沈文国, 包理群
(1.兰州工业学院基础学科部, 兰州 730050; 2.兰州工业学院电子信息工程系, 兰州 730050)
文献[1-3]建立了Dancer-型分歧定理.应用分歧理论,文献[4-6]研究了高维问题. 应用分歧技巧[7], 代国伟等[8]研究了径向结点解的存在性,代国伟等[9]亦研究了高维椭圆方程保号解的存在性.然而, 关于高维变权问题的高阶特征值研究文献较少.代国伟等[10]建立了下列高维变权问题的一个单侧全局分歧结果:
(1)
(2)
其中,r=|x|(x∈B),m(r)∈M(I)是变号函数,I=(0,1),并且M(I)={m(r)∈C(I)是径向对称的且|meas{x∈I,m(r)>0}≠0}.还假设:对几乎处处的r∈I和有界集上的λ,下式一致成立,
(3)
注1本文对变号权问题(1)的研究和文献[8-9]研究的定号权问题有本质的区别,研究人口遗传的基因突变可用带变权函数的非线性微分方程来刻画, 浅水波方程等也与此类问题的研究有关.一般地,此类问题研究中, 强极大值原理不成立, 算子也不保锥, 这给问题的研究带来了一些实质性的困难.
代国伟等[10]建立了下列谱结构.
引理1[10]假设m∈M(I),特征值问题
存在两列简单的无穷实特征序列:
并且没有别的特征值.进而,
令D记为问题(2) 的解集在×E中的闭包, 且当时,为D的子集, 且当m∈M(I),且满足 (3), 由Dancer[3]和 引理 1, 代国伟等[10]获得以下引理.
其中,σ∈{+,-}.
进而,本文研究下列问题:
(4)
其中,f∈C(,),γ是一个参数.显然, 问题(4)的径向解等价于下列方程的解,
(5)
其中,r=|x|(x∈B).
应用引理 2, 代国伟等[10]建立了问题(5)径向解的存在性,结论如下.
引理3[10]假设 (A1)和(A2)成立,m∈M(I).并且假设下列两个条件之一成立,
或
(A1) 当s≠0时,sf(s)>0.
然而,当f满足f0∉(0,∞) 或f∞∉(0,∞)时, 有什么结论成立?本文假设f满足(A1)和下列假设:
(H1)f0∈(0,∞)且f∞=∞.
(H2)f0=∞且f∞∈(0,∞).
(H3)f0=0且f∞∈(0,∞).
(H4)f0∈(0,∞)且f∞=0.
(H5)f0=0且f∞=∞.
(H6)f0=∞且f∞=0.
(H7)f0=∞且f∞=∞.
(H8)f0=0且f∞=0.
首先介绍下列引理.
引理4[11]令X是一个Banach空间, 令{Cn|n=1,2,…}是X的一个闭连通子序列集.假设
1) 存在zn∈Cn,n=1,2,…和z*∈X, 使得zn→z*;
考虑下列问题,
(6)
其中,λ>0 是一个参数.
假设 (A1)和(A2)成立, 且m∈M(I).令ζ,ξ∈C(,),使得
f(u)=f0φp(u)+ζ(u),f(u)=f∞φp(u)+ξ(u),
且
考虑
(7)
作为从u≡0发出的一个分歧问题,且
(8)
作为从无穷远处发出的一个分歧问题.
由引理2和Rabinowitz[12]可得如下引理5.
注2问题(6)的任何解(1,u)产生(5)的一个解u.
本文主要结果如下.
定理1令(A1)和(H1)成立, 且m∈M(I).假设下式成立,
证明由文献[13], 定义截断函数
f[n](s)=
考虑
(9)
定理2令(A1)和(H2)成立, 且m∈M(I).假设下式成立,
(10)
定义
显然, 问题 (10) 等价于
(11)
定理3令(A1)和(H3)成立, 且m∈M(I).假设下式成立
证明定义
f[n](s)=
考虑
(12)
定理4令(A1)和(H4)成立, 且m∈M(I).假设下式成立,
证明应用相似于定理2的证明方法和定理3, 可得结果.
定理5令(A1)和(H5)成立, 且m∈M(I).假设下式成立,
γ∈(0,+∞)∪(-∞,0),
证明定义
f[n](s)=
考虑
(13)
定理6令(A1)和(H6)成立, 且m∈M(I).假设下式成立,
γ∈(0,+∞)∪(-∞,0),
证明应用相似于定理2的证明方法和定理5,可得结果.
证明定义
f[n](s)=
考虑
(14)
证明应用相似于定理2的证明方法和定理7, 可得结果.
注3文献[8-10]中仅仅研究了f0,f∞∈(0,∞)时的情况, 其中, 文献[8-9]仅仅研究了定号权问题,而本文研究了f0∉(0,∞)或f∞∉(0,∞)并且是变号权的情况.