基于数学理解的总复习教学路径探索
——以“立体图形的表面积和体积总复习”教学为例

江苏太仓市城厢镇第一小学（215411）陈 瑛

数学理解不仅要理解数学基础知识，还要从数学的角度去理解现实。总复习时，既要让学生回顾已学过的知识，又要让学生在复习中获得新的发现与认识，找准数学知识间的区别与联系，掌握知识的生长点，这样才能打通知识的“任督二脉”，凸显数学知识的本质，促进数学理解。

笔者以“立体图形的表面积和体积总复习”为例，从在总复习教学中发现的问题出发，基于全局视角进行分析，并对总复习教学进行新的实践和探索，以期寻找促进学生理解数学知识的教学路径。

一、问题凝视：基于真实学情的总复习教学困惑

总复习教学与平常的单元复习课和练习课有所不同，总复习教学需要温故知新、贯通联系。教师不仅要帮助学生温习学过的数学知识，还要打通知识间的联系，并且向外延伸，为第三学段的学习做铺垫。

比如，教学“立体图形的表面积和体积总复习”时，笔者在课前请学生就立体图形的表面积和体积等相关知识进行梳理。大部分学生都以思维导图的形式呈现知识点（如图1）。图很美观，但图中只有图形及其表面积和体积的公式，很难看到知识间的联系。

图1

这引发了笔者的思考：课前复习到底需要怎样的前置研究？是以“好看”为标准，还是以“深入”为目标？教师该以怎样的方式引导学生串连知识点？如何才能真正达到教学目标？

二、成因透视：基于全局视角的总复习教学问题分析

笔者深入思考总复习教学问题，不断追问、分析原因，发现主要有三方面原因：教材、学情和复习形式。教师教学时要基于教材，更要高于教材；要基于学情，更要充分研究学情；要淡化教学形式，但需深入挖掘知识内涵。

1.简单照搬教材，缺乏深度理解

教材是知识的有效载体，教师通过认真研读教材，充分利用甚至是改编教材习题，帮助学生巩固知识。但对于同样的教材，不同的教师处理时的方式不同，就会产生不同的教学效果。

苏教版教材六年级下册中“数与代数”“图形与几何”“统计与可能性”三大板块均以“整理与反思+练习与实践”的形式推进。“整理与反思”部分主要通过几个核心问题帮助学生回顾所学知识，引导学生探寻数学知识和方法间的内在联系，以促进学生产生新思考，获得新认识，进而加深对知识的理解。

但实际教学中不乏出现照搬教材、走流程的现象，从而使学生缺乏对知识的深度理解。这样的总复习教学是乏味的，学生的复习效率是低下的。

2.模糊真实学情，缺乏整体建构

总复习教学是复习梳理、温故知新，因此容易忽视真实的学情，教师以自己理解的学情进行教学设计，缺乏对知识的整体建构，学生以能正确完成相关练习为主要目标，缺乏深度思考。因此，习题有所变换或是提升难度时，学生便不能综合运用所学知识解决问题。

学习能力比较强的学生不仅可以解决基础问题，还可以独立解决难度稍高的问题。学习能力较弱的学生没打牢基础，他们需要巩固知识，将薄弱点逐渐变扎实。对此，在复习课前，教师可通过多种途径了解学生的真实学情，然后根据学情设计相应的复习任务，让不同的学生通过分层练习得到不同的发展。

3.过度关注形式，缺乏脉络梳理

总复习教学中，教师常让学生用思维导图梳理知识。一张美观的思维导图，不仅包括对知识的梳理，还有图画的绘制，相对而言耗时较多。仔细查看这些思维导图，笔者发现，大部分是简单地呈现知识点，如基本概念、公式，深层的知识内涵较少，也没有对相关知识的脉络梳理。

这样的知识梳理过程重在形式，缺乏内在理解。笔者认为，数学学习更需关注知识的内涵，教师可在布置思维导图任务时适当引导，让学生多关注深层次的东西，如一个公式的本质是什么、它以怎样的方式产生、这个公式与其他公式之间有怎样的联系等。若学生能经历这样的思考，那么他们的数学学习一定会逐渐深入。

三、出路审视：基于数学理解的总复习教学路径探索

基于以上的分析和思考，笔者认为总复习教学对于学生既是对知识的梳理和回顾，又是一次知识生长的过程，教师要充分了解学情，厘清知识脉络，打通知识的内在联系，找准知识的生长点，让学生的数学理解真正落到实处。

1.厘清脉络，通透本质

从学生画的思维导图可以看出，少有学生关注立体图形的体积公式是如何推导出来的。极少学生会画圆柱体积公式的推导图，大部分学生是画出一个长方体、一个正方体、一个圆柱，然后在它们旁边标注体积公式。

笔者认为，在“立体图形的表面积和体积总复习”中，要沟通各立体图形之间的联系。学生如果能画图表征体积公式的内涵，就能更好地理解体积的本质。

课前导学可如下设计。

请你画示意图说明如何求出下列立体图形的体积。

（1）长方体：长4厘米、宽3厘米、高2厘米。（2）正方体：棱长2厘米。

（3）圆柱：底面半径1厘米、高2厘米。

【片段1：画图表征，凸显本质】

生1：用棱长是1厘米的小正方体摆成长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体，一行摆4个，摆3行、2层，长方体的体积是4×3×2=24（立方厘米）。

生2：用棱长是1厘米的小正方体摆成棱长是2厘米的大正方体，一行摆2个，摆2行、2层，大正方体的体积是2×2×2=8（立方厘米）。

生3：可将圆柱转化成近似的长方体，那么长方体的长相当于圆柱的底面圆周长，长方体的宽相当于圆柱的底面直径，长方体的高相当于圆柱的高。根据长方体体积=长×宽×高，就推导出圆柱的体积公式。

师：长方体的长、宽、高分别指什么？

生4：长是指一行有几个小正方体，宽是指有几行，高是指有几层。

师：求长方体或大正方体的体积，就是求什么？

生5：求有几个小正方体。

师：把圆柱转化成长方体后，是不是也可以理解为算一共有多少个小正方体？

生6：是的。

通过改变课前导学，从全开放的课前复习整理，到有针对性的课前导学研究，学生对知识梳理的目标更加明确，不仅能写出立体图形的体积公式，还掌握了体积公式的推导过程，以及它们之间的联系。在交流过程中，同伴互学让学生在小组内进行思维的碰撞，燃起学习的兴趣，起到了非常好的助推作用。学生交流时，教师的提问需直指本质，让学生理解这些立体图形体积公式之间的联系，突破本质理解。

2.联系完善，构建体系

“立体图形的表面积和体积总复习”的教学，重在“统”，即统一体积、统一侧面、统一表面。经历并完成“统”的过程，是学生探索和理解知识间内在联系的契机，可将知识进行沟通、统整，构建完善的知识的体系。为此，笔者设计了如下活动过程，让学生用长方形彩纸做立体图形，经历“统”的过程。

【片段2：打通联系，促进理解】

师：你是怎么做圆柱的？

生1：可以像这样卷一下。（分别沿着彩纸的长边和短边卷）

师：这样卷出的没有底面的圆柱，有什么共同点吗？

生2：侧面积相等。

师：你是如何做长方体的？做的时候有什么要注意的地方吗？

生3：可以向同一个方向对折再对折，然后围起来就可以了。

师：刚才同学们折出的这些长方体的大小和形状不一，但有什么相同之处？

生4：侧面积相等。

师：同样的彩纸，可以做不同的长方体和圆柱，它们之间有联系吗？

生（齐）：它们的侧面积都相等。

师：长方体、正方体、圆柱的体积和侧面积能用统一的公式计算吗？

生5：侧面积=底面周长×高。

师：既然它们的体积和侧面积可以用相同的公式来计算，那表面积也可以用同一个公式来算吗？

生6：表面积=侧面积+底面积×2。

师：在解决立体图形表面积的实际问题时，都是用“侧面积+底面积×2”计算吗？

［学生分别回答一侧无底（如通风管）、一侧一底（如无盖水桶）、一侧两底的情况］

学生用同样的彩纸做长方体和圆柱，发现了立体图形间的奥秘，从而统一了长方体、正方体、圆柱的侧面积和表面积的计算方式，同时找出生活中的实例。

整个过程，学生在玩中学，在玩中悟。每个学生都完整经历了立体图形表面积和体积“统”的过程，这是在之前新课学习时不曾经历的。而总复习课中常有的习题，在这节课中看似较少，实则蕴含了一类解题方法。如表面积问题，虽然没有单独的习题，但学生在“统”之后找到了一侧无底、一侧一底、一侧两底的情况。学生会举例、验证，才是真正理解了知识。

3.面向未来，促进生长

总复习教学不仅是对小学阶段的立体图形进行梳理，还可进行拓展和延伸，为第三学段做好铺垫，让知识有生长点。比如在这节课中，让学生完成“统”之后，可让学生接着玩，利用彩纸做一个新的立体图形，进行更大的“统”，引出直柱体，统一计算方法。

【片段3：激发想象，智慧生长】

师：这张彩纸还能做其他立体图形吗？

学生展示成果（如图2）：

师：同学们做出的这些立体图形有什么共同点？

生1：上下底面完全一样。

（教师引出直柱体的相关知识）

师：你认为这些直柱体是否也有统一的计算侧面积、表面积和体积的公式？

（师生一起归纳计算公式）

引出直柱体后，学生发现具有相同特征的一些直柱体也可以用这张彩纸做出来。还有一些直柱体虽然用这张纸不容易做出来，但是可以根据它们的特征自由想象，从多个图形变成一类图形，从一类图形又延伸到无数个图形，可以用相同的公式计算同类图形的体积、侧面积和表面积。

笔者认为，学生对立体图形的表面积和体积的认识应有一个完整、系统的建构过程，既要“瞻前”，又要“顾后”。教师在充分了解学情后，要进行梳理、联系、延展，让学生对知识的理解落到实处，让学生的数学素养不断提升。

总复习教学要做到温故而知新，教师要有长远的目光，有把教材读薄的能力，将零散的知识点串连起来，打通知识的内在联系，完善知识体系，并适时进行拓展延伸，为学生的后续学习埋下种子。学生在充满数学味的活动中内化知识，主动建构结构化、可迁移的认知系统。这个过程是面向人人的，教师不仅要研究学生学习的起点，还要探究学生学习的支点，展望学生发展的终点，让学生的数学学习灵动舒展。