基于历史名题的三角单元复习课教学实践与研究

纪亚荣

摘要：着眼于研究三角的历史名题，好的数学问题组能激发学生探究数学的欲望，本节课选取的三角历史名题从古到今，有一个共性，它们都揭示了三角函数是刻画周期现象的数学模型.本节课是一节复习课，也是一节大家平时教学中不太重视的一节课.本人想通过这节复习课，既让学生感受到历史名题的魅力，更加让学生体会到贯穿三角单元中最重要的三角函数性质是周期性，周期性带动三角函数的其他性质，没有周期性其他性质没有附着点.

关键词：三角;历史名题;周期性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）18-0008-03

1 引言

三角函数对比其他基本初等函数，它的对应法则与它们不一样，理解三角函数的意义需要数形结合，吃透三角函数那么多的性质也是不容易的.所以，对于刚刚学完三角函数这章的同学们而言，很需要三角单元复习课帮助他们深入理解三角这个模块的知识，在深入学习中不断提升自己的数学核心素养.三角单元复习的知识点比较多，一节课容量比较小，故本节课选取三角函数周期性这个点入手，对三角单元进行深入学习.我们可以创设物理、生物等自然界中的周期现象的情境，来深入体会三角函数是周期函数.

2 教学片段与实施

高一学生学完三角函数这章，大部分学生不知道三角的相关数学史，通过下面两道历史名题，激发学生深入理解与研究三角的兴趣，体会到三角函数是研究社会生活中周期现象的数学模型，并且有着广泛地应用.

历史名题1测量地球的直径是埃拉托色尼一直想干的事情，他选择了亚历山大（A）和塞恩（S）两个地方.夏至时他在亚历山大树立直杆AB（垂直于地球表面），测出正午时直杆的影长AC.他了解到在夏至这一天正午，太阳位于北回归线的正上方，此时塞恩恰好近似位于北回归线上（实际上是在北回归线偏北），故射向S的光线经过地心O.他测得∠CBA等于周角的150，因为光线可以看作平行，因此得出∠AOS=7.2°.故亚历山大与塞恩之间的距离是地球大圆圆周的150.通过商队的行走时间，可以知道两地之间的距离大约为5000斯塔德，故得地球大圆圆周约为250000斯塔德，即为39375km，由此推算地球半径，得6266km.这与真实值非常接近.

问题1：阅读完上面的历史名题，你有哪些感受？

生1：古人真的敢想，动手试验创新能力很强，应该也试验了很多次，遇到困难没有放弃，所以平时我们在数学解题中遇到难题时要想方设法解决，不可轻易放弃.

生2：这个历史名题涉及到弧长，角度，半径之间的关系，埃拉托色尼测出地球半径后，如果我们知道角度，就可以算出任意两地之间的距离.这让我想到了弧度数公式，即δ.φθ=90°-φ-δ

设计意图1.天文学的研究促使三角学的发展，三角学与天文学关系紧密;2.涉及角与弧长，体会三角的研究对象是角与边;3.如果我是学生，我会觉得那个时候的人很厉害.4.考查学生对应用题的阅读理解能力以及数学抽象数学建模能力.

基于以上的历史名题，我们新教材课后有一道习题与此题图像类似，我称其为历史名题改编题，提供给各位读者继续思考，如下：

历史名题改编题1在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始的变化.

假设地球表面某个地方正午太阳高度角为θ，δ为这个时候太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，则这些量满足θ=90°-φ-δ.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）.下面这些是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到0.001）

设计意图学生需要阅读理解上述材料，对于有些学生而言是有困难的，必要时刻老师给予提醒与帮助，但大部分学生有了上一题埃拉托色尼测地球的直径的体验后，学生对解决这题有了经验.本题让学生体会到三角函数是刻画周期现象的数学模型，并且三角学与天文地理关系紧密.现实生活中存在大量具有周而复始、循环反复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来解决.

历史名题2国科大发出最具想象力的录取通知书.让学生聆听来自宇宙深处的声音！2020年8月10日，中国科学院大学发出首封本科生特殊的录取通知书，一起送到的是一张黑胶光盘，来自宇宙深处的声音刻录在这张光盘上.这些声音是由该校老师学生通过“中国天眼”FAST捕获的15颗脉冲星信号，且经过转换和小限度处理后，以现在音频的形式展现在大家面前.这其中，13颗脉冲星信号是首次向全世界公布.

問题2：听完这来自宇宙深处的声音之后，有什么感受？

生3：听觉上此起彼伏，感受上很震撼.

生4：图像上看起来是正弦函数，但又不完全是.

师：这里涉及到大学里的傅里叶级数，现在向大家动画形象演示傅里叶级数原理.

设计意图周期函数产生了我们生活中美妙的音乐.声音中包含了正弦函数，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y=Asinwt，音有四要素：音调、响度、音长和音色.这也都与正弦函数的参数相关，希望激发学生学习周期函数的兴趣.

历史名题改编题2如左图（1）所示的是某次试验测得的交变电流i随时间t变化的图像.将测得的图像放大，得到右边图像（2）.

求电流i随着时间t变化的函数解析式;

（2）当t=0，1600，1150，7600，160时，求电流i.

生5：由交变电流的产生原理我们得知，电流i随时间t的变化规律可用i=Asin（wx+φ）来刻画，其中w2π表示频率，A表示振幅，φ表示初相.由图可知，电流的最大值为5（A），因此振幅A=5，电流变化的周期为150（s），频率为50Hz，即w2π=50，所以w=100π，再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为π3，所以电流i随时间t变化的函数解析式是i=5sin（100πt+π3），t∈0，+

SymboleB@

，所以第二问的解决就相对而言容易多了.

设计意图交变电流是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它的运动变化规律.学生解决这道题相对而言比较容易，鼓励学生多多发言.通过这个题目给我们启发，历史名题2所呈现的问题背景是多么的让学生震撼，那么我们怎么样改编可以让目前的高中学生接受呢？我想这个题给我们提供了线索，我们可以截取声波中部分图形，将其放大，结合傅里叶级数简单的部分进行命题.这其中当然少不了信息技术的运用，所以作为当代教师必须具备较高的知识素养和责任当担，让我们的研究继续传承下去.

3 设置自主探究环节，让学生分组自主研究课本习题

自出生之日起，呈周期变化的有人的体力、情绪、智力等心理、生理状况.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.

设计意图人体是一个包含多种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化;小于24小时的叫短周期运动，如心跳，脉搏;大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等.

创设情境，博古通今解三角应用题.整节课创设历史名题这样的情境，跟学生之间的互动一问一答，历史名题的选取从古到今，把类似的历史名题放到一起让学生对比研究学习.不能想当然，觉得周期性很简单，在教学过程中就有意识的忽略它，而是要让学生明白周期性属于三角函数，尽管别的函数也有周期性，但是我们要让学生脑海中一想到周期性就马上浮现三角函数.这样的题组教学是很有必要的，有名题的引领，生活情境的渗透，让学生明白生活和数学密不可分.

基于历史名题的三角单元复习课的教学实践仍处于摸索阶段，希望通过此文能抛转引玉，吸引更多的研究者去实践研究，让三角函数单元知识能更加系统的呈现在学生面前.

参考文献：

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2020：242.

[2] 周龍虎，王博.核心素养视域下数学历史名题的教学探讨[J].中国数学教育报，2020（3）：28-31.

[责任编辑：李璟]