式(4)-式(6)，得到改进的Donoho预测算法，记作IDon。

(7)

2.3 改进噪声估计方法实验验证

为验证IDon算法的适用性，选取前述实验图像以外的图像进行实验，选取Airport(512×512)、Sailboat(512×384)、Parrot(512×384)、Boat(256×256)等四种不同类别和尺寸图像进行实验。分别给这些图像添加标准差为2、10和18 dB的噪声，然后用Don和IDon算法分别进行预测，结果如表2所示。可以看出，IDon算法预测的噪声误差有很明显的下降。

表2 IDon和Don预测误差性能对比

3 基于IDon的改进全变分去噪方法

为了综合1范数和2范数的优点，本文设计出新的总变分模型，也就是式(1)。接下来研究该公式的迭代算法。

目前解决总变分代价函数的最小值问题，主流方法是交替方向乘子(ADMM)法，为了让式(1)具有更好的凸性，在迭代过程中能快速收敛，本文将式(1)进行适当改造，添加两个辅助变量，分离出为φ函数，得到式(8)。

(8)

迭代过程是交替进行的，先计算wi+1，再计算zi+1，最后计算ui+1。具体过程如下。

首先是wi+1，因为φ函数可能有两个结果，因此wi+1有两种可能情况。

当φ=2时，表达式为:

(9)

当φ=1时，表达式为:

(10)

同样地，z的迭代公式如下:

(11)

最后是u的迭代计算:

(12)

为减小大型矩阵相乘的计算量，利用傅里叶变换对式(12)进行简化，得到u的迭代公式如下：

(13)

式中：F-1为傅里叶反变换运算；G、Z、D、W分别表示g、z、▽、w的傅里叶变换矩阵。

其处理流程如下。

1) 初始化参数，取α=β=1，xmax=107，迭代次数n=1，最小误差ξ=10-4。

2) 预测噪声标准差σimproved。

3) 计算阈值T。

5) 如果|▽u|≥T，按照式(10)计算wi+1；否则，按照式(9)计算wi+1。

6) 按照式(11)计算zi+1。

7) 按照式(13)计算ui+1。

9) 如果β

4 实 验

实验分两部分来完成，首先是阈值T的确定。方案是通过4幅有代表性的图像分别进行阈值测试，得到不同噪声水平下的最佳阈值序列，并进行拟合，最后由4条拟合曲线求均值，得到最终阈值。

第二部分实验是验证本文方法的去噪效果，实验采用对比验证法，通过与常见的去噪方法进行对比，包括传统全变分方法(TV)、三维块匹配去噪算法(BM3D)[10]、非局部平均去噪(NL-Means)[11]方法等，得到最终的数据。

4.1 阈值的确定

以Lena为例，首先在图像上添加标准差(σ)为20的高斯噪声，然后使用标准差为0～100、间隔为1的阈值数列，使用本文的去噪方法分别进行去噪，并计算去噪后图像的峰值信噪比(PNSR)。最终得到的阈值和峰值信噪比关系曲线如图2所示。

图2 阈值T和PNSR关系曲线

可以看出，当阈值在24.1时，PNSR获得最大值，去噪效果最好。

按照以上方法，分别添加不同级别的噪声(标准差分别为4、8、12、16、20、24、28、32)，并获取对应噪声估计值和最佳阈值，绘制出4个图像(Boat、Bridge、Lena、Peppers)的不同点位图，观察该图像近似为直线，因此拟合出直线方程，公式为：

T=kiσ+bi

(14)

拟合后的参数如表3所示，各个拟合图如图3所示。

表3 拟合直线参数表

图3 最优阈值T和估计噪声拟合直线

最后对ki和bi取算术平均值，得到最终结果：

(15)

T=1.157σimproved

(16)

4.2 去噪性能对比实验

为了验证本文方法在其他图像上的去噪效果，使用另外的三幅图像(Barbara、Baboon、Lake)进行对比验证实验。分别添加均值为0，标准差为10、20、30和40的高斯噪声。再分别用传统全变分方法(TV)、BM3D、非局部平均去噪(NL-Means)方法等进行对比验证。实验对应的数据结果如表4所示，Barbara的去噪效果对比如图4所示，Lake的去噪效果对比如图5所示。

表4 去噪实验结果对照表

图4 Barbara去噪效果对比

图5 Lake去噪效果对比

从去噪效果看，传统TV算法去噪后有较明显的局部阶梯效应，NLM算法没有有效区分噪声和图像，因此去噪效果一般，BM3D从整体来看有较好的去噪效果，某些图像的去噪表现上是最好的，但是BM3D在眼部细节上丢失了细节，导致了模糊。本文方法整体上表现突出，在边缘区域和平滑区域都处理较好，对阶梯效应的抑制较好。

5 结 语

分析了全变分图像去噪的原理、阶梯效应的形成原因。针对现有方法不能有效解决边缘保护与平滑区域阶梯效应的矛盾问题，提出一种利用局部梯度阈值有效调和现有矛盾的混合式解决办法。并提出噪声标准差的预测改进算法，进而提出局部梯度阈值的确定方法，最后给出完整的去噪算法步骤。实验证明：1) 本文方法与传统TV去噪算法相比，性能有了较大提升，峰值信噪比平均提高了1.74 dB。2) 与同类优秀的去噪算法相比，本文方法在保护边缘和抑制阶梯效应上，有较好的表现。