抛物线中特殊图形的存在问题

2022-07-24 08:14王益玲李先兵
数理天地(初中版) 2022年3期
关键词:所求对称轴等腰三角

王益玲 李先兵

抛物线中特殊图形的存在问题是初中毕业生学业考试的常考题型.由于此类题型着重考查学生画图、析图能力,兼顾考查学生的计算能力,所以每每遇此类试题,都会让考生产生畏惧心理.本文以同一个例题下的多种问题为例,阐述抛物线中特殊图形存在问题的解题策略.

已知,如图1,抛物线y=x2+2x-3分别与x轴交于A,B两点,与y轴交于點C.

问题1 是否同时存在抛物线上一点P和x轴上一点D,使以A,C,P,D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,试求点P坐标.若不存在,请说明理由.

分析 如图2,将图2

ABCD放置于平面直角坐标系中,设

A(xA,yA),B(xB,yB),

C(xC,yC),D(xD,yD),

根据中点坐标公式可得AC的中点坐标为

xA+xC2,yA+yC2,

BD的中点为xB+xD2,yB+yD2,由于平行四边形的对角线互相平分,故可得AC中点与BD中点重合,进而可得

xA+xC2=xB+xD2,yA+yC2=yB+yD2,

整理可得xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD.

根据题意,得

A(-3,0),C(0,-3),

设P(m,m2+2m-3),D(n,0).

若AC为平行四边形的对角线,则有

-3+0=m+n,0-3=m2+2m-3+0,

解得m1=0,n1=-3,m2=-2,n2=-1,

当m=0时,平行四边形不存在,故舍去,

所以P(-2,-3),D(-1,0).

若AP为平行四边形的对角线,则有

-3+m=0+n,0+m2+2m-3=-3+0,

解得m1=0,n1=-3,m2=-2,n2=-5,

当m=0时,平行四边形不存在,故舍去,

所以P(-2,-3),D(-5,0).

若AD为平行四边形的对角线,则有

-3+n=0+m,0+0=-3+m2+2m-3,

解得m1=-1+7,n1=2+7,m2=-1-7,n2=2-7,

所以P(-1+7,3),D(2+7,0)

或P(-1-7,3),D(2-7,0).

综上所述,P点的坐标为(-2,-3)或P(-1+7,3)或P(-1-7,3).

归纳 平行四边形放置于平面直角坐标系中,利用“对角线两端点的横纵坐标和分别相等”得到方程组,再解出方程组即可得所求点坐标.

问题2 在对称轴上是否存在点P,使得△CBP为等腰三角形.若存在,试求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

分析 △CBP为等腰三角形包含两种情形,BC为腰或BC为底.

情形一,如图3,BC为腰,则P必在以B,C为圆心,以BC为半径的两个圆上(B,C,P共线除外),两圆与该抛物线对称轴交点依次为P1(-1,6),P2(-1,0),P3(-1,-6),P4(-1,-6),显然P4(-1,-6)与B,C共线,不符合题意,应舍去.

情形二,BC为底,则P在BC的中垂线上,过上述两圆的两个交点的直线即为BC中垂线,与该抛物线对称轴交点P5(-1,-1).

综上所述,P点的坐标为(-1,6)或(-1,0)或(-1,-6)或(-1,-1).

归纳 已知两定点求作第三点,使得以三点为顶点的三角形是等腰三角形的方法为,分别以这两点为圆心,以这两点的距离为半径作圆,并画该线段的中垂线,简言之“两圆一线”与所求点满足的条件的交点即为所求点,并检验是否符合题意.

问题3 在抛物线对称轴上找一点P,在平面上找一点Q,使以P,Q,C,B为顶点的四边形为菱形.求出符合条件的P点坐标.

分析 以P,Q,C,B为顶点的四边形为菱形,则△BCP必为等腰三角形.故此问题中点P的求解同上述问题2.若需求点Q的坐标,根据问题一中所得结论即可求得.

归纳 已知两定点,求另外两点,使得以此四点为顶点的四边形为菱形,只需选择合适的三点为顶点的三角形是等腰三角形,然后再利用问题2中归纳的结论求解.

问题4 在抛物线对称轴上是否存在点P,使得△BCP为直角三角形.若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

分析 △BCP为直角三角形包含两种情形,BC为直角边或BC为斜边.

情形一,如图4,以BC为直角边,过B,C两点分别作BC的垂线,与抛物线对称轴的交点即为所求,可求得,P1-1,23,P2-1,-83.

情形二,以BC为斜边,则根据“直径所对的圆周角为直角”可得,点P在以BC为直径的圆上.故以BC为直径画圆与抛物线对称轴的交点即为所求,可求得P3(-1,-1),P4(-1,-2).

综上所述,P点的坐标为-1,23或

-1,-83或(-1,-1)或(-1,-2).

归纳 已知两定点求作第三点,使得以三点为顶点的三角形是直角三角形的方法为,分别过这两点作其垂线,和以这两点为端点的线段为直径的圆,简言之“两线一圆”与所求点满足的条件的交点即为所求点,并进行检验是否符合题意.

问题5 在抛物线对称轴上找一点P,在平面上是否存在Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为矩形.若存在,求出点P坐标,若不存在,请说明理由.

分析 以P,Q,C,B为顶点的四边形为矩形,则△BCP必为直角三角形.故此问题中点P的求解同上述问题4.若需求点Q的坐标,根据问题1中所得结论即可求得.

归纳 已知两定点,求另外两点,使得以此四点为顶点的四边形为矩形,只需选择合适的三点为顶点的三角形是直角三角形,然后再利用问题4中归纳的结论求解.

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