从两个视角探究圆锥曲线中的定值问题

⦿甘肃省天水市第一中学 方春丽

1 引言

在圆锥曲线问题中，常常出现定点定值问题.求解的思路主要有两个：一是利用代数的解法求解，即先选择恰当的基本量，表示出所有的信息，利用代数运算求得结论，再对计算结果进行几何化的解释；二是直接利用圆锥曲线的几何性质进行求解.两种方法并不独立，有时也需要配合使用进行证明.在2022届汕头市的质量检测中，考查了一道以椭圆为背景的定值问题，笔者分别从代数与几何的视角进行了证明，并将该结论推广至双曲线与抛物线.现将探究过程展示如下，以飨读者.

2 题目及分析

(1)求椭圆E的方程；

(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,0)作直线l的垂线，垂足为Q，试探究：|OQ|是否为定值，如果是，则求出该值；如果不是，则说明理由.

3 解法呈现

解法1：基本量法.

设直线l的方程为x=my+t，与椭圆E联立，可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.因为直线l与椭圆E有且只有一个公共点，所以上式的判别式等于零.

化简可得：t2=m2+2.

①

②

将式②代入直线l的方程，可得

③

将上述解法一般化即可证明上述结论成立.接下来，笔者将通过几何的视角来证明.

解法2：利用极点极线，应用几何法求解.

在证明结论之前，先介绍以下两个引理.

图1

证明:如图2,不妨设AB>AC(若AB=AC，则对应的点D不存在),在线段AB上找一点E，使得AE=AC，则∠3=∠4.

图2

又∠B=∠B，

∴△BCE∽△BDA.

∴CE∥AD，

∴∠3=∠2，∠4=∠1.

因此∠1=∠2，即AD为△ABC对应的外角平分线.

该引理即是椭圆的光学性质：若从椭圆的一个焦点发射出一束光线，经过椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.

证明：如图3，设点P的坐标为……