一类四阶非线性发展方程的整体吸引子

杨佳雪, 段 宁

(东北大学 理学院, 沈阳 110004)

1 引言与主要结果

在研究动力学控制晶体生长过程中小平面和角点的形成时, Golovin等[1]引入了如下四阶非线性发展方程:

(1)

该方程可用于刻画无表面生长时取向不稳定的晶体表面, 其中线性阻尼系数v>0描述了边缘附加能量的稳定作用, 且决定边缘的宽度, 系数m>0表征了热力学不稳定表面线性刻画的不稳定性, 正常数a,b,c是表征小平面稳定取向的系数.

Duan等[2]将方程(1)简化为如下的一维形式：

(2)

并为方程赋予了Neumann边值条件和初值条件, 考虑了其整体弱解的存在唯一性, 证明了当初值u0(x)∈Hk(0,1)(k∈(0,+∞))时, 方程(2)在Hk(0,1)空间存在一个整体吸引子.本文进一步研究方程(2)解的长时间行为.考虑到实际的物理背景, 对于u和阶数≤3的u的导数附加如下周期边值条件[3]：

φ|xi=0=φ|xi=li,i=1,2,3,

(3)

且假设方程的初值条件为

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1).

(4)

本文仅假设初值所在的空间为H1(0,1), 证明方程(2)在更高阶空间H4(0,1)中存在整体吸引子.本文结果对初值正则性的要求较低, 因此可视为是对Duan等[2]结果的改进.

首先, 问题(2)-(4)的解满足质量守恒, 即

进一步, 可给出整体弱解的存在性:

下面给出本文的主要结果.

2 解的一致估计

引理2假设u0∈L2(0,1), 并且v充分大, 则

‖u(t)‖≤M0, ∀t≥T0,

其中M0是依赖m,a,v的正常数,T0是依赖m,a,v和R的正常数.

下面涉及的正常数Mi和Ti(i=1,2,…,6)均具有与M0和T0相同的要求.

证明: 将方程(2)两边同乘u, 并在(0,1)上积分, 可得

(5)

因为

所以有

(6)

利用质量守恒和Poincaré不等式[5], 可得

(7)

(8)

(9)

‖ux(t)‖≤M1, ∀t≥T1,

证明: 将方程(2)两边同乘-uxx, 并在(0,1)上积分, 可得

(10)

因为

所以有

(11)

从而有

(12)

(13)

由积分中值定理知, 存在一个时间t0∈(T1,T1+1), 使得‖uxxx(t0)‖2≤C8.

‖uxx(t)‖≤M2, ∀t≥T2,

证明: 将方程(……