“指数、对数复习”的创新教学设计

摘 要：复习指数、对数的概念和运算性质，创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境，在教师的引导下探索发现问题。从学生知识的“最近发展区”开始，使学生体会发现数学、学习数学的方法，提升学生逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

关键词：指数;对数;教学设计

函数是高中阶段数学的重要知识点，指数函数、对数函数又是这部分内容的重要组成部分，同时也是学生的难点。而本节内容指数、对数是学好指数函数、对数函数的前提。它担负着承上启下的作用。我们在教学中既使用人教版又借鉴苏教版。该知识点位于人教版必修一第四章的第一节和第三节，同时位于苏教版必修一第四章。下面我将教学设计和教学内容呈现出来。

“指数、对数复习”教学设计

一、教学目标

（一）掌握根式、指数幂、对数的概念和运算性质，厘清它们之间的内在联系;

（二）熟练掌握指数、对数的运算;

（三）提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的数学素养。

二、教学重点与难点

重点：理解指数与对数概念的本质，掌握研究数学概念的一般方法;掌握指数、对数的运算性质及对数的换底公式并能熟练运用;

难点：运用对数的运算性质及换底公式进行求值、化简。

三、教学思路

自主探究，合作学习，踊跃展示。

四、教学策略

学生先做，教师评讲;学生为主体，教师为主导，真正把课堂交给学生。

五、教学流程

（一）课前学生预习，完成例题;

（二）课堂讲解，从指数、对数的历史出发，提升学生对这部分内容的兴趣;

（三）展示基本运算性质;

（四）投影学生例题解答结果，PPT展示变式，学生上黑板完成或在座位上先做，后展示。

所有涉及解题，均以学生为主体。

六、教学过程

（一）创设情境，突破认知

数学史引入。

本章从初中学习的指数概念出发，建立了分数指数幂、实数指数幂等概念。以指数概念为基础，给出对数的定义，并研究了指数运算、对数运算的相关性质。

一部上百年的数学发展史如下：

给学生展示指数、对数发展史。

16世纪的韦达;17世纪的笛卡儿、斯蒂文、牛顿创立了现行的分数指数幂、负指数幂都做过相当大的贡献。

17世纪的约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。

对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就。（引入部分不得超过两分钟）

师生活动：

课件形式一一呈现知识点，梳理出知识流程图，从高的层次回头看所学的这一章节内容，引导学生探索、发现知识点间的相互联系。同时介绍这些知识点所处的时代、背景、人物，将数学与历史结合，激发学生的学习兴趣。江苏新高考模式下，情境题目日趋增多，平时教师上课也要向这一题型多多渗透，让学生熟悉这一种考题。（引出课题）

（二）复习旧知，夯实基础

1.分数指数幂的意义

2.根式的运算性质

3.有理数指数幂的运算性质

练习：计算下列各式

选择四道典型指数运算题。

設计意图：

根据学生的作业和试卷情况，要掌握分数指数幂和根式运算性质，熟悉公式的正用和逆用。

通过练习（题目由学生根据解题时易错题讨论提出，上课时随机改变），引导学生说出，他们组出这道题所用的运算性质和易错点，加深学生对这部分知识储备的理解，调动学生学习兴趣。加深对这种题型的理解，增强学生归纳推理的能力，深化数学抽象、数学运算核心素养。

师生活动：

学生出现的情况往往是知识点很熟，但应用起来：1.解题速度慢;2.计算有问题。根据学生易犯的错误，教师在教学中应该强调，底数转化为大于0。转化为同底运算，指数式乘除，幂相加减。转化与化归数学思想用的较多。

4.对数的概念

5.对数的运算性质

练习：计算下列各式的值

选择四道对数计算题。

设计意图：

根据学生的作业和试卷情况，要掌握对数运算性质，熟悉公式的正用和逆用。

通过练习（题目由学生根据解题时易错题讨论提出，上课时随机改变），引导学生说出，他们组出这道题所用的运算性质和易错点，加深学生对这部分知识储备的理解，调动学生学习兴趣。加深对这种题型的理解，增强学生归纳推理的能力，深化数学抽象、数学运算核心素养。

利用对数运算性质化简与求值的原则

1.正用或逆用公式，对真数进行处理;

2.选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行。

师生活动：

对数这一知识点与指数这个知识点，对学生而言，是个相对陌生的内容。但对数是由指数转化而来，要让学生明白相同的参数在指数与对数中的位置与联系。另外，对数运算其实是更高级的运算，它让乘法降维成加法，让除法降维成减法，让乘方降维成几个数的和。有条件的班级还可以证明对数的某一运算性质，让学生进一步感受和理解指数与对数互化的运算魅力。指数与对数的转化亦是部分同学的难点[1]。

（三）聚焦考点，攻克难点

典型题，判断下列结论正确与否：（题目可以挑选学生的错题或者易错点）

设计意图：

这类题型，通过学生的易错题，既可以考查学生前面的学习情况，又可以借助这道题复习本章根式、对数的概念和运算性质：次方根;根式;根式的性质;对数的运算公式;对数恒等式;换底公式等，还可以顺带复习常用逻辑用语中的充分条件、必要条件、充要条件。

师生活动：

题目如果有难度，对一部分学生而言有点困难。对知识储备够的班级，我们可以选择这个题型。讲透讲细，学生受益匪浅。但是对于基础薄弱的同学而言，可以简单地出几道运算，让他们判断正确与否。

例1：计算下列各式。

选择两题指对数运算题型

设计意图：

该题可由学生讨论思考后自己出题，教师在巡察过程中引导，其他同学解题，出题者指出该题的易错点或者所用知识点。不仅仅要学会做题还要学会总结在计算过程中易错点和所用的指数、对数的概念和运算性质。新教材将“指数与对数”从“指数函数和对数函数”中剥离，所以我们更要加强学生运算能力的培养，保持运算的独立性。这是本节课的重难点。

师生活动：

不要把学生这些知识点掌握想象得有多好。由于教学进度的缘故，一部分同学错漏百出，教师在让学生指出自己的错误或者他认为的易错点之后，教师还应归纳总结，由点到面，细致到位。平时让学生养成自习时间整理错题的习惯。计算问题，时间久不易改，是其一大特点，我们更要一点一滴平时积累。水滴石穿，终会提高。

在学生出的题中选一道数据恰当的题，由老师改编，引出下面联等式求解的题型，也是这份教学设计的例2。

联等题型很多，可挑选一道典型题，然后进行变形，这个过程教师应利用问题串、设问等方式引导学生给出变式题。

变式题不仅仅是填空题、或者计算大题，还可以改写为双空题、选择题、多选题。逐步增加难度，灵活改变题型。无论是高考，还是平时的解题过程中，应该让学生了解出题者的意图，上课逐步让学生变形，既激发学生学习兴趣，同时又锻炼他们的解题能力，加深对知识点的理解，提升数学素养。

设计意图：

培养学生的转化化归能力、推理论证能力及运算能力。联等式这个知识点涉及指数与对数的互换，以及它们的运算法则。部分题目应用隐参消元的方法，对学生的逻辑思维和计算能力要求较高，针对性的练习有助于学生对这部分知识的理解。变式的题目也均由学生思考提出，加深对这种题型的理解，增强学生归纳推理的能力，深化数学抽象、数学运算核心素养。

师生活动：

这几道题难度逐渐增大，又环环递进，是学生的难点。教学过程中应该通过转化与化归的数学思想，不断减元，将复杂的题型变成一开始学生熟悉的模样。同时，换底公式的应用，对于部分学生而言，也是不小的挑战。教学过程中，除了思维的引导，知识点的细节处理要到位。江苏高考答题规范很重要。

例3选择典型的指数、对数背景下的情境题。

师生活动：

学生出现的情况是：一部分同学读不懂题意，不会列式;一部分同学不会运算。

针对第一种讲解时强调审题读题，往往采用第一遍浏览、泛读题目，第二遍精读题干，第三遍结合知识点精读题干;同时指对数的数据模型要讲解到位，让学生做到看到题目很亲切，减少逃避的想法。

另一部分同学，板演运算过程，对计算技巧与细节，计算性质的应用，全部要讲解到位。有条件的班级可以出类似的题目，加以巩固。另外此类题型因为考查学生的数据处理素养，往往给出参考数据，一方面要求学生解题具有目标意识，引用参考数据;同时要提醒学生辨别伪数据。

情境题是这几年新高考的热点也是难点，学生要会用数学的眼光看世界，数学抽象、数学建模等核心素养的培养绝不是一蹴而就的，它们渗透到平时学习的方方面面。教师在教学中，首先应该分清这是何种数学核心素养，然后再引导学生，提升他们的素养，增强他们的数学能力。

【强调认真读题，情境性题目已经成为今后的常态，要培养学生敢想、敢算的精神，克服心理上的恐惧心理。】

（四）归纳小结，提升素养

[归纳提升]

1.应用指数、对数运算性质应注意的事项

（1）注意公式的正用、逆用和变形应用;

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用;

思路一：用运算法则及性质进行部分运算—换成同一底数;

思路二：一次性统一换为常用对数（或自然对数）—化简、通分、求值。

2.求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化;

3.解含对数式的方程注意点：

（1）掌握运算性质;

（2）对数中底数、真数的范围限制。

设计意图：

最后的归纳小结，在平时的授课中往往容易忽略，但却是教学过程中必不可少的一部分。教师引导学生对本节知识点进行归纳总结同时进行升华，有以下三点作用：

一是可以给学生本节课整体印象，对前段时间的学习内容进行知识梳理，加深知识点间的区别与联系，形成指数与对数的结构框架，以及对指数、对数的应用更加得心应手。总结过程中并不是按授课顺序读板演的内容。此时要根据教学目标和新课程标准，从解题技巧、数学思想、数学核心思想等方面进行升华，从而提高学生相应的能力，培养相应的素养;

二是归纳小结是学生对指数、对数的反思探索，最有效地感受本节课的重点、难点、易错点、知识技巧和规律。掌握了重难点，学生可以发现考查内容，明白出题者的意图;掌握了易错点，可以避免入指数、对数运算的坑，掌握了知识技巧和规律，可以举一反三，灵活运用本节课中的思想和方法;

三是学生可以对今天的单元小结进行复习。高中数学难度大、任务重、进度快，适当地重复和反思，可以让学生加深对本节内容的记忆，巩固指数、对数运算这些知识点，去繁留简。

只有加深对基础知识的复习巩固，才能学好本节知识点，高效掌握它们。

师生活动：

由学生回忆本课所学，归纳阐述今日所学;同时教师从重难点、数学思想、方法、解题技巧、易错点等方面引导。教师还应该将学生的总结进行归纳升华，绝不能只是按上课顺序单纯地给出上课内容，学生应该有独特的或者本节教学目标的见解。

教学设计创新点

高中数学教学活动的设计，要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，将核心素养的培养贯穿于数学教学活动的全过程。要创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境，在教师的引导下探索发现问题;并通过类比、归纳，把握数学内容的本质，感悟数学思想方法，提升学生的数学核心素养。

从学生知识的“最近发展区”开始，使学生体会发现数学、学习数学的方法，提升学生逻辑推理、数学运算等数学核心素养。学生会感受到公式的复习和应用中对数运算是更高级的运算，逐渐形成知识体系，建立知识点流程图。教学评价中建立教学结构，既要引导学生培养将抽象的概念转化为理解概念、解决问题的能力，又要将新旧知识点建立联系。

培养学生的转化化归能力、推理论证能力及运算能力，提升学生的数学核心素养，其中联等式这个知识点涉及指数与对数的互换，以及它们的运算法则。部分题目应用隐参消元的方法，对学生的逻辑思维和计算能力要求较高，针对性地练习有助于学生对这部分知识的理解。变式的题目也均由学生思考提出，加深对这种题型的理解，增强学生归纳推理的能力，深化数学抽象、数据处理核心素养。

授课过程中引入数学史，激发学生的学习兴趣，拓展眼界;采用多元方式，让大部分同学能积极参与学习活动;例2的出现，以及变式的出现需要应用发问技巧，提出的问题要符合学生的认知水平，同时维持了同学们的学习动机。例3这道应用题，是学生的难点，教师需要鼓励和引发学生的提问或者质疑。

结束语

本节课课题是2020年南通市数学优秀课评比指定课题，立德树人，立足课堂是授课宗旨。授课内容应适应授课群體随时调整，但要紧紧围绕着指数与对数运算性质来剖析知识点，攻克学生思维难点，加深大家对这一知识的理解和感受，从更高纬度感受数学之美。

参考文献

[1]祝维男.素养导向下主题单元复习的教学设计：以《指数与对数单元复习课》为例[J].中学数学，2021（17）：19-20，25.

作者简介：许陈（1986— ），女，汉族，江苏海安人，江苏省海安高级中学，中学一级，硕士。研究方向：数学教学。