具有非线性出生率和医院容纳量的传染病模型①

刘单， 刘贤宁

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

传染病是由各类病原体引起的能在人与人、 动物与动物或者人与动物之间传播的一类疾病． 传染病的爆发可能会对人类的公共卫生安全和生命健康造成重大伤害， 故传染病的监督防治一直是人类重视的工作内容． 数学动力学模型是用来分析传染病传播和控制问题的重要工具之一． 文献[1]将人群分为易感者(S)、 感染者(I)、 康复者(R)， 建立了著名的SIR仓室模型来研究传染病． 此后， 仓室模型得到了广泛地研究[2-16]． 特别地， 文献[2-4]考虑了医院治疗有限的因素， 采用了以下不同的治疗函数：

或者

考虑到人口规模非恒定， 且生存资源有限， 用指数增长来描述人口增长不太符合实际情况． 基于此， 文献[5，11，12]中的传染病模型里采用了非线性出生率函数． 文献[11]在没有疾病的情况下， 假设人口增长的方程：

(1)

其中：S(t)，I(t)，H(t)，R(t)分别表示t时刻易感者、 感染者、 住院者以及康复者的数量，N表示总的人口数量，N=S+I+H+R，A表示人口输入数量，B和μ分别是出生率和自然死亡率，ε1和ε2分别是感染者与住院者的因病死亡率，β是感染率，γ1是感染者的自愈率，γ2是住院者的治愈率，r是已感染的人去医院就医的转移率，K表示医院所能收治的病人最大数目．

1 解的非负性和有界性

定理1当初始值满足S(0)>0，I(0)>0，H(0)>0，R(0)>0时， 模型(1)的解(S(t)，I(t)，H(t)，R(t))对于任意t>0是正的且一致有界的．

证首先证明对于任意的t>0， 有I(t)>0． 由模型(1)的第二个方程可得

因此对于任意t>0， 有I(t)>0．

再证明对于任意的t>0，H(t)>0成立． 否则， 存在t1>0是使得H(t)=0成立的最小时刻． 因为H(0)>0……