黏性填土路堤墙主动土压力计算式推导及算例分析

■李艳艳

（福建水利电力职业技术学院，三明 366000）

1982 年，《公路设计手册：路基》[1]（以下简称《公路手册》）第一次出版。 为满足随后我国改革开放高速公路大量兴建之需求，原交通部第二公路勘察设计院主持对其进行了补充修订并于1996 年由人民交通出版社再版。 20 多年来在中国的公路路基设计、教学、科研等领域中，该手册发挥了极为重要的作用，至今它仍是公路科技人员用于实际工程设计的必备工具书，也是公路专业院校师生的重要参考教材。 基于此，近期笔者在开展黏性填土重力式路堤墙曲线破裂面主动土压力计算方法研究时，拟采用手册第3 篇“挡土墙”中第2 章“土压力计算”的第4 节“黏性土土压力计算”所列编号4 下的黏性土主动土压力公式，但分析计算所得的数据与已知的基本规律大相径庭，具体表现为较小黏聚力下求得的滑面破裂角为负值，且随填土黏性增大，挡墙所受的主动土压力急剧减小，有点不可思议。 考虑到公路工程师进行此类挡墙设计及公路专业学生做毕业设计时，现手册提供的公式仍为主要分析计算依据，认为有必要郑重提出此问题并予以纠正，故基于力多边形法重推得该类挡墙主动土压力计算式，发现手册原公式存在两处明显错误。

为检验导出式的正确性，笔者查阅了《铁路工程设计技术手册：路基》[2]（以下简称《铁路手册》），仔细研究了其中的第23 章 “挡土墙设计”-第3 节“土压力计算”-第7 部分“黏性土的土压力计算”的相关公式。 《铁路手册》于1961 年由铁道部第一设计院首次编辑出版，后经1977 年与1992 年铁道部第一勘察设计院的两次补充修订、中国铁道出版社再版，同样目前仍是铁路部门做路基设计的权威工具书。 两手册中黏性土路基挡土墙的最大不同之处是墙背的倾斜形式，铁路为仰斜而公路采用俯斜，这种差别的存在笔者认为符合当时的国情与工程实际。 众所周知，我国的公路（尤其高速公路）路基宽度大，当其修建于山岭重丘区并穿越平缓农田区域时，多采用坡脚墙支护填黏土高路堤通过，其施工顺序是先修挡墙后填土筑堤，为确保填方的施工碾压，需采用俯斜式挡墙。 而铁路路基面相对较窄，同样条件下用桥跨通过方案最佳，故铁路上设置挡墙多用来支护路堑边坡，采用仰斜式既方便开挖施工又能保证堑坡稳定。 因此，《铁路手册》中各种挡墙土压力计算公式多是针对仰斜式墙背，加之它的编辑出版均是在《公路手册》之先，不难想象当年《公路手册》 的补充修订很可能是在对其参考借鉴的基础上，考虑公路工程实际，直接取《铁路手册》公式以负值代入墙背倾角而形成，即将其转化为《公路手册》中的俯斜墙背的土压力计算公式。

《公路手册》 中破裂面交于边坡的挡土墙黏性土主动土压力公式为何会出现两处明显错误值得探究，这种错误对公路工程将产生怎样的后果尤其需要分析并加以纠正。 以下笔者先采用《公路手册》推荐的力多边形法重新推导出此类边界条件下挡土墙的主动土压力计算公式，并与《铁路手册》给出的相关公式比对， 以验证导出公式的合理正确性；然后尽量分析找寻《公路手册》公式错误产生的原因；此外，模拟计算一支护两级边坡高路堤坡脚墙实例，对比分析同一墙土参数、变填土黏聚力条件下，用三公式分别算得的主动土压力，进一步验证导出式的正确性，按《公路手册》公式设计此类挡墙的危险性，以引起相关部门重视并尽快对错误公式做出修正。

1 填黏土路堤墙主动土压力公式推导

按库伦土压力理论，主动土压力状态下，填黏土路堤墙的墙后土体形成顶部开裂的破裂棱体ABC[3-7]，将沿墙背AB 与破裂面BC 向下滑动，见图1（a）。 破裂棱体ABC 在总重量G、AB 面上反力Ec、BC 面上反力R 及黏聚力c 四力的作用下维持静力平衡。 图1(b)即由这四力构成的力多边形abcd，其中R 与滑裂面法线成φ 角，Ec（即墙背土压力）与墙背法线成δ 角，R 及Ec均作用于法线的下方。

如图1(a)所示的俯斜式路堤墙，其墙高为H，墙背倾角α，填土面倾角β，顶部开裂深hc，填土容重γ，内摩擦角φ，填土黏聚力c，外摩擦角δ。

图1 力多边形法计算图

假设填土单一且各向同性， 破裂面为平面，破裂土楔为一整体向下滑动并推挡墙向前平移，其c、φ、δ 分别沿破裂面或墙背面均匀分布。

1.1 裂缝区深度

按郎金理论， 黏性填土顶层因黏聚力作用存在拉应力而产生竖直裂缝，开裂的深度hc由(1)式确定[1]：

式中各参数的意义如前所述。

根据图1（a）的几何关系可得：

1.2 土压力计算公式

根据库伦理论，分析图1（a）、（b），静力平衡条件下作用于墙背的土压力Ec， 可由力多边形abcd，采用正弦定理确定[8-10]：

滑裂体总重量由图1（a）中四边形ABC′D′的面积与填土容重确定：

又令：L=BC′

如图1（b）所示，由力多边形可求得土压力为：

则整理得：

其中：α1=α－β，φ1=φ－β，ψ=φ+α+δ。

令ψ1=φ+α+δ－β，x=θ+β，

则有φ+θ=x+φ1，θ+ψ=x+ψ1，θ+α=x+α1。

将以上5 式带入（3）式得：

由图1（a）可知，破裂棱体的重量G 为破裂角θ的函数，也即为x 的函数。若取不同的x 值，均有一相应的Ec值与其对应，将Ec对x 微分，并令其等于0，则可求得出现最大Ec时的x，也即可求得破裂角θ：

将上式整理化简后，代入x，则破裂角由（4）式确定：

将此破裂角代入式（3）即可求得主动土压力E：

2 《公路手册》公式错误原因分析

2.1 《公路手册》原公式与导出式对比

原公式位于手册第3 篇“挡土墙”-第2 章“土压力计算”-第4 节“黏性土土压力计算”中表3-2-4 内编号为4 的“路堑墙或路堤墙破裂面交于边坡”栏目下。 其中存在错误的两个公式为：

而相应的导出公式分别是（2）、（4）式：

仔细对比两组公式，不难发现原公式与导出式有2 处明显不同（式中黑体字）：（1）求破裂角θ 的原公式中tanψ1在导出式中为tanφ1；（2）求参数B原公式中h0在导出式中为hc。

2.2 导出式与《铁路手册》式对比

《铁路手册》相应公式出现在其第23 章“挡土墙设计”-第3 节“土压力计算”-第7 部分“黏性土的土压力计算”表23-16 的第5 栏“路堑墙或路堤墙破裂面交于边坡”栏目中。 其中与导出式中（2）、（4）式对应的两个公式为：

对比可知两者的形式完全相同，但各自墙型及几个参数采用的符号有所区别：

（1）选用墙型不同：导出式为俯斜墙，《铁路手册》为仰斜墙，故墙背倾角α 需反号；

（2）参数符号选用不同：①导出式中填土面倾角为β，铁路手册采用i；②导出式中的参数ψ1(=φ+α+δ－β)在手册中为ψ2；③导出式中参数φ1(=φ－β)在手册中为ψ1；④导出式中的h0″在手册中为hc′；⑤导出式中的参数A 在手册中为A0；⑥导出式中的(Hh0″)项在手册中合并为h；⑦导出式中的(Bcosα1)在手册中合并为B0；⑧导出式中的(msinφ1cosα1)在手册中合并为m0；⑨导出式中参数α1(=α－β)在手册中直接表示为(α－β)。

如完成上述参数变换，取α=－α 代入导出式，便得到与手册相同的公式，也就验证了本文式推导正确。

2.3 《公路手册》原式错误原因分析

由于两手册针对的墙型和参数采用符号习惯上的差别，《公路手册》的补充修订在参考引用《铁路手册》相应公式时，一是为符合公路实际，墙型由仰斜改为俯斜；二是为避免有引起抄袭之嫌，同时符合公路部门已有的表达习惯，实施对部分符号的替换。

理论上讲， 两手册在确定对应项符号的表达后，两公式就只剩下墙背倾角α 正负的差别，但仔细对比却发现《公路手册》 式存在两处明显错误：（1）破裂角公式的－tanψ1没还原成－tanφ1；（2）B 式中的h0应为hc。分析原公式配套的计算图示，图中找不到h0而只有hc，且公式推导中h0从未出现过，由查手册公式表格前文处的(3-2-13)式知，h0表示墙后填土面有均布荷载作用时其等代土层厚度。

3 算例分析

某高填方路堤坡脚处设一俯斜式挡墙（见图2），高4.5 m，基础埋深1 m，上边坡高8 m，坡率1:1.5，墙顶后填方边坡1∶1.75（β=30°）高6 m，墙背倾角α=5°，黏性填土容重γ=18 kN/m3，内摩擦角φ=15°，外摩擦角δ=12°，填土表面无荷载。分别用导出式和公路及铁路手册两式，求不同填土c 值下挡墙各自土楔破裂角θ 及主动土压力E 值。

图2 两级边坡路堤墙图

算例用三公式分析计算的结果详见表1。 分析表1 可知，导出式与《铁路手册》式算得的各黏聚力下的θ 与E 值完全相同，且主动土压力E 随填土黏性的增大而减小，符合已知基本规律，再次证明导出式正确；而公路手册式求得的主动土压力虽也与粘聚力c 共消长，随填土粘聚力的增大，用它求得的E 值骤降，尤其当c=32 kPa 时，仅为导出式求得值的95%。 由此可见，按公路手册设计此类挡土墙很不安全。

表1 不同c 下三公式计算结果

经计算当c＜15 kPa 时原公式求得的θ 为负，无法继续代入求解主动土压力，不能同另外两种公式比较， 而导出式与铁路手册式所得θ 都为合理正值，这很不正常，实际工程及科学研究均无法解释。例如，当c=5 kPa 时，其求得θ=－119.35°，而导出式与铁路手册式所得值都为55.16°。

另外，为检验本算例分析是否满足题设边界条件，经验算得本算例下破裂面剪出口距墙顶最大距离为11.41 m，其对应的墙后坡高为5.71 m（＜6 m）。

为使算例分析更清楚明了，以下还分别给出三公式求c=32 kPa 时的详细分析计算步骤及结果。

（1）用导出式分析

（2）用公路手册式分析

因算例的填土坡面无荷载作用

故q0=0

得E=0.50 kN/m

（3）用铁路手册式分析（α 取负值代入）

显而易见，导出式和铁路手册式求得的破裂角及主动土压力值相同，与公路手册式算得的B、θ、E值均有差异，表明公路手册式有误而导出式正确。

4 结论

（1）基于力多边形法，本研究重新推导出破裂面交于边坡内公路填黏土路堤墙主动土压力计算公式，纠正了《公路设计手册：路基》给出的该类挡墙的黏性土主动土压力公式的两大错误，有重要工程价值。

（2）由于1996 年版《公路设计手册：路基》修订者的粗心大意，错将填黏土路堤墙主动土压力计算公式所用符号混淆， 导致破裂角无法求得合理解，并造成所求主动土压力值严重偏小，若按它设计此类挡墙会留下安全隐患，需引起相关公路设计人员的重视。

（3）考虑到《公路设计手册：路基》仍是当前公路技术人员必备工具书及公路专业师生的重要参考教材，建议尽快组织对其修订或勘误修正，现阶段设计此类挡墙可采用本文推导式或参照《铁路工程设计技术手册：路基》相应公式求主动土压力，以防计算错误而引发工程事故。