在高中数学解题中应用转化思想的几点思考

程新益

摘要：随着我国课程改革的持续推进，对教学质量的要求也正不断提升，数学是三大主课之一，其对于提高学生的成绩、逻辑思维等皆具有重要意义.但由于传统的“题海战术”已很难满足现代高中数学的教学需求，因此，高中的数学教师应当对自己的教学方式、方案等进行改善，不断提升学生的解题能力，为学生的高考奠定基础.本文主要阐述在高中数学解题过程中，采用转化思想的作用和方法，并以实例对所提出的方法进行佐证，希望能为有关人员提供参考.

关键词：高中数学;转化思想;解题;方法策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）18-0052-03

高中数学的教学重点不仅仅只是让学生掌握数学的基本知识和理论，其实践性和难度都比初中数学高得多，因此，在高中数学的教学过程中，不应只让学生通过“刷题”来提升自己的解题能力，教师应将数学思维、数学思想融入教学过程中，让学生能够捕捉到解题的方法、重点、思维，快速高效的进行解题.转化思想是数学解题思想的重要思想，其可将复杂的问题简单化，陌生问题熟悉化，有助于学生思维严谨性的提升，良好的解题习惯也会随之逐渐形成，进而能撬动学生的思维，在启智明理中促进学生自主学习，从而提高教学质效.

1 转化思想在高中数学解题中的意义

高中数学题目（尤其是理科数学）的难度和抽象性皆明显高于初中数学，学生在解题过程中，教师可以将转化思想运用于解题过程中，进而达到快速解题的目的.转化思想要求学生通过侧面或反面整理解题思路，寻找突破口，把复杂、抽象、困难的问题转变为成一个或若干个自己熟知的或能解决的问题.在学习数学的过程中，大部分学生会将一个较难的问题通过分解、变形、代换、平移、旋转、伸缩等多种方式，将之转化为一个或几个自己熟悉的基本的问题，从而求出答案.在解答一元二次方程时，学生可以将一元二次方程通过因式分解转化为一元一次方程.

2 在数学解题过程中利用转化思想的策略

2.1 将复杂问题简单化

复杂问题简单化，可以是一个数学公式，一个数学概念，一个数学定义，也可以是有关数学公式的记忆，数学定义的证明等等.下面我就如何简单数学问题说我的几点看法： 一、用自己熟悉的、精简的语言阐述数学概念和定义.这样有利于加强概念、定义的理解和记忆.比如，在我讲抛物线方程的时候，抛物线方程与焦点位置有密切关系，抛物线方程一次项即是焦点所在位置.而切抛物线的焦点与抛物线方程的系数的四分之一倍数有关.这里我用自己的语言向同学们总结.抛物线的方程要么是x2等于好多y，要么是y2等于好多x，这主要就看焦点位置了，如焦点在x轴，一次项就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次类推.当面临一道结构复杂直接解答会难以上手的问题时，可将该问题划分为一个或多个简单的问题，逐个解答.例如以下题目：

2.2 将常量转变为自变量

变量转化多用于含有X未知数的不等式问题，在做该类题目时，需根据题目的条件求出参变量的取值范围，虽然该类题目的做题方法多，即：对其分类讨论、数形结合、分离参数、利用函数性质，但次过程较为复杂，出错了较高，若能使用变量转化则可事半功倍.例如以下例题：

例1设a，b是两个实数，A={（x，y） ∣x=n，y=na+b，n ∈ z}， B={（x，y）∣x=m，y=3m2+15，m ∈z，}C={（x，y） ∣x2+y2≤144}是否存在a，b使得（1）A∩B≠;（2）（a，b） ∈ C同时成立.

方法一假设存在（x，y）∈A∩B，則相应的直线y=ax+b与抛物线y=3x2+15有公共点.

即：y=ax+by=3x2+15得3x2+15=ax+b

△=a2-12（5-b） ≥0，即-a2≤12b-180，

a2+b2≤144两不等式相加得b2≤12b-36，即（b-6）2≤0，故b=6.把b=6代入得a2≥108与a2≤108.所以a2=108，所以a=63或a=- 63，

b=6.再代入原方程得3x2±63+9=0解得x=±3 Z，所以a，b不存在.

方法二当然对于式子3x2+15=ax+b即ax+b-（3x2+15）=0，则式子ax+b-（3x2+15）=0可看作以a，b为变量的直线方程，又因为（a，b）∈C即a2+b2≤144也可看作以a，b为变量的圆及圆内的点，探究该直线与圆的位置关系圆心到直线的距离：

d=3x2+15x2+1=3（x2+1+4x2+1）≥12（但当且仅当x2+1=4x2+1，

即x=±3时取等号而x∈z但±3z，

所以a，b不存在.

分析以该题为例，解法一采用X为变量，带入过程较为复杂，计算量大，学生在解题的过程中，容易出现作物;而解法二是将a、b等转变为变量，将X作为常量，转化思维，解题过程简单易懂，由此看出解决此题选a，b为变量，x为常量同样是可以找到一种优质的解法.如何设定主元，对学生的思维能力的要求较高，主元选定之后，有助于用方程或函数思想来解决问题.

2.3 将抽象问题形象化

学生在解答抽象问题时，往往会出现找不到解题思路的情况，尤其是函数问题，此时便可采取抽象问题形象化的解题方法解决，将抽象问题形象化主要有换元法、凑合法、待定系数法、利用函数性质法等.

2.3.1 换元法

即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f（x），这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.

例2已知 f（xx+1）=2x+1，求f（x）.

解题过程设xx+1=u，则x=u1-u

∴f（u）=2u1-u+1=2-u1-u

∴f（x）=2-x1-x

分析该问题从直观上将属于一道抽象函数问题，常规的方程解法其过程相对抽象和复杂，设xx+1=u，x换为u采用抽象问题形象化，能够将难题、怪题或超出课程范围的题目转化为简单、熟悉的问题，将问题形象化，方便解题.

2.3.2 凑合法

该方法是在已知f（g（x））=h（x）的条件下，把h（x）并凑成以g（u）表示的代数式，再利用代换即可求f（x）.此解法简洁，还能进一步复习代换法.

例3已知f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解析∵f（x+1x）=（x+1x）（x2-1+1x2）=（x+1x）（（x+1x）2-3）

又∵|x+1x|=|x|+1x≥1，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）

2.3.3 待定系数法

先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.

例4已知f（x）二次实函数，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）.

解析设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4比较系数得2（a+c）=42a=12b=2a=12，b=1，c=32∴f（x）=12x2+x+32

2.3.4 利用函数性质法

主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.

例题已知y=f（x）为奇函数，当 x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解析

∵f（x）为奇函数，

∴f（x）的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式.

∵-x>0，

∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），

∵f（x）为奇函數，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x）

∴当x<0时f（x）=-lg（1-x）

∴f（x）=lg（1+x），x≥0-lg（1-x），x<0

2.4 静态问题动态化

部分数学问题在以静态的思路进行解题可得出结果，但过程复杂，学生在做题过程中容易出错，因此，在做该类题目时，可将静态问题动态化，即：通过研究变动情况对题目可能出现的特殊情况进行分析，进而简化解题过程，防止错误的发生.

例5设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

解题过程解①若∠PF2F1=90°.

则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

又∵|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，

解得|PF1|=143，|PF2|=43，∴|PF1||PF2|=72.

②若∠F1PF2=90°，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+（6-|PF1|）2=20，

∴|PF1|=4，|PF2|=2，∴（|PF1||PF2|=2.

综上知，|PF1||PF2|=

72或2.

分析改题目的直角位置为得到确定，因此，在解题过程中，我们需要先确定直角可以确定的位置，在以分类的方式对直角的位置进行确定，最后对所有可能出现的可能进行汇总，进而得出范围.解答问题则可要让，F1和F2动起来，对其进行分类讨论，以提高解题的效率.

转化思想是数学解题思想中的重要部分，其可将复杂的问题转化为简单问题，抽象问题转化为具象问题等，可帮助学生提升解题效率，降低错误率的发生，对于学生提高成绩具有重要意义.其次，转化思想可有效锻炼学生的思维逻辑能力，提升其做题的严谨性，进而使其做事的思维能力、严谨性得以有效提升，为其未来的发展奠定坚实基础.因此，高中数学教师在教学过程中，应将该思想广泛运用，帮助学生领悟解题方法，掌握解题能力，为其高考提供坚实保障.

参考文献：

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[2] 吴晔.转化思想在高中数学解题中的应用[J].数学大世界（下旬），2018（09）：69+68.

[3] 陈铿熙.巧借转化思想，让高中数学解题“柳暗花明”[J].福建中学数学，2019（05）：40-41.

[4] 郭婧涵.转化思想在解题中的应用[J].中学数学教学参考，2017（27）：56.

[责任编辑：李璟]