双变量值域中的存在性问题优解

安徽省安庆市第二中学 (246001) 王 庆

含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型，常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.

题型1：∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)=g(x2)⟺f(x1)值域是g(x2)值域的子集.

题型2：∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)=g(x2)⟺f(x1)值域与g(x2)值域的子集交集非空.

若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢？

题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R)，若函数f(x)的图像上存在不同两点A，B，使得曲线y=f(x)在点A，B处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是.

∴-1≤a≤1.

本题是一道双切线求参数问题，通过导数研究曲线上某点的切线方程.解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，具有一定难度，为了优化此题的解法先看两个结论：

结论1 函数f(x)的图像上存在A,B两点，使得曲线y=f(x)在点A，B处的切线垂直，若f′(x)的值域为[a,b]，则ab≤-1.

结论2 函数f(x)的图像上存在A,B两点，使得曲线y=f(x)在点A，B处的切线垂直，若f′(x)的值域为(a,b](或为[a,b),(a,b))，则ab<-1.

同理可证结论2.

根据上面的结论，可得题1的：

结论推广：

推广1 函数y=f(x)的定义域为D，值域为[a,b]，若存在x1,x2，使得f(x1)+f(x2)=c，则2a≤c≤2b.

推广2 函数y=f(x)的定义域为D，值域为[a,b]，若存在x1,x2∈D，使得f(x1)·f(x2)=c，当c<0，则ab≤c.

推广3 函数y=f(x)的定义域为D，值域为(a,b]([a,b),(a,b))，若存在x1,x2，使得f(x1)·f(x2)=c，当c>0，ab≤0，则c≤{a2,b2}min.

推广4 函数y=f(x)的定义域为D，值域为[a,b]，若存在x1,x2∈D，f(x1)·f(x2)=c，当c>0，ab>0，则{a2,b2}min≤c≤{a2,b2}max.

以上是关于同一个函数y=f(x)的存在问题，如果是两个不同函数y=f(x)和y=g(x)呢？

题2 设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为( ).

A.[-1,2] B.(3,+∞)

上面结论可以进行再推广，得到如下结论：

推广5 函数y=f(x)的定义域为D1，值域为[a,b]，y=g(x)的定义域为D2，值域为[m,n]，若存在x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=c，则m≤c-a且n≥c-b.

推广6 函数y=f(x)的定义域为D1，值域为[a,b]，y=g(x)的定义域为D2，值域为[m,n]，若任意x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=c，则[c-b,c-a]⊆[m,n].

上述分析的是有界函数求解方法，如果是无界函数呢，则情况比较复杂，需要回归到双变量两个基本题型，通过值域间的关系解决.

A.①② B.①④ C.②④ D.②③④

若A、B分别在x轴和y轴上，显然满足条件.所以②和④成立.

在数学解题中有许多精彩的解题思路，精妙的解法，让人惊叹不已.只要我们拥有发现的双眼，善于分析，认真思考，数学处处有惊喜.希望我们在平时的教学和学习中，去发现数学中更多精妙的解法.