高中数学概念理解障碍的消除策略

王刚 陶煜瑾

摘 要：概念课是高中数学课程中的常见课型，如何帮助学生理解概念的本质，运用概念来思考与解决问题是概念课的重要课题。本文通过研究学生在概念理解过程中产生的各种障碍，总结出一些消除这些障碍的教学策略。

关键词：高中数学概念;理解障碍;消除策略

一、关于概念的理解障碍

数学概念的理解障碍是指：高中生在理解数学概念时，有时会因为各种原因不能顺利地将数学概念的本质抽取出来，不能形成正确的数学概念的心理表征，最终阻碍了学生对概念本质的理解。其常见的表现形式有：学生对概念含义的抽象障碍;学生对概念形式的表达障碍;学生对概念本质的理解障碍[1]。与概念的理解障碍产生有关的常见因素有：师生的教与学观念与概念理解障碍;学生原有认识结构与概念理解障碍;数学语言转化能力与概念理解障碍;螺旋上升教学体系与概念理解障碍;教师教学方式方法与概念理解障碍等。

二、关于理解障碍的消除

由概念理解障产生的常见因素可知：教师的教学方法、教材知识的螺旋上升的知识体系、数学概念本身的抽象程度等都是概念理解障碍产生的重要原因。显然，教师的教学行为是消除概念障碍的主导力量。为此，本文主要着眼于教师，主要从教学的角度来探讨消除概念理解障碍的教学策略。为了能更好地具体说明，本文以七个维度来举例说明如何消除概念的理解障碍。

（一）创设情境，实现概念生成教学

麻省理工学院传媒实验室曾对学习者大脑活动做过一次实验，数据表明：“在讲授型概念课中学生的大脑处于非活動的状态，活动水平甚至比睡觉时更低”。这一实验表明：概念的教学模式，不能只靠“满堂灌”的教学模式，应是能够引导学生主动学习与积极参与的教学模式。因此，概念教学首先应提升学生的参与程度，能让学生超越被动的卷入，走向积极主动的探究，提升学生学习概念的内驱力。

例如：在引入任意角概念时，教材给出的情境：“圆周运动是一种常见的周期性变化现象。如何来刻画做圆周运动的点的位置？”这一情境的出现比较突兀，和要讲授的目标概念联系不够紧密。笔者通过稍加修饰设计了如下情境：“钟表的分针运动是一种常见的周期运动，请问分针运动半圈、一圈分针分别转动多少度？”

再如：为了将角的范围推广，教材给出了情境：“由初中的知识可知，角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。在旋转一周过程中可以得到0°～360°范围内的角。如果继续旋转，那么得到的角就超出这个范围了。所以需要先扩大角的范围。”该情境过于专业与笼统，学生回答起来十分吃力，主动参与性不强，学生的学习愿望不够强烈。因此，在实际授课时，笔者将教材的情境分步设计，逐层推进：“1.小明的表走快了半小时，请问调整到正确时间分针需要旋转多少度？2.小明的表走快了一个半小时，请问调整到正确时间分针需要旋转多少度？3.原来初中理解的角的范围是否适用了呢？”

创设情境教学是促进学生主动学习，引导学生积极参与课堂教学的载体[2]。由建构主义的“最近发展区”和“从做中学”理论可知，教师可以搭建即将教授的概念与现实生活中的桥梁，通过设计在学生“最近发展区”内的问题情境推动学生学习概念的内驱力，让学生在实际“做中”自然地进入概念的学习。

（二）借助信息技术，注重概念动态教学

数学家A.H.柯尔莫戈洛夫认为：数学家总是尽其可能地将所研究的数学问题从几何上进行可视化。同样，借助信息技术，教师可以将抽象的数学概念可视化，通过动态形式的呈现，激发学生的学习兴趣，帮助学生从感性的角度去认识概念，从现实的角度去理解概念，从而提高概念的教学效率。

例如：在高中数学必修第一册任意角一节中有：“一条射线绕其端点逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角[3]”。对于这段文字的解释，任何语言都显得苍白无力，此时可以利用几何画板做出动画进行演示，从直观运动来感受正角、负角、零角的概念。

抽象思维和理论思维是数学概念的主要组成部分，这决定了数学概念的难以理解的特点。从宏观上来说，人类的思维都是从形象思维开始，慢慢过渡到理性思维，但无论是形象思维还是理性思维，都是数学研究与教学的重要组成部分。形象思维早于理性思维出现，在数学学习与研究中也是首先出现在学习者脑中的，通过形象思维我们可以来帮助理性思维的理解，从而达到消除概念理解障碍的效果。

（三）建立概念网络，注重概念整体教学

英国数学家R·斯根普认为：某些概念只有处在其他概念的结构中才会体现出作用。这是因为整体的概念体系结构是个别概念的整体环境，可以为个别概念提供具体的实例，并且个别概念也是整体概念体系的重要组成部分，通过个体概念之间的比较联系可以勾勒出整个概念体系的结构，从而可以更有效地理解个体概念。

例如：在介绍函数的导数及导函数的概念时，如果能将所要教授的概念联系学生已有的认知结构“平均变化率”来进行整体解释，学生会理解起来更加容易。

如：平均变化率

的过程，可以理解为由函数在一个区间上的平均变化的趋势逐渐缩减为某一点处的变化趋势，再由某一固定点处的变化趋势，变为一个运动着的点处的变化趋势的过程。

从建构主义的角度来看，数学概念本身是一种复杂的结构形态，所以从建构主义来看，任何一个概念都不能看成是一个孤立的存在，因为它是不可认知的。任何一个概念总是在它所处的整体结构中才能表现出它的特点来，概念之间都或多或少存在一些关系，建构主义把概念之间的这种关系认为是认识论的中心。所以从建构主义角度来看数学概念的教学，我们应该将所教的概念从一个整体的角度来设计教学，在教学过程中凸显整体性与联系性，尽量使得概念教学呈现“块”状结构，这样的整体设计教学有助于概念的理解。

（四）进行对比辨析，注重概念迁移教学

数学家乌申斯基认为：数学中，比较学是数学理解和数学思维的基础。由此，在概念课中，教师可以将新授概念与相近的已授概念进行类比教学，也可以将新授概念与容易混淆的概念进行对比教学，通过比较归纳它们之间的相同与不同点，可以更有效地帮助学生理解新授概念。

例如：平均变化率刻画的是函数在某一区间上的大致变化趋势。瞬时变化率刻画的是函数在经过某一确定点处的变化趋势。导函数刻画的是函数在某一区间中的每一点处的变化趋势和在该区间上的整体变化趋势。故此，导数刻画函数的变化趋势更精确更全面。

数学概念的教学不仅仅是概念本身的语句、符号的教学，而应是一系列连续理性思维组成的整体教学。为了让学生获得概念感知的整体性，就要反复地“回视、对比”。通过反复“回视”对比前后联系的概念，让学生迅速进入情境，快速掌握新概念。

（五）提纯概念本质，注重概念精准教学

数学概念的教学，不仅要教会学生记忆概念的含义，教授概念代表的数学符号，更重要的是要教会学生真正理解概念的本质属性。只有真正地理解了概念的本质，才能真正理解概念，才能运用概念解决问题。

例如：函数在某点处的导数刻画的是函数的局部性质，是这个函数在该点附近的变化率。从几何意义来看，函数在某点处的导数就是该函数的图像在该点处的切线斜率。导数的本质是“以直代曲”，即从极限的角度，通过某一点附近用切线来局部代替曲线来描述曲线在该点处的性质。从这个本质来看，瞬时速度即是通过某一时刻附近的平均速度来代替物体在此刻的速度。所以，为了更加生动地说明用导数这一概念来研究函数的瞬时变化率，教师可以从理论上的数学模型和生活中的物理模型两个方面的实例来帮助学生理解这一概念的本质。

学生在初次接触某一概念时往往会抽象不出概念的本质，其理解往往掺杂着大量与概念本质无关的东西，教师教学的作用就是帮助学生去伪存真，去除掉与概念本质无关的东西，引导学生不断地提纯概念的本质，强化概念本质的应用，使得学生对新授概念的理解不断接近公认的表达形式。

（六）运用概念解题，注重概念实用教学

波利亚认为：我們解决一个数学问题首先应该回到它的定义。由此可见，概念的理解是用数学方法来解决问题的第一步。首先，解决问题起始于概念的理解，因此，概念的正确理解是问题解决的前提。其次，数学的本质是用数学的角度来思考问题，用数学的方法来解决问题。显然，解决问题对概念的理解有促进作用，因此，运用概念解决问题是概念理解的途径。在解决问题中，教师的作用是引导学生重回到“定义”的角度发现问题，通过引导学生运用概念解决问题，帮助学生对概念本质进行理解。

例如：在解释函数的极值点的概念时，课本上给出了一个实例，在处是否取得极值，请给出解释。通过解决这个实例，学生对极值点与极值的概念有了更深的理解，同时也能理解极值点、拐点、极值这三个概念之间的不同之处。

数学概念是数学的思维基本单位，是形成判断、推理的基础。在解题中对已知概念的运用，可以提高推理的严谨性和规范性，提升抽象思维水准。概念作为形式化推理的对象，是中学数学研究的最高层次的问题。为了学会运用这种推理，学生会运用已知的抽象概念去构造更高级的抽象概念，去操演周旋于抽象概念及其相互关系的圈子之中的形式化推理中去，这对学生理解概念起到了促进作用。

（七）培养核心素养，注重大概念教学

大概念教学是素养导向的课堂转型的一个重要抓手[4]。高中数学概念具有高度的抽象性，这一抽象性也使得大概念教学成为了可能。一般来说，用于解释一定范围内的现象的概念可以有不同的大小，它们可以联系到一个适用于数量更多现象的较大概念，这种联系可以是学科内的，也可以是跨学科跨领域的。

例如：在引入角的符号时，我们可以联系物理学中的矢量来解释。当位移带有负号时，表示的是往正方向相反的方向运动。同样的，当角带有负号时表明角的终边是向逆时针方向的旋转运动。因此，角的符号表明的是角的旋转方向。

进一步，由物理学中的位移的加减运算意义可知，当物体由点运动到点，再由点运动到点，再由点运动到点，不管点、点的位置，此时物体运动的位移始终为。同时数学中向量也有类似的运算性质：

。由此我们发现：当几何量带上符号后的加减运算可以不需要依照图形来进行区分，可以由一个简单的代数式进行归纳总结。这种基于用符号表示方向的加减法其依据就是数学的基本定理：“沙尔定理[5]”。

大概念理论认为对不同的概念进行组织与管理，建立概念之间的联系，围绕一个或多个大概念形成一个概念的网络有助于概念的理解。大概念理论认为对已有概念的与新授概念的整合构建的过程与对学生高阶思维发展的需求相契合。在大概念理论中，研究概念背后更核心的部分，对理解概念的本质，应用概念的正迁移，超越小概念的本身，都有着积极的意义。大概念教学可以使学生走向理解概念知识的逻辑形式和意义层面的更深层次。因此，大概念教学能引导学习者实现深度思考，触及概念的本质，实现概念理解层次的飞跃。

三、概念的心理表征

心理表征是认知心理学的核心概念之一，这里所说的概念心理表征是指概念在心理活动中的表现和记载的方式。

对于数学概念的正确理解，首先在于帮助学生在已有的知识基础上建立起新学概念的正确的心理表征。由于不同学生的知识基础不同，理解方式不同，导致对新授概念理解时建立的心理表征也不同。这说明，对于同一个概念在不同学生心理建立起的心理表征是个性化的。相对应地，教师的概念教学也同样需要个性化的对待。此时，教师的作用是帮助学生个体主动地依靠个体已有的知识在理解过程中建立相对应的个性化的心理表征，通过教师的引导不断地修正，逐渐接近数学概念公认的心理表征。

结束语

概念的心理表征在学习者不断学习与理解过程中也会发生变化，这是一个长期且变化的过程。如：对于函数的概念，初中学生主要是基于物理学的认知，此时学生对函数概念的认知还处于变量说。随着学习的深入，学生对函数的概念理解又处于基于集合论的对应说。随着学习的再深入，学生会认为数列也是一种函数，此时函数的概念趋于稳定。所以，对数学概念的正确理解，学生需要经历多次必要的反思与整合，才能形成相对稳定的、整体性的认识。所以，对数学概念理解障碍的消除也是一个长期的、反复的工程。

参考文献

[1]王刚.数学概念理解障碍的表现形式[J] .数学教学通讯，2014（1）.

[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第一册[M].人民教育出版社，2019.

[3]郭元祥.知识的性质、结构与深度教学[J].课程·教材·教法，2009（11）.

[4]大概念视角下的单元整体教学构型[J].教育研究，2020（6）.

[5] 章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第一册教师教学用书[M].人民教育出版社，2019.

作者简介：王刚（1982— ），男，汉族，江苏江阴人，江苏省梅村高级中学，中学高级教师，硕士。研究方向：课堂教学。

陶煜瑾（1982— ），女，汉族，江苏无锡人，江苏省梅村高级中学，中学一级教师，硕士。研究方向：课堂教学。