回归电路分析 杜绝死记二级结论
——赏析2021年上海市高三物理竞赛一道电路试题

涂 泓

(上海师范大学数理学院 上海 200234;上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室 上海 200234)

高中物理开始接触全电路欧姆定律，由此产生了一类常见题目，即求电源输出功率达到极大值时，电源内阻和外电路电阻之间的关系[1～3].电源输出功率极大值问题是高中物理中的重要考点，既能考查学生对全电路欧姆定律、电功率等知识的理解，又能考查学生利用求极值等数学方法分析解决问题的能力.

然而，在实际的教学过程中，由于这类题大多比较相似，即使变形后的计算过程和结论也比较相似，因此，多加练习的结果相当于对学生进行重复训练，以至于大多数学生并不通过计算，而是直接记住了“当内阻等于外电路总电阻时电源输出功率最大”这个结论，甚至完全忘记了这个结论是如何得到的.在这种情况下，这类必做题已经失去了其理应发挥的作用.

如何才能打破学生的这一固定思维呢？其关键在于改变这类题目千题一面的状态，设计一些学生仅靠熟记二级结论无能为力的题目.第15届上海市高三物理竞赛中的一道题目提供了一个很好的例子，其外电路是由多个相同的灯泡并联而成的，改变灯泡的个数测得相应的电源输出功率.由于外电路的总电阻不是连续变化的，因此，采用针对外电阻连续变化的数学方法所求得的电源输出功率极值，事实上不一定能达到，这样学生就必须从分析电路变化入手.下面我们对这道题做具体分析和拓展.

1 原题及解答

【原题】N个电阻均为R的灯泡并联后与电动势为E，内阻为r的电源相连.用不同个数的灯泡实验发现，当N=5时，这些灯泡消耗的总功率P最大，求内阻r的取值范围.

解答:首先写出N个灯泡并联时电源输出功率P的表达式.不难算出，此时电路的总电流为

因此，电源输出功率

(1)

按题意，并联5个灯泡时的输出功率P5既大于并联4个灯泡时的输出功率P4，也大于并联6个灯泡时的输出功率P6.因此，利用式(1)可得到以下两个不等式,对于

P5>P4

即

解得

对于

P5>P6

即

解得

综合以上两式,可知r的取值范围为

也就是说，只要电源内阻r在此范围内时，改变并联灯泡的个数，都会在5个灯泡时测得电源输出功率最大.

2 对取值范围的解析

正确答案只给出了电源内阻的可能取值范围，为什么不能求出其确定值呢？我们可将通过数学方法求得的极值与这一范围作比较，由此分析其中的原理.

为了求电源输出功率的极值，将式(1)写成以下形式

(2)

图1 P-N图

因此，根据本题所给条件“当N=5时，这些灯泡消耗的总功率P最大”，并不能断定5个灯泡并联时的电源输出功率就是电路中电源输出的最大功率，能够确定的只是P5>P4和P5>P6.由这两个不等式只能得出电源内阻的取值范围，而不能得出内阻的确定值.

3 内阻必须在此取值范围内的合理性

电源内阻是否必须在以上解出的范围内才能满足题目的要求呢？我们也可以由图像来分析这一范围的合理性.

图2 3种内阻对应的P-N图

我们对这3种电路的详细分析如下.

对应的P-N图

对应的P-N图图3 不同r对应的P-N图

由此可见，只有当电源内阻在题目解答得出的范围内时，题给条件才能得到满足，而只有在内阻r为该范围内的一个特定值时，电源的实际输出功率才对应数学上解得的极值.

4 题目改编及拓展

根据以上分析可以看出，这道竞赛题的主要特点在于，改变了此类题目中常见的外电路电阻连续变化的情况，通过改变灯泡个数的方式来改变外电路总电阻，从而将电源输出功率随外电路电阻的变化变成了离散函数，导致通过数学方式计算所得的理论极值在实际电路中不一定能实现.在这种情况下，学生死记二级结论就无效了，从而得以考查学生是否真正理解了题意并作出了合理的分析.

此题作为竞赛题，要求学生求内阻范围，具有一定的思维量，在常规教学中，可对此题稍作改编，求出电源内阻的确定值，然后进一步拓展，搭建阶梯，让学生逐步深化理解.由第一部分的题目解析可知，由两个不等式只能得出电源内阻的取值范围，而不能得出内阻的确定值.可以想见，只要有这些功率之间的一个等式(而非不等式)，就不难得到电源内阻的确定值了.下文的拓展题将给出一个求电源内阻确定值的例子.

【改编题】N个电阻均为R的灯泡并联后与电动势为E,内阻为r的电源相连.用不同个数的灯泡实验发现，当N=4和N=6时，电源输出功率相同，求电源内阻r.

此题解答的前半部分与原题相同，因此利用原题所求得的功率表达式(1)可得

P4=P6

即

解得

这一改编题比原题难度大大降低，学生经思考后较容易得出正确答案，但同样杜绝了学生靠死记“当内阻等于外电路总电阻时电源输出功率最大”这个二级结论直接得到答案.

【题目拓展】在学生得到了正确答案的基础上，可做以下两步拓展：

(1)引导学生思考改变外电路并联灯泡的个数时，电源输出功率的变化规律，使学生对电源输出功率P随并联灯泡个数N的变化产生定性的认识，知道在并联5个灯泡时，电源输出功率会测得最大值.

图4 电源输出功率与灯泡个数的关系曲线

物理教学和学习中，有一些重要的知识点被反复练习，其初衷是为了学生更牢固地掌握这些内容，但由于习题相似度较高，导致学生有意无意地只记住了结论而不再关注其中的物理原理.而在大多数情况下，这种死记结论的做法不仅有效，甚至能够极大地提高解题速度，这就使得情况更加恶化，学生一遇到这类题目就形成了条件反射，直接给出解答，久而久之完全忘记了求解的过程.因此,反复操练的结果使学生的思维固化，不仅没有起到巩固知识的作用，甚至还起到了使学生不思究竟的反作用.

由此可见，形成这一不良局面的原因，与题目类型死板、解答过程固化不无关系.因此,增加题目的灵活性和多样性可成为打破这一僵局的一个关键点.电源输出功率极大值问题历来是学生死记二级结论的一个重灾区，本文所呈现的题目及其拓展在这方面给出了一次尝试，使得靠死记硬背的结论不再适用，从而回归到问题的物理本源.